Рекуррентный способ это что

Что такое рекуррентные платежи и как они увеличат вашу выручку

Привет! Я менеджер по продукту платежного модуля для Robokassa «AINOX.RU». Мы помогаем автоматизировать продажи по подписке для предпринимателей. Рекуррентные платежи — мощнейшая точка роста для бизнеса. Пока, всего 4,9% компаний пользуются этим инструментом. Я подготовил материал о рекуррентных платежах для бизнеса, с цифрами для сравнения и примерами механик, готовых к внедрению уже сегодня.

Рекуррентные платежи, также платежи по подписке или автоплатежи — это повторяющиеся по заданному расписанию платежи, списывающиеся автоматически с банковской карты клиента, после его согласия.

Пример: клиент оформляет подписку на журнал «Вестник рунета» за 1000 ₽ в месяц, оплачивает картой, как обычно. Через месяц деньги списываются с карты еще раз, потом еще через месяц и так-далее, пока клиент не отпишется. Не обязательно это должен быть журнал — вы можете продавать любые товары и услуги. Ниже разберем примеры.

Из своего опыта могу сказать, что только 1 из 5 предпринимателей, с которыми я сталкиваюсь, ясно понимают выгоду и возможности, которые перед ними открывают рекуррентные платежи. В этой статье я постараюсь раскрыть для читателей VC подробности и возможно, дать кому-то новую точку роста.

Существуют десятки механик, по которым можно использовать рекуррентные платежи. Описать все в рамках одной статьи не представляется возможным, я расскажу про основные. Но начну с пояснения, на что влияют подписки.

Рекуррентные платежи прямо влияют на финансовые и косвенно на различные другие показатели, для себя я выделяю 3 основных:

• Выручка (revenue) — благодаря рекуррентным платежам вы можете продать новым пользователям что-то недорогое и активировать их в первую покупку, которые раньше бы просто ушли. Также, создадите дополнительные продукты для существующих пользователей, которые уже завершили цикл в текущей воронке, но лояльны и готовы покупать еще;
• Пожизненная ценность клиента (ltv) — продолжая историю с завершившими стандартный цикл покупателями вы удлиняете существующий и делаете его условно бесконечным. В среднем, добавляется еще 11 месяцев;
• Удержание (retention) — платящий клиент по умолчанию более лояльный. Благодаря рекуррентным платежам, цикл взаимодействия с вашим бизнесом увеличивается и у вас открывается возможность выстраивать более длительный цикл отношений практически на автомате.

Сказать однозначно, на сколько можно увеличить выручку нельзя, все зависит от специфики бизнеса. Мое личное мнение, что практически любой бизнес может добавить в свой ассортимент продукт стоимостью от 50 ₽ до 3000 ₽ и дополнительно зарабатывать на подписках.

Вернемся к механикам. Под этим термином я понимаю методы использования рекуррентных платежей в вашем бизнесе. Предлагаю наиболее распространенные примеры:

• Расширение ассортиментной матрицы
  Добавляя какую-то постоянную услугу или товар, с бесконечным циклом продажи, вы закрываете финальный блок ассортиментной матрицы, создав «тропинку возврата» (recurring path). Это позволяет вам получать постоянные деньги со всех клиентов, включая тех, кто когда-то покупал и теперь не активен. Особенно, это выгодно, когда у вас минимальная или равная нулю себестоимость продукта. Пример: техподдержка продукта, расходники, регулярные обновления;
• Активация новых пользователей
  Известный факт, что первая продажа обычно, является самой сложной. Необходимо преодолеть барьер недоверия и возражений. Клиент, заплативший вам хотя-бы рубль, становится значительно лояльнее. К тому-же, подписка, дополнительный крючек, возможность продать хоть что-то тем, кто сейчас просто уходит. Например, вы можете продавать подписку на ваш продукт со значительной скидкой, до 99%. Сохранив данные карточки, второй платеж будет списан полностью, автоматически.
• Автоматизация продаж
  Любой бизнес, с повторяющимися продажами, теряет значительные средства на обслуживании операций по оплате. Выставление счетов, контроль оплаты, коммуникации с клиентами и много других расходов, в зависимости от процесса. Кроме денег, это также отнимает время у вас и клиентов. Гораздо комфортнее, доверить эту процедуру системе, оставив специалистам только работу с не типовыми случаями и долгами.
• Работа с абонементами и подписками
  Частный случай предыдущей механики. Существует бизнес, суть которого — повторяющиеся платежи. Очевидный пример: фитнес-центры, спортивные клубы, издательства, служба охраны, доступ к информации, иногда аренда. Такие проекты кроме экономии, получат рост выручки, за счет повышения собираемости средств.
• Дробление платежа и визуальное уменьшение стоимости
  Маркетинговый прием, который можно использовать в любом виде бизнеса. Своего рода «рассрочка», без участия банка. Актуально для случаев, где покупатели тяжело соглашаются расстаться с большой суммой за раз.

