Рекуррентный способ задания последовательности определение

Числовая последовательность

п.1. Формулы числовых последовательностей

Запишем несколько первых чётных чисел и пронумеруем их:

Этот ряд бесконечен, но, глядя на таблицу, его легко задать формулой: \begin \mathrm> \end

Теперь, пользуясь формулой, для любого порядкового номера n мы сможем найти соответствующее чётное число.

Для обозначения членов последовательности и их индексов можно использовать разные буквы: x₁, x₂, . x_m. ; a₁, a₂, . a_k. ; A₁, A₂, . A_s. и т.д.

Например:
Найти 1й, 3й и 4й члены последовательности, заданной формулой \(\mathrm>\) $$ \mathrm< y_1=\frac<1-1><1+1>=0,\ \ y_3=\frac<3-1><3+1>=\frac12,\ \ y_4=\frac<4-1><4+1>=\frac35 > $$

п.2. Задание последовательностей описанием

Последовательность, заданную формулой y_n=2n, можно задать описанием как «последовательность чётных чисел».

Последовательность, заданную формулой \(\mathrm>\), можно задать описанием как «последовательность дробей, числитель которых на 1 меньше индекса, а знаменатель на 1 больше индекса последовательности».

Кроме того, существуют такие последовательности, которые можно задать только описанием.

Например:
1. Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

2. Последовательность десятичных приближений числа \(\mathrm<\sqrt<3>>\) по недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,7302050; 1,73020508,…

п.3. Рекуррентные формулы числовых последовательностей

Важнейшим классом числовых последовательностей, которые широко используются в алгоритмах вычислительной математики, являются рекуррентные отношения (от латинского слова recurrere – возвращаться).

Например:
Найти y₅, если y₁ = 1, y_n = 2y_n-1 + 1
Проводим последовательные вычисления:
y₂ = 2y₁ + 1 = 3, y₃ = 2y₂ + 1 = 7, y₄ = 2y₃ + 1 = 15, y₅ = 2y₄ + 1 = 31
Интересно, что, если присмотреться, эту последовательность можно также задать аналитически: y_n = 2 n – 1.

п.4. Свойства числовых последовательностей

Например:
Последовательность квадратов натуральных чисел y_n = n 2 возрастающая:

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) – убывающая: $$ 1\gt\frac12\gt\frac13\gt. \gt\frac1n\gt. $$

Например:
Последовательность отрицательных дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена сверху числом M = 0: $$ -1\lt 0,\ \ -\frac12\lt 0,\ \ -\frac13\lt 0. \ \ -\frac1n\lt 0, . $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена снизу числом M = 0: $$ -1\gt 0,\ \ \frac12\gt 0,\ \ \frac13\gt 0. \ \ \frac1n\gt 0, . $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена: $$ 1\gt \frac12\gt \frac13\gt . \gt \frac1n\gt . \gt 0 $$ Верхней границей является M = 1, нижней границей K = 0.

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной формулой
a) \(\mathrm<2n-1>>\)

Пример 2. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой
a) y₁ = 3, y_n = 3y_n – 1

Пример 3*. Укажите какую-либо формулу для n-го члена числовой последовательности

а) 3, 5, 7, 9, .
Это – последовательность нечётных чисел, для которой:
y_n = 2n + 1

б) 5, -5, 5, -5.
Это – знакопеременная последовательность, для которой модуль всегда равен 5, а знак меняется. Изменение знака можно записать как степень (–1). Учитывая, что нечётные члены последовательности положительные, а чётные – отрицательные, получаем:
y_n = (–1) n+1 · 5

в) \(\mathrm<\frac<1><1\cdot 2>,\ \ \frac<1><2\cdot 3>,\ \ \frac<1><3\cdot 4>. >\)
Это – последовательность дробей, у которых в знаменателе произведение текущего индекса n на следующий индекс (n + 1):
\(\mathrm>\)

г) 2, 5, 10, 17, 26, 37, .
Заметим, что

5 — 2 = 3, 10 — 5 = 5, 17 — 10 = 7, 26 — 17 = 9, .

