Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.
МАОУ ЛИЦЕЙ №44 г. Липецка
Учитель математики: Скорикова Людмила Алексеевна.
Уроки математики в 11 классе
Задачи с параметрами
по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.
Углубить знания учащихся по теме иррациональные уравнения и неравенства.
Показать как одна из линий курса математики средней школы “Уравнения и неравенства с параметрами” реализуются в содержании ЕГЭ.
Развивать практические навыки в решении иррациональных неравенств с параметрами.
Развивать логическое мышление, математическую речь, навыки самостоятельной работы, самоконтроля.
Воспитывать познавательный интерес, творческие способности, ответственное отношение. Повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.
Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами. Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.
Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.
Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.
Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.
Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.
В конце рассматриваемой темы даются задания для самостоятельной работы.
Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.
Иррациональные уравнения и неравенства.
При решении иррациональных уравнений с параметрами пользуются общими формулами. Пусть f и q – некоторые функции, 
, тогда:
1). 
, f ≥ 0; q ≥ 0.
2). 
, f ≥ 0; q > 0.
3). 
, q ≥ 0.
4). 
, 
, q ≠ 0.
5). 
, fq ≥0.
Применяя эти формулы нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Для каждой формулы ОДЗ правой части может быть шире ОДЗ левой.
Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул «слева-направо» приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни уравнения.
Преобразование уравнений с формальным использованием данных формул «справа-налево» недопустимы, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.
Уравнение вида 
, 
равносильно системе:
Решить уравнение 
.
Заданное уравнение равносильно системе:
=> 
=> 
Находим значения а, при которых 
Ответ: 
Решить уравнение 
.
Заданное уравнение равносильно системе:
=> 
, 
х 1 , х 2 являются действительными числами при а ≤ 9/16. При значениях а > 9/16 решений нет.
Удовлетворим неравенства х ≥ а и х ≥ ½.
а) ≥ ½
≥ а
Если а ≤ 9/16, то 8а-5 справедливо при всех допустимых а.
б). 
а ≥ ½ (а ≤ 9/16)
Следовательно, х 2 является решением исходного уравнения при ½ ≤ а ≤ 9/16
Ответ: 
, если а 
, если ½ ≤ а ≤ 9/16; нет решений, если а>9/16.
Решить уравнение 
ОДЗ: х – а ≥ 0, х ≥ а
Если а = 1, то х 1 = х 1 = 1.
Если а 1 = 1 удовлетворяет условию ОДЗ х ≥ а, т.е. является корнем уравнения.
Если а > 1, то х 1 = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.
Ответ: 1) если а 1 = 1; х 2 = а; 2) если а ≥ 1, то х = а.
При каких а уравнение 
имеет один корень?
Корень будет единственным, если а=4; если одно из двух значений (4 и а) является посторонним корнем, а именно х = а. Это произойдет при условии, что х = а не входит в область определения уравнения х ≥ 0, т.е. при а
Ответ: а = 4 или а
Найти минимальное целое положительное значение параметра а, при котором уравнение 
имеет различные положительные корни.
ах -8 ≥ 0, х ≥ 8/а, х > 0, а > 0
D = 
, 
. А = 17 – минимальное целое число.
Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения 
принадлежат отрезку [2;17].
Пусть 
, t ≥ 0, х — 1 = t 2
,
,
1) 
=> 
=> 
=> 
2) 
=> 
=> 
3) 
=> 
=> 
=> 
Ответ: 
.
Решить уравнение 
.
х ≥ 2
(х + 1)(х — 2) = а; х 2 – х – 2 = а, х 2 – х – 2 – а = 0.
, 
.
Множеству х ≥ 2 принадлежит только корень х 2 .
Ответ: при а ≥ 0 
.
Решить уравнение 
.
. Так как 
, то m > 0. Пусть у = 
, тогда х = у 2 + 3, и исходное уравнение равносильно системе уравнений:
т.е. 
,
, 
, 
.
Ответ: при m m >3 решений нет, при 
.
Решить уравнение 
.
Пусть 
, тогда 
,
, 
, а т.к. t > 0, то 
,
, 
, 
. ( а > ¼)
х = 
.
Ответ: х = 
при а > ¼.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение 
имеет решение.
Если изобразить графики функций 
и 
, то очевидно, что они пересекаются (и исходное уравнение имеет решение) при 
.
При каких значениях а решением неравенства 
является промежуток [2;18)?
х 2 , т.к. 
, то
а = 7 – не подходит в ОДЗ.
Решить неравенство 
, где а – параметр.
При любом значении а, если правая часть х + а – 1
При х ≥ 1 – а равносильная система имеет вид :
=> 
(*)
Рассмотрим возможные случаи:
Если а > 1, то 1 – а ≤ х 
. Объединяя с множеством х .
Если а = 1, то х ≥ 1 – решение системы (*). Объединяя с множеством х
Ответ: 
, если а > 1; 
, если а ≤ 1.
Решить уравнение 
Из данного уравнения следует:
1 – х 2 = х 2 + 2ах + а 2 ,
2х 2 + 2ах + а 2 — 1 = 0.
D /4 = 2 – а 2 . D > 0 при |a| 
.
Затем если изобразить графики функций 
и 
, то видно как меняется количество решений в зависимости от значений а.
Ответ: при 
нет решений; при 
и 
одно решение; при 
два решения.
1). Решить уравнение 
.
Ответ: 
.
2). Найти левый и правый края области значений параметра а, в которой уравнение 
имеет различные положительные корни.
, х > 0, а ≥ 0.
D = 49 – 4 a 2 > 0
а = -3, 5 не входит в ОДЗ.
3). Решить уравнение 
.
Данное уравнение равносильно системе:
=> 
При а = 2 второе уравнение имеет вид 
, т.е. 
.
При а ≠ 2 
.
Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1.
.
Ответ: при а ≤ 1/3 и а > 2 ; при 1/3
4). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения 
принадлежит отрезку [-4;44].
Ответ: 
.
5). При всех а решить неравенство 
.
ОДЗ: 
а). Если а ≤ 0, то данное неравенство справедливо при всех .
б). Если а > 0, то данное неравенство равносильно системе неравенств.
=> 
.
Ответ: при 
; при 
.
Источник