Также, рекуррентные платежи очень любят благотворительные фонды, при сборе пожертвований. Постоянные жертвователи делают их деятельность гораздо более стабильной. Про это уже было несколько статей здесь, на VC.

Из сложной и дорогой технологии, доступной только банкам и мобильным операторам, рекуррентные платежи давно превратились в эффективный бизнес-инструмент, доступный любому предпринимателю. Платежные агрегаторы, предоставляют эту услугу, вместе со стандартным банковским интернет-эквайрингом (прием платежей по банковской карте).

Если вы обладаете статусом юридического лица (ООО, НКО и т.д.) или Индивидуального предпринимателя, то легко можете принимать платежи по подписке, практически в любом бизнесе, не противоречащем законодательству РФ.

Мы смогли подключить рекуррентные платежи даже самозанятой девушке, организовавшей собственный книжный клуб. Это очень необычно, но открывает возможность вести бизнес по подписке даже физическим лицам.

Вместе с коллегами из платежного сервиса Robokassa, я подготовил для вас статистику по доле проникновения рекуррентных платежей по направлениям бизнеса.

Обратите внимание на то, что кроме разработчиков ПО (программного обеспечения) и сервисов, эту функцию пока освоили далеко не все и у вас есть возможность получить достойное конкурентное преимущество.

Убеждение, что в бизнесе далеком от IT нельзя принимать рекуррентные платежи является ложным. Действительно, для того чтобы покупатель оформил подписку, нужно его согласие и такой функции нет в терминале оплаты. Но люди уже давно знакомы с QR кодами, в которые можно зашить ссылку на оплату.

Например, у вас небольшой фитнес-клуб. Вы можете распечатать QR-код, по примеру выше и разместить его возле кассы. Любой желающий подписаться на абонемент по карте может просканировать камерой телефона этот код и перейти по ссылке для оплаты и подписки.

Мне известен только один весомый недостаток рекуррентных платежей — повторные списания могут вызывать негатив и сопротивление у клиентов.

В некоторых случаях, несмотря на очевидные предупреждения и пояснения о подписке, встречаются клиенты, которые оказываются «удивлены» тому факту, что платеж не разовый и продавец снимает деньги с их карты. Увы, такое бывает. Если сопротивление аудитории не удается преодолеть, то приходится менять модель продаж.

Чаще, это единичные случаи, происходящие по невнимательности покупателя. Чтобы избежать этой проблемы нужно однозначно и понятно описать процедуру подписки, и оплаты, акцентировать внимание на интервалах списания, дать простую, и удобную возможность отказаться от подписки.

Во всех остальных ситуациях, модель работы по подписке принесет вам ряд значительных преимуществ и окажет влияние на:

• Увеличение выручки;
• Снижение оттока клиентов;
• Прогнозирование прибыли.

Грамотное планирование, внедрение и управление процессом, поможет избежать возможных трудностей и получить выгоду от применяемого решения.

Существует 3 способа подключить рекуррентные платежи. Все завязаны на использовании IT инфраструктуры: сайт, приложение, биллинг. Вы можете разрабатывать собственное решение или воспользоваться готовым.

Некоторые банки, возможно и ваш, оказывают услуги по интернет-эквайрингу. Чаще всего, вместе с приемом стандартных платежей по карте, есть возможность подключить рекуррентные платежи.

Плюсы: все банковское обслуживание в одном месте.

Минусы: очень долго и дорого, вам точно придется нанимать программиста и разрабатывать собственный биллинг, у каких-то банков плохая или отсутствующая документация.