Каждый последующий член отличается от предыдущего на возрастающее нечётное число. Можем записать рекуррентную формулу:
y₁ = 2, y_n = y_n-1 + (2n –1)

Пример 4*. Пифагор изучал последовательность «треугольных» чисел, которые можно задать следующими геометрическими фигурами:

и т.д.
Задайте эту последовательность 1) рекуррентной формулой; 2) аналитической формулой.

1) Запишем последовательность в явном виде, как это следует из чертежа: $$ \mathrm< y_1=1,\ \ y_2=\underbrace<1>_+2=3,\ \ y_3=\underbrace<1+2>_+3=6,\ \ y_4=\underbrace<1+2+3>_+4=10 > $$ Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу: y₁ = 1, y_n = y_n-1 + n

2) Для произвольного члена последовательности:

y_n = 1 + 2 + 3 + . + (n — 2) + (n — 1) + n

Найдём эту сумму. Для этого запишем выражение наоборот:

y_n = n + (n — 1) + (n — 2) + . + 3 + 2 + 1

Источник

Конспект урока «Рекуррентное задание числовых последовательностей» (9 класс)

Выбранный для просмотра документ Открытый урок Рекуррентное задание числовой последовательности.docx

ТЕМА: Рекуррентное задание числовых последовательностей

Цель урока : познакомить учащихся с рекуррентным способом задания числовой последовательности на примере чисел Фибоначчи и разобрать задачи на преобразование одного задания последовательности в другое.

Воспитательная : продолжить формировать алгоритмическую культуру мышления учащихся на основе дискретного понимания функции.

Развивающая : продолжить развитие навыков и умений работы с формулами задания функции.

Обучающая : научить отличать аналитический способ задания функции от рекуррентного, переводить одно задание функции в другое.

Учебник, компьютер (проектор).

Учащиеся получат представление рекуррентных соотношениях.

Узнают о способе перехода от аналитического задания к рекуррентному.

Научатся использовать рекуррентные формулы для вычисления значений последовательности.

Проверка домашнего задания.

Актуализация темы «Способы задания функции»

Изучение нового материала (работа с презентацией).

Определение рекуррентного соотношения.

Различия аналитического и рекуррентного способа задания.

Определение последовательности Фибоначчи

Онтологическая интерпретация чисел Фибоначчи.

Свойства последовательности Фибоначчи.

Решение заданий из учебника

Приветствие, проверка присутствующих. Объявление темы урока, объяснение хода урока.

2. Проверка домашнего задания: № 16.6, 15.41.

3. Актуализация темы «Способы задания функции»

( Презентация ) Вспомнить в процессе беседы с учащимися какие бывают способы задания функции: аналитический, словесный, табличный, кусочный. Обосновать на базе дискретной природы числовых последовательностей возможность установления связи текущего члена последовательности с предыдущим.

4. Изложение нового материала.

1. Определение рекуррентного соотношения

Опр. ( презентация ) Говорят, что последовательность задана рекуррентным соотношением, если указана формула, в одной части которой находится только n — ый член последовательности, а в другой — буквенное выражение, содержащее предыдущие члены последовательности, в котором аргумент не участвует в вычислениях значения функции.

2. Различия аналитического и рекуррентного способа задания .

Различие состоит в том, что при аналитическом способе вычисления n — го члена в буквенном выражении имеется аргумент, с помощью которого можно сразу получить результат, не зная при этом значений остальных членов последовательности. При рекуррентном способе вычисления n — го члена обязательно надо знать значения предыдущих членов, начиная с первого. При этом в формуле рекуррентного соотношения аргумент присутствует только как индекс нумерации и в вычислениях не используется. Образно говоря, функция натурального аргумента задана зависимостью от начального и получаемого значения той же функции как в «принципе домино».

3. Определение последовательности Фибоначчи

Опр. ( презентация ) Последовательностью Фибоначчи называется числовая последовательность, у которой заданы изначально первый и второй члены, а n — ый член вычисляется как сумма ( n —1)- го и ( n —2)- го членов.

4. Онтологическая интерпретация чисел Фибоначчи.

На Западе впервые эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что: изначально есть новорожденная пара кроликов (самец и самка), со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов, кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год? ( презентация )

В начале первого месяца есть только одна новорожденная пара (1).

В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1)

В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2)

В конце третьего месяца первая пара рождает еще одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3)

В конце четвертого месяца первая пара рождает еще одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5)

5. Свойства последовательности Фибоначчи .

Если числа Фибоначчи заданы следующим образом:

тогда справедливы следующие свойства ( презентация ):

5. Решение заданий из учебника

Решение учителем № 15.37, 15.31, 15.20 (а, б), 15.32, 15.21.

Решение учащимися № 15.37, 15.31, 15.20, 15.32, 15.21 (а, б).

Заключительный опрос по изученному материалу:

1) Приведите примеры рекуррентного соотношения

2) Приведите пример последовательности Фибоначчи

3) Запишите рекуррентно арифметическую прогрессию

Источник

Теоретический материал по теме: Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности.

Тема: Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности.

Цели: создание благоприятных условий для изучения понятия числовой последовательности; ввести определение предела последовательности и предела функции; познакомить с правилами вычисления пределов функции в точке и на бесконечности.

Определение№1: множество чисел, каждое из которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью.

Числовая последовательность представляет собой не что иное, как множество нумерованных чисел, упорядоченных наподобие натурального ряда, т.е. располагаемое в порядке возрастания номеров. Последовательность может содержать как конечное, так и бесконечное число членов.

Последовательность, состоящая из конечного числа членов, называется конечной, а последовательность, состоящая из бесконечного числа членов, — бесконечной последовательностью.

Иногда бесконечную числовую последовательность вводят, используя понятие функции:

Определение №2: Функцию у = f ( x ), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f ( n ), или у₁, у₂, у₃. у _n или у( n ).

Последовательности можно задавать различными способами, например, словесно, когда правило задавания последовательности описано словами, без указания формулы. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n -го члена.

Приведем три примера.

у _n = n 2 . Это аналитическое задание последовательности

Указав конкретное значение n , нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если. Например, n = 9, то у₉ = 9 2 = 81, если

у _n = С. Здесь речь идет о последовательности С, С, С, …., С, …. . Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

у _n = 2 n . Это аналитическое задание последовательности 2, 2 2 , 2 3 , ….,2 n , …

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n — й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (а _n ), заданная рекуррентно соотношениями:

(а и d – заданные числа, d – разность арифметической прогрессии)

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность ( b _n )? Заданная рекуррентно соотношениями:

( b и q – заданные числа, b ≠0, q ≠ 0; q знаменатель геометрической прогресси прогрессии).

Пример: Выписать первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:у₁ =1; у₂ = 1; у _n = у _{n -2} + у _{n -1}

Решение. n –й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов. Значит, последовательно получаем:

Последовательность (х _n ) называется ограниченной, если существуют такие два числа m и М, что для всех n N выполняется неравенство m ≤ х _n ≤М.

Последовательность (х _n ) называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех n N выполняется неравенство х _n ≤М.

Последовательность (х _n ) называется ограниченной снизу, если существует такое число m , что для всех n N выполняется неравенство m ≤ х _n

Например: последовательность (х _n ), заданная формулой общего члена х _n = n , ограничена снизу (например, число 0) и не ограничена сверху.

Последовательность (х _n ) называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х _{n +1} > х _{n .}

Последовательность (х _n ) называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х _{n +1} n _.

Последовательность (х _n ) называется невозрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, не более предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х _{n +1} ≤ х _{n .}

Последовательность (х _n ) называется неубывающей, если каждый ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х _{n +1} ≥ х _{n .}

Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей.

Предел числовой последовательности.

Рассмотрим для числовые последовательности – (у _n ) и ( x _n ).

( x _n ): 1,

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой.

0 1 3 5 7 9 11 у

Замечаем, что члены последовательности ( x _n ) как бы «сгущаются» около точки 0 – говорят последовательность сходятся , а у последовательности (у _n ) такой точки сгущения нет – и говорят, что последовательность расходится.

Математики не используют термин точка сгущения, а они говорят предел последовательности.

Определение: Число b называется пределом последовательности (у _n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут так: у _n → b или читают так: предел последовательности у _n при стремлении n к бесконечности равен b .

На практике используется еще одно истолкование равенства , связанное с приближенными вычислениями: если последовательность у _n = f ( _n ) сходится к числу b , то выполняется приближенное равенство f ( _n )≈ b , причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n .

Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.

Достаточное условие сходимости последовательности.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. (теорема К.Вейерштрасса)

Свойства сходящихся последовательностей

Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Если , то последовательность у _n = q n расходится.

Теоремы о пределах последовательностей.

Если

Если , то

Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение:

Предел суммы равен сумме пределов:

Предел произведения равен произведению пределов:

Предел частного равен частному пределов: , где с≠0.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Нахождение пределов последовательности:

Найти предел последовательности:

а) х _n = б) х _n = в)

Решение: а) применив правило «предел произведения», получим:

б) применим правило «предел суммы» и получим:

в) в подобных случаях применяют искусственный прием: делят числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n . В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n 2 . Имеем: (здесь мы применили правило «предел дроби»).

Пределы функций. Нахождение пределов функции в точке и на бесконечности.

Теория пределов позволяет определить характер поведения функции у = f ( x ) при заданном изменении аргумента.

Пусть функция f (х) определена в некоторой окрестности точки х =х ₀ , за исключением, быть может, самой точки х ₀ .

Число А называется пределом функции f (х) в точке х ₀ , если для любого числа >0 найдется такое положительное число , что для любого х х ₀ , удовлетворяющего неравенству | х — хо | , выполня ется соотношение | f ( x ) — А |

То, что функция f ( x ) в точке х ₀ имеет предел, равный А, обозна чают следующим образом:

Геометрически существование данного предела означает, что каково бы ни было >0, найдется такое число , что для всех х, заключенных между х ₀ + , и х ₀ — (кроме, быть может, самой точки х _с ), график функции у = f ( x ) лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А + и у = А- (рис.1)

Таким образом, понятие предела функции дает возможность от ветить на вопрос, к чему стремятся значения функции, когда значе ния аргумента стремятся к х ₀

Число А называют пределом функции f ( x ) при х, стремящимся к х ₀ , если разность f ( x ) — А по абсолютной величине есть величина бесконечно малая.

Практическое приложение темы «Предел функции в точке».

а) б) в) г) д);

2. Вычислите пределы следующих функций:

а)

б)

в).

3. Используя разложение на множители преобразовать дроби и вычислить предел функции в точке:

а) б) в) г) д)

е) ;

ж) ;

з).

4. Найти предел функции в точке, используя способ избавления знаменателя(числителя) от иррациональности (помножить на сопряженное выражение):
а) ; б) ; в) .

Вопросы для самоконтроля .

Сформулируйте определение предела функции в точке.

Повторите основные теоремы о пределах.

Повторите способы преобразования дробных выражений, используя материалы практических занятий, справочную литературу.

Вычислите пределы функции в точке:

а) ; в) ;

б) ; г) .

а) ; б) ; в) ; г) ; д).

а);

а) .

Дайте определение числовой последовательности.

Перечислите способы задания последовательностей.

Какие последовательности называют ограниченными?

Сформулируйте определение предела числовой последовательности.

Сформулируйте необходимые условия сходимости последовательности.

Сформулируйте достаточные условия сходимости последовательности

Дайте определение предела функции в точке.

Перечислите основные теоремы о пределах функции в точке.

Источник