Решение квадратных уравнений графическим способом. 8-й класс
Класс: 8
Презентации к уроку
Загрузить презентацию (516 кБ)
“Математика – это язык, на котором
говорят все точные науки”
Н. И. Лобачевский.
- Образовательные: познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у =
, у = х 2 , закрепить навыки построения графиков функций. - Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
- Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютеры, карточки с дифференцированными заданиями, сигнальные карточки.
Тип урока: урок формирования знаний.
Вид урока: урок – практикум.
Методы урока: словесные, наглядные, практические.
Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.
Презентация к уроку.
1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.
2. Актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.
3. Изучение нового материала – рассматривается ещё один способ решения квадратных уравнений – графический.
4. Закрепление изученного материала.
5. Практическая работа с использованием компьютеров.
6. Обогащение знаний – знакомство с траекториями движения космических аппаратов
7. Подведение итогов урока.
8. Творческое домашнее задание.
9. Рефлексия.
I. Мотивационная беседа.
Учитель: Как вы думаете, зачем надо изучать математику?
Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово “математика”. “Математика” – знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои знания по математике. Итак, запишите в тетрадь число и тему урока.
Цель урока: познакомить вас еще с одним способом решения квадратных уравнений – графическим, закрепить этот способ решения практической работой с использованием компьютеров.
У вас находятся одинаковые карточки для учащегося (Приложение1) с трафаретом, состоящего из 10 комбинаций, которые обозначены римскими цифрами.
В каждую клетку нужно вписать букву или знак препинания. Тогда сложится фраза. Но на трафарете нет места для самого первого слова зашифрованной фразы. Это слово мы получим, решив графические уравнения. У нас получится крылатое изречение из романа А. С. Пушкина “Евгений Онегин”. Следует вам ответить на соответствующие тестовые задания I–X и вписать в трафарет знак или букву, которой обозначен верный ответ.
II. Актуализация опорных знаний. (Устная работа.)
1. Линию, являющуюся графиком функции у = х 2 , называют…
? ) – синусоидой; : ) – гиперболой; …) – параболой.
2. Составьте слово, назвав подряд буквы, соответствующие правильному ответу. Является ли функция у = х 2 возрастающей на отрезке [a; в], если:
е) а = – 3; в = 3;
к) а = 1; в = 4;
д) а = – 2; в = – 1;
а) а = 0; в = 0,5;
к) а = 9; в = 10;
б) а = –9; в = 10;
3. Назовите буквы, соответствующие точкам, принадлежащим графику функции у = х 2
м н о г о
4. Графиком функции у = 
является …
а) прямая; б) отрезок; в) гипербола; г) ветвь параболы.
5. Назовите буквы, которые соответствуют правильному ответу.
а) Какие из данных уравнений являются квадратными?
в) 5х + 1 = 0.
к) х 3 – 2х 2 + 1 = 0.
н) 5 – 8х = 0.
э) 2х 2 – 9х + 5 = 0.
з) 2х – 
= 0.
м) х 2 + 3х + 2 = 0.
т) 3х 2 – 5х – 8 = 0.
о) х 2 + 5х – 6 = 0.
б) Какие из данных квадратных уравнений являются приведенными?
к) 2х 2 – 9х + 5 = 0.
в) х 2 – 4х 2 + 3 = 0.
о) 3х 2 + 5х + 2 = 0.
л) 3х 2 – 4х – 7 = 0.
ф) 3х 2 – 2х – 5 = 0.
к) х 2 + 6х + 8 = 0.
з) х 2 – 14х + 49 = 0.
у) х 2 – 10х + 25 = 0.
е) х 2 + 11х – 12 = 0.
з в у к е
III. Изучение нового материала.
Решим уравнение: х 2 + 2х – 3 = 0.
Какое это уравнение?
Как это уравнение можно решить?
Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.
Можно его решить устно?
Ответ: Можно, по теореме Виета.
Какие же корни?
Ответ: –3 и 1.
Я сегодня покажу ещё один способ решения – графический. Представим данное уравнение в следующем виде: х 2 = – 2х + 3.
Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции у1, равной левой части уравнения и у2, равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором у1 = у2, т. е. общую точку, принадлежащую графику функции у1 и графику функции у2. Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций у1= х 2 и у2= –2х + 3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.
В координатной плоскости построим графики функций у1 = х 2 и у2 = –2х + 3.
Для этого составим таблицы их значений.
у1 = х 2 – парабола
| х | 0 | ±1 | ±2 | ±3 |
| у | 0 | 1 | 4 | 9 |
у2 = –2х + 3 – прямая
| х | –3 | 1 |
| у | 9 | 1 |
А(–3;9) и В(1;1) –точки пересечения. Абсциссы этих точек равны –3 и 1.
Значит х = –3 и х = 1 – решение уравнения х 2 + 2х – 3 =0
так) х = – 1 и х = 3
для) х = – 3 и х = 1
вот) х = – 5 и х = 0
Рассмотрим алгоритм решения.
1. дано уравнение х 2 + 2х – 3 = 0.
2. представим уравнение в следующем виде х 2 = – 2х + 3.
3. в одной системе координат строятся графики функций
4. абсциссы точек пересечения являются решением данного уравнения
IV. Закрепление изученного материала.
1). Решить уравнение х 2 – х – 2 = 0. x 
[-5; 5] с шагом 0,5 в программе MS Excel (Приложение 2, задание 2)
(Решение см. Слайд 24)
души) х = –2 и х = 1
школы) х = 3 и х = 1
сердца) х = 2 и х = – 1.
с е р д ц а
2). Решить самостоятельно.
а). х 2 – 2х – 8 = 0 x [–5; 5] с шагом 0,5
а) один ученик решает аналитически, с помощью теоремы Виета.
б) другой ученик решает графически в тетради.
в) класс решает в программе MS Excel. (Решение см. Приложение 3)
широкого) х = 5 и х = 1;
русского) х = 4 и х = – 2;
красного) х = 3 и х = – 1.
р у с с к о г о
б). 2х 2 + х – 3 = 0 x [–4; 4] с шагом 0,5
а) один ученик решает графически в тетради.
б) другой ученик решает аналитически по формуле для решения квадратных уравнений.
в) класс решает в программе MS Excel. (Решение см. Приложение 4)
слилось) х = 1 и х = –1,5;
расцвело) х = 3 и х = –2;
приснилось) х = –1 и х = 2.
с л и л о с ь
Отвели свой взгляд направо,
Отвели свой взгляд налево,
Оглядели потолок,
Посмотрели все вперёд.
Раз – согнуться – разогнуться,
Два ─ согнуться – потянутся,
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
Пять и шесть тихо сесть.
V. Практическая работа.
(Класс разбивается на 9 групп.)
Каждая группа учащихся получает дифференцированные задания на карточках. (Приложение 5)
С помощью графиков нескольких функций, построенных на заданных промежутках в программе MS Excel получаются буквы: М; О; С; К; В; А.(Приложение 6 лист1–7) и фигуры: КИТ; ЗОНТИК; ОЧКИ. (Приложение 7 лист1–3).
Учитель: Какие буквы у вас получились?
Ответы учащихся: М О С К В А
Учитель: Получилась фраза А.С. Пушкина из романа “Евгений Онегин” “Москва… как много в этом звуке для сердца русского слилось”.
(Как часто в горестной разлуке,
В моей блуждающей судьбе,
Москва, я думал о тебе!
Москва … как много в этом звуке
Для сердца русского слилось!
Как много в нём отозвалось.)
Учитель: Что это за город Москва?
Это сердце нашей Родины, столица нашего государства.
VI. Обогащение знаний.
(Высвечивается слайд, на котором находится парабола и гипербола.)
Мы сегодня на уроке применяли эти два графика: параболу и гиперболу.
Я хочу вам сказать ребята, что окружающий нас мир тесно связан с математикой. Валерий Чкалов говорил: “Полёт–это математика”. Оказывается, траектории движения космических аппаратов описываются параболой, гиперболой, эллипсом. При первой космической скорости (7,91 км/с) космический аппарат движется по эллипсу относительно Земли. (на рис. орбита 3) При второй космической скорости (11,2 км/с) аппарат движется по параболе (на рис. орбита 4) и движется в пределах Солнечной системы. При третьей космической скорости (16,6 км/с) космические аппараты движутся по гиперболе (на рис. орбита5) и навсегда покидают пределы Солнечной системы. В 70-х годах ХХ века были запущены такие космические аппараты “Пионер-10”, “Пионер-11”,которые навсегда покинули Солнечную систему в поисках разумных цивилизаций во Вселенной. Они несут в себе платиновые пластинки, на которых нанесены силуэты мужчины и женщины на фоне космического корабля, Солнечная система и траектория “Пионера”, схема атома водорода и положение Солнца по отношению к наиболее ярким галактическим пульсарам.
VII. Подведение итогов урока.
Вы замечательно поработали на уроке. Проверив ваши работы и учитывая ваши ответы за устную работу, я поставила вам оценки в индивидуальную таблицу.
Каждый ученик класса принимал участие в уроке. Во время урока заполняется индивидуальная таблица, в которой виден результат его работы на уроке.
| Ф.И | Устная работа | Практическая работа | Общая оценка |
Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: “Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто”. Думаю, что образование, которое вы получите, будет соответствовать времени, в котором мы живем. А чтобы это случилось на самом деле, предлагаю вам выполнить следующую творческую домашнюю работу.
VIII. Домашнее задание.
В конце урока проводится беседа, в которой выясняется:
– Что нового узнали на уроке?
– Понравился ли урок? (С помощью сигнальных карточек.)
– Что понравилось на уроке?
Источник
Графическое решение квадратных уравнений
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме
Открытый урок в 8классе сприменением ИКТ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| graficheskoe_reshenie_kvadratnyh_uravneniy.docx | 45.82 КБ |
| graficheskoe_reshenie_kvadratnyh_uravneniy.ppt | 456 КБ |
| analiz_otkrytogo_uroka_po_algebre_v_8_klasse.docx | 16.29 КБ |
Предварительный просмотр:
Открытый урок по математике
«Графическое решение квадратных уравнений» .
Учитель: Паламарчук Н.К.
МОУ гимназия № 2
Тема: «Графическое решение квадратных уравнений».
- Закрепить умение строить графики различных функции;
- Формировать умение решать квадратные уравнения графическим способом.
- Развить творческие способности у учащихся в ходе выполнения заданий;
- Развивать умение обосновывать свое решение;
- Развить умение находить свои ошибки.
- Развивать умение вести индивидуальную дискуссию, самостоятельного поиска решения, нахождения разных способов решения новой задачи;
- Формирование ответственности каждого за поведения при обсуждении, ораторского мастерства, самооценки качества своего труда.
Формы проведения урока : демонстрация слайдов, устный опрос, самостоятельная работа в тетрадях, работа у доски.
Материалы и оборудование:
Компьютер, мультимедийный проектор, задачник, мел, доска.
(отметить отсутствующих, записать тему, определить цели урока).
Сегодня на уроке мы вспомним: какие функции Вам знакомы; как выглядят их графики, а так же научимся решать графическим способом квадратные уравнения.
- Актуализация знаний.
- Какая функция называется квадратичной; линейной?
- Что является их графиками?
- Обратно пропорциональная зависимость? Ее график?
- Что значит решить уравнение?
- Что значит решить уравнение графически?
- Как построить прямую, параболу, гиперболу?
- Изучение нового материала.
С квадратными уравнениями вы уже встречались в курсе алгебры 7-го класса. Вспомним, что квадратным уравнением называют уравнение вида a х 2 + b х+ c = 0, где a,b,c – любые числа, причем а≠ 0.
Используя знания о некоторых функциях и их графиках, мы можем решать некоторые квадратные уравнения, причем Слайд 1.
различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.
Рассмотрим уравнение x 2 – 2x – 3 = 0.
Первый способ: построить график функции y = x 2 – 2x –3 Клик по алгоритму Клик и Клик найти точки его пресечения с осью х.
Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ
Второй способ: преобразовать уравнение, оставив в левой части только слагаемое, содержащее квадрат переменной.
Строим параболу y = x 2 и прямую y = 2x + 3, находим точки их пересечения.
Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
Третий способ: преобразовать уравнение, оставив в левой части слагаемое, содержащее квадрат переменной и свободный член.
Строим параболу y = x 2 – 3 и прямую y = 2x, находим точки их пересечения.
Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
Четвертый способ: преобразуем уравнение, используя метод выделения полного квадрата.
Строим параболу y = (x – 1) 2 и прямую y = 4, находим точки их пересечения.
Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
Пятый способ: преобразуем уравнение, разделив почленно обе части уравнения на х.
Строим гиперболу у = 3/x и прямую y = х – 2, находим точки их пересечения.
Корни уравнения – абсциссы точек пересечения гиперболы с прямой.
Мы рассмотрели все способы графического решения квадратных уравнений. Следует отметить, что первые четыре способа применимы к любым квадратным уравнениям, а пятый только к тем, у которых с ≠ 0.
Вы можете для решения выбирать наиболее удобный для вас способ.
Слайд 13. Решите уравнение x 2 – 4x + 3 = 0 (один ученик у доски)
Проверим: Слайд 14.
Решите графически уравнения: (по одному ученику у доски)
№ 23. 5 а) x 2 – x – 2 = 0 (ответ: 2; — 1)
№ 23. 6 а) – x 2 + 6x – 5 = 0 (ответ: 1; 5)
При наличии времени выполнить задания:
№ 23. 8 в) x 2 + 2x + 4 = 0
Докажите, что уравнение не имеет корней. (парабола с вершиной в точке (-1; 3), ветви направлены вверх).
№ 23.9. Решить задачу:
Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 8 см 2 , а длина на 2 см больше ширины.
1 этап: составление математической модели.
Пусть х см – длина прямоугольника, тогда (х – 2) см – ширина. Площадь прямоугольника можно вычислить х (х – 2). Зная, что S = 8 см 2 , составим уравнение: х (х – 2) = 8.
2 этап: работа с составленной моделью.
х в = — (-2)/2 = 1, у в = — 9.
3этап: ответ на вопрос задачи.
х – это длина, значит х > 0, значит х = — 2 не подходит по смыслу задачи.
Длина прямоугольника – 4 см, тогда ширина прямоугольника 2 см.
ОТВЕТ: длина прямоугольника 4 см, ширина – 2 см.
- Подведение итогов.
- Чему вы сегодня научились?
- Каким способом предпочтительнее выполнять задание?
- Оценивание. Выставление оценок в дневники.
§ 23. №№ 23.3 а), 23. 5 г), 23. 6 г)
- Программы. Математика. 5 – 6 классы. Алгебра 7 – 9 классы. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 классы /авт.-сост. И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. – 2 издание, исправленное и дополненное. – М.: Мнемозина, 2009.
- Мордкович А. Г.
Алгебра. 8 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений./ Мордкович А. Г . — М.: Мнемозина, 2009. – 215с.
Алгебра. 8 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений. / Мордкович А. Г .- 10-е издание, стереотипное. -М.: Мнемозина, 2009.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Пять графических способов решения квадратных уравнений
Цель урока: Применение навыков построения графиков функций при решении квадратных уравнений План урока Актуализация знаний. Новый материал: 5 способов решения квадратных уравнений. Практическое применение умений и навыков.
Движение графиков на плоскости. Объяснить построение графика функции. По графику функции написать ее уравнение Построить график функции Решить уравнение
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3 5 4 -5 -4
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3 5 4 -5 -4
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3 5 4 -5 -4
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3 5 4 -5 -4
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3 5 4 -5 -4 Вершина параболы: (1; — 4)
I способ II способ V способ IV способ III способ
2 у х 4 5 -2 -2 1 1 — 3 7 6 -1 3 3
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3 5 4
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3 4 4 -4
-1 2 -1 1 у х 3 2 1 -2 3 -3 -2 -3 5 4 -5 -4
Выберите способ и решите уравнение. Корней нет Вывод: Графические способы красивы, но не дают гарантии решения любого квадратного уравнения .
спасибо за урок!
Предварительный просмотр:
Анализ открытого урока по алгебре в 8 классе.
- Какова тема и цель урока.
Тема: «Графическое решение квадратных уравнений».
Образовательные: (тип урока – комбинированный урок, урок с разнообразными видами деятельности)
- Закрепить умение строить графики различных функции;
- Формировать умение решать квадратные уравнения графическим способом.
- Развить творческие способности у учащихся в ходе выполнения заданий;
- Развивать умение обосновывать свое решение;
- Развить умение находить свои ошибки.
- Развивать умение вести индивидуальную дискуссию, самостоятельного поиска решения, нахождения разных способов решения новой задачи;
- Формирование ответственности каждого за поведения при обсуждении, ораторского мастерства, самооценки качества своего труда.
- Какова степень достижения целей урока.
Поставленные цели практически достигнуты.
- Удалось ли удержать все виды деятельности в рамках объявленной темы урока.
Все виды деятельности удалось удержать в рамках объявленной темы урока.
- Правильно ли определены цели и задачи урока, учтены ли особенности данного класса.
Цели и задачи урока определены правильно, особенности данного класса учтены.
- Удалось ли выбранными приемами сформировать у детей мотивацию учебной деятельности на данном уроке и дать целевую установку учащимся.
Выбранными приемами( слушания, наблюдения, рассматривания, запоминания; оперирования образами, суждениями, умозаключениями, мыслительными операциями и действиями, зарисовывания ) удалось сформировать у детей мотивацию учебной деятельности на данном уроке и дать целевую установку учащимся.
- На сколько оптимальными для реализации целей урока оказались выбранные формы, методы, приемы организации учебной деятельности. Правильно ли определены подзадачи каждого вида деятельности (как ожидаемый результат после выполнения тех или иных упражнений, задач и т.п.).
Выбранные формы ( общеклассная, индивидуальная, фронтальная, демонстрация слайдов, самостоятельная работа в тетрадях, работа у доски ) , методы ( словевный, наглядный, репродуктивный) , приемы организации учебной деятельности, средства обучения ( компьютер, проектор, шаблоны парабол, геометрические инструменты, задачник, мел, доска, раздаточный материал ) оказались оптимальными для реализации целей урока.. Подзадачи каждого вида деятельности (как ожидаемый результат после выполнения тех или иных упражнений, задач и т.п.) определены правильно.
- Оптимально ли определено временное соотношение частей урока.
Временное соотношение частей урока определено оптимально.
- Удалось ли правильно определить задачи, место, формы и приемы контроля, какова его эффективность, имело ли место комментирования оценок.
Правильно удалось определить задачи, место, формы и приемы контроля, который был достаточно эффективен. Имело место комментирования оценок.
- Удалось ли правильно построить устную речь, свою и учащихся (исправление речевых ошибок, наличие логических акцентов, пауз, выразительность высказываний и т.п.).
Удалось правильно построить устную речь, свою и учащихся (исправление речевых ошибок, наличие логических акцентов, пауз, выразительность высказываний и т.п.).
- Правильно ли организована работа с домашним заданием: его подбор, характер, система объяснений, место домашнего задания в реализации целей урока.
Правильно организована работа с домашним заданием: его подбор, характер, система объяснений, место домашнего задания в реализации целей урока.
- Удалось ли организовать работу детей по оценке собственной деятельности на уроке с позиции достижения целевой установки.
Удалось организовать работу детей по оценке собственной деятельности на уроке с позиции достижения целевой установки.
- Какова на самом деле степень достижения целей данного урока, почему.
Источник