На рынке есть сервисы, еще их называют агрегаторы, которые предоставляют доступ к разным платежным системам, в том числе и к оплате по карте. Практически все поддерживают рекуррентные платежи. Самые популярные: Robokassa, Яндекс Касса. Так как это их бизнес, у них хорошая поддержка, широкий функционал и отличная документация.

Плюсы: часто, больше опыта в интернет-платежах чем у банков; доступ к разным платежным системам и дополнительным услугам, кроме рекуррентных платежей.

Минусы: долго и дорого, так как вам все-равно придется нанимать программиста, ведь готовые решения существуют только узкоотраслевые.

Платежный модуль — это дополнительное решение, плагин, виджет, позволяющий добавить функционал к вашей системе, готовый к использованию. Для зарубежного рынка существуют решения, например WooCommerce Subscriptions. Но они не адаптированы для России.

Для России подходит облачный платежный модуль Ainox, который позволяет подключить рекуррентные платежи через Robokassa, даже без сайта. Каждый пользователь получает свой микро-сайт для оплаты, сделанный с учетом всех требований. Ainox также можно интегрировать с любым сайтом, включая сайты на Tilda.

Плюсы: очень быстро, запуск за 15 минут, по принципу конструктора; не нужен сайт и программисты; бесплатная помощь в подключении Robokassa.

Минусы: не подходит в случаях, требующих уникального решения.

Какой-бы способ подключения вы не выбрали, главное, используйте эту функцию в своих проектах. Подписки — это отличная возможность сделать сервис дружелюбнее и доступнее для пользователя за счет меньшей цены, возможности попробовать дешевле. А для бизнеса, значительная точка роста по ключевым показателям.

Пишите комментарии или мне лично, буду рад ответить на ваши вопросы и помочь с внедрением платежей в ваш бизнес.

На самом деле, проблема «ой, списали, а я не знал» достаточно распространённая, а не единичная. Хотя, может, это всё чисто от невнимательности. Но могу сказать точно, что каждое 7е обращение к платежным агрегаторам посвящено как раз на эту тему. Вроде бы ничего страшного, но в целом деньги списывают не всегда за те услуги, которые человек хотел приобрести.

Не знаю у кого как, но лично меня рекурентные платежи не раз останавливали от покупки услуги. Т.е. к примеру я готов оплатить услугу на 3 месяца и только на 3 месяца, но с рекурентными платежами я должен буду об этом через 3 месяца вспомнить и остановить подписку, либо пустить всё на самотёк и заплатить в итоге в 3 раза больше пока не вспомню про необходимость отмены подписки. Понятно что для предоставителя услуг это +LTV, и от него не станут отказываться без веской причины, но если говорить именно про юзер-френдли интерфейс, то думаю многие предпочли бы заплатить всю сумму подписки единовременно, а не позволять списывать с карточки абонплату каждый месяц неограниченное количество времени.

@Николай Глущенко, спасибо за комментарий. То, о чем вы пишете — индивидуальная особенность организации тарифных планов каждого продавца.

При продаже продуктов с ограниченным сроком подписки, можно предлагать 2 тарифа: подписка за Х ₽ и фиксированный тариф, за 3Х+Х ₽. Тогда человек может выбирать подписку или разовый платеж, но с небольшим добавочным коэффициентом. Это справедливо по отношению к продавцу, делающему бизнес и к покупателю, требующему индивидуальный подход. На мой взгляд, это вполне «френдли». Но на практике, не так уж много людей действительно готовы чуть-чуть переплатить и посчитав разницу подписываются.

Хочу дополнить немного про дружелюбность. Хорошая подписка не дает забыть о себе и разумеется, всегда оставляет возможность отказаться. В Áйнокс, мы отправляем e-mail уведомление после каждой транзакции и даем ссылку на отписку. Также, готовим функцию позволяющую предупредить подписчика заранее о приближающемся сроке оплаты. ред.

Источник

Решение рекуррентных соотношений

Содержание

Определения [ править ]

Определение:

Рекуррентная формула (англ. recurrence relation) — формула вида [math]a_n=f(n, a_, a_, \dots, a_ ) [/math] , выражающая каждый следующий член последовательности [math]a_n[/math] через [math]p[/math] предыдущих членов и номер члена последовательности [math]n[/math] , вместе с заданными первыми p членами, где [math]p[/math] — порядок рекуррентного соотношения.

Для рекуррентного соотношения, которому удовлетворяет последовательность [math] \ < a_n \>[/math] мы часто хотим получить выражение для [math]a_n[/math] . Например, для рекуррентного соотношения, задающего числа Фибоначчи:

[math] F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_ = F_ + F_, \quad n\geqslant 2, \quad n\in Z[/math]

[math]a_n[/math] член может быть записан следующим образом: [math]a_n=\dfrac<1><\sqrt<5>>\left( \biggl( \dfrac<1+\sqrt<5>> <2>\biggr)^n — \biggl( \dfrac<1-\sqrt<5>> <2>\biggr)^n \right).[/math]

Для этого можно использовать метод производящих функций (англ. generating function method).

Метод производящих функций [ править ]

Алгоритм получения выражения для чисел [math]a_[/math] , удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций cостоит из [math]4[/math] шагов.

1. Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен [math]k[/math] ): [math]a_ <0>= …, \\ a_ <1>= …, \\ a_ = …, \\ … \\ a_ = …, n\geqslant k[/math]
2. Домножить каждую строчку на [math]z[/math] в соответствующей степени ( [math]z^ \cdot a_ = … \cdot z^[/math] ) и сложить все выражения, многоточие надо рассматривать как множество из выражений, где [math]n \in [k, +\infty)[/math] . В левой части получится сумма [math]\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n[/math] — это производящая функция, назовем ее [math]G(z)[/math] . Правую часть преобразовать так, чтобы она превратилась в выражение, включающее [math]G(z)[/math] .
3. Решить полученное уравнение, получив для [math]G(z)[/math] выражение в замкнутом виде.
4. Разложить [math]G(z)[/math] в степенной ряд, коэффициент при [math]z_n[/math] будет искомым выражением для [math]a_n[/math] .

Примеры [ править ]

[math]1[/math] пример [ править ]

Производящие функции позволяют решать рекуррентные соотношение механически по одному и тому же алгоритму. Рассмотрим общую схему на простом примере, который позволит продемонстрировать базовые приёмы работы.

Задано линейное однородное рекуррентное соотношение порядка [math]2[/math] с постоянными коэффициентами:
[math]\begin a_0&<>=<>&0,\\ a_1&<>=<>&1,\\ a_n&<>=<>&5a_-6a_, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Порядок соотношения — это его «глубина», то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером [math]n[/math] . В данном случае порядок равен [math]2[/math] , так как для вычисления [math]a_n[/math] требуется знать [math]a_[/math] и [math]a_[/math] .

Будем искать производящую функцию последовательности в виде
[math] G(z)=\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n = a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots, [/math]

с этой целью умножим верхнюю строчку в записи рекуррентного соотношения на [math]z^0[/math] , следующую — на [math]z^1[/math] и последнюю — на [math]z^n[/math] :
[math]\begin 1\cdot a_0&<>=<>&0\cdot 1,\\ z\cdot a_1&<>=<>&1\cdot z,\\ z^n\cdot a_n&<>=<>&(5a_-6a_)\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Теперь сложим все уравнения для всех значений [math]n[/math] :
[math] \underbrace^<\infty>a_nz^n>_ <=>z+5\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n-6\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n. [/math]

Левая часть уравнения в точности равна [math]G(z)[/math] , а в правой части есть суммы, очень похожие на функцию [math]G(z)[/math] , но не равные ей. Эти суммы нужно привести к виду [math]G(z)[/math] . Начнём с первой:
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n \stackrel<(1)><=>z\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^ \stackrel<(2)> <=>z\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n \stackrel<(3)> <=>z\biggr( \underbrace< \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n+a_0>_ — a_0\biggr)=z(G(z)-a_0) \stackrel<(4)> <=>z G(z). [/math]

Равенство [math](1)[/math] получатся вынесением [math]z[/math] в первой степени за знак суммы, это необходимо, чтобы уровнять степень переменной [math]z[/math] и индекс переменной a внутри суммы. Действие [math](2)[/math] — изменение индекса суммирования, которое позволяет избавиться от [math]n-1[/math] . Равенство [math](3)[/math] получается, если прибавить и снова отнять значение [math]a_0[/math] , чтобы получить полную сумму от [math]n=0[/math] до [math]∞[/math] . Равенство [math](4)[/math] справедливо в силу того, что [math]a_0=0[/math] .

Аналогичные манипуляции со второй суммой дают нам выражение
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n = z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^ = z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^=z^2G(z). [/math]

Теперь наше исходное уравнение для производящей функции принимает вид:
[math] G(z) = z + 5zG(z) -6z^2G(z), [/math]

откуда получаем производящую функцию последовательности в замкнутом виде:
[math] G(z) = \dfrac<1-5z+6z^2>. [/math]

Отыскав производящую функцию в замкнутом виде, её нужно снова разложить в ряд. Это можно сделать разными способами, но самый простой из них — разбить всю дробь на простые дроби и применить формулу для разложения [math]\dfrac<1><1-z>[/math] . Итак, разложим знаменатель функции на множители:
[math] G(z) = \dfrac <1-5z+6z^2>= \dfrac<(1-3z)(1-2z)>. [/math]

Теперь разобьём дробь на сумму простых дробей:
[math] \dfrac <(1-3z)(1-2z)>= \dfrac<1> <1-3z>— \dfrac<1><1-2z>. [/math]

Из этого разложения следует, что
[math] \dfrac<1><1-3z>= \displaystyle\sum_^<\infty>(3z)^n \quad\mbox< и >\quad \dfrac<1><1-2z>= \displaystyle\sum_^<\infty>(2z)^n. [/math]

Таким образом,
[math] G(z) = \displaystyle\sum_^<\infty>3^nz^n — \displaystyle\sum_^<\infty>2^nz^n = \displaystyle\sum_^<\infty>(3^n-2^n)z^n. [/math]

С другой стороны, мы искали [math]G(z)[/math] в виде
[math] G(z)=\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n, [/math]
поэтому, в силу равенства рядов, [math]a_n=3^n-2^n[/math] (для [math]n\geqslant 0[/math] ).

[math]2[/math] пример: числа Фибоначчи [ править ]

Рассмотрим рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи:
[math]\begin f_0&<>=<>&0,\\ f_1&<>=<>&1,\\ f_n&<>=<>&f_+f_, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Первый шаг алгоритма мы уже выполнили, записав рекуррентное соотношение. Выполним второй шаг:
[math]\begin 1\cdot f_0&<>=<>&0\cdot 1,\\ z\cdot f_1&<>=<>&1\cdot z,\\ z^n\cdot f_n&<>=<>&(f_+f_)\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Складываем все строчки:
[math] f_0 + f_1 z + \displaystyle\sum_^<\infty>f_nz^n = z + \displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n+\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n. [/math]

Третий шаг алгоритма требует привести все суммы к замкнутому виду:
[math]\begin G(z) &<>=<>& z + z\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^+z^2\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^, \\ G(z) &<>=<>& z + z\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n+z^2\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n, \\ G(z)&<>=<>& \displaystyle z + z(G(z)-f_0)+z^2G(z),\\ G(z)&<>=<>& \displaystyle z + zG(z)+z^2G(z),\\ \end [/math]

откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:
[math] G(z) = \dfrac<1-z-z^2>. [/math]

Осталось разложить её в ряд (чего требует четвёртый шаг алгоритма). С этой целью нужно разложить знаменатель на множители. Найдем корни уравнения:
[math]\displaylines< 1-z-z^2 = 0 \cr z_1=-\dfrac<1-\sqrt<5>><2>, z_2=-\dfrac<1+\sqrt<5>><2>. > [/math]

Нам известно разложение следующей рациональной функции:
[math] \dfrac<1> <1-z>= \displaystyle\sum_^<\infty>z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots. [/math]

Рассмотрим первую дробь и поделим в ней числитель и знаменатель на [math]z_1[/math] :
[math] \dfrac = \dfrac1\dfrac<1><1-\dfrac> = \dfrac1\displaystyle\sum_^<\infty>\dfrac. [/math]

Аналогично (но с делением на [math]z_2[/math] ) поступим со второй дробью:
[math] \dfrac = \dfrac1\dfrac1<1-\dfrac> = \dfrac1\displaystyle\sum_^<\infty>\dfrac. [/math]

Данное выражение можно упростить, если обратить внимание на то, что [math]1/z_1=-z_2[/math] , [math]1/z_2=-z_1[/math] и [math]z_1-z_2=√5[/math] . Подставим [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] в предыдущее выражение:
[math] f_n=\dfrac<1><\sqrt<5>>\left( \biggl( \dfrac<1+\sqrt<5>> <2>\biggr)^n — \biggl( \dfrac<1-\sqrt<5>> <2>\biggr)^n \right). [/math]

[math]3[/math] пример [ править ]

Найдём производящую функцию для последовательности квадратов чисел Фибоначчи: $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, f_k^2,\ldots$.

По определению последовательности Фибоначчи выполняется:
[math] \left\< \begin f_ = f_ + f_n \\ f_ = f_ — f_n \end \right. [/math]
Возведя в квадрат и сложив, получим:
[math] \begin f_^2 + f_^2 = 2f_^2 + 2f_n^2, \\ f_^2 = 2f_^2 + 2f_n^2 — f_^2, \\ f_^2 = 2f_^2 + 2f_^2 — f_^2.\\ \end [/math]
Обозначим рассматриваемую последовательность [math]A[/math] , а её члены [math]a_n[/math] , тогда:
[math]a_n = 2a_ + 2a_ — a_[/math]

Рекуррентное соотношение:
[math] \begin a_0 = f_0^2 = 1 \\ a_1 = f_1^2 = 1 \\ a_2 = f_2^2 = 4 \\ a_n = 2a_ + 2a_ — a_, \quad n\geqslant3.\\ \end [/math]

Приведём суммы к замкнутому виду:
[math] \begin A(z) = \displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n = 1 + z + 4z^2 + \displaystyle\sum_^<\infty>(2a_ + 2a_ — a_)z^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n + 2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n — \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n + 2z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n — z^3\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z(A(z) — 1 — z) + 2z^2(A(z) — 1) — z^3A(z), \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2zA(z) — 2z — 2z^2 + 2z^2A(z) — 2z^2 — z^3A(z), \\ A(z)(1 — 2z — 2z^2 + z^3) = 1 + z + 4z^2 — 2z — 2z^2 — 2z^2 = 1 — z, \\ \end [/math]
откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:
[math]G(z) = \dfrac<1 - z><1 - 2z 2z^2 + z^3>.[/math]

[math]4[/math] пример [ править ]

Рассмотрим следующее рекуррентное соотношение:
[math]\begin a_0&<>=<>&1,\\ a_1&<>=<>&2,\\ a_n&<>=<>&6a_-8a_+n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Следующие действия аналогичны тем, которые мы делали для чисел Фибоначчи:
[math]\begin \displaystyle a_0 + a_1 z + \displaystyle\sum_^<\infty> &<>=<>& 1+2z+6\displaystyle\sum_^<\infty>>-8\displaystyle\sum_^<\infty>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<>& 1+2z+6z\displaystyle\sum_^<\infty>>>-8z^2\displaystyle\sum_^<\infty>>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<>& 1+2z+6z\displaystyle\sum_^<\infty>>>-8z^2\displaystyle\sum_^<\infty>>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<> & 1+ 2z + 6z(G(z)-a_0)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n.\\ G(z) &<>=<> & 1 — 4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n.\\ \end [/math]

Вспомним, что
[math] (z^n)’ = nz^, [/math]

поэтому
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n=z\displaystyle\sum_^<\infty>nz^=z\displaystyle\sum_^<\infty>(z^n)’=z\biggl(\displaystyle\sum_^<\infty>z^n\biggr)’. [/math]

Последняя сумма может быть свёрнута:
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>z^n=\displaystyle\sum_^<\infty>z^n-1-z=\dfrac<1><1-z>-1-z=\dfrac<1-z>. [/math]

Подставив свёрнутое выражение обратно, имеем,
[math] z\biggl(\displaystyle\sum_^<\infty>z^n\biggr)’ = z \biggl(\dfrac<1-z>\biggr)’=\dfrac<(1-z)^2>. [/math]

Таким образом, наше последнее уравнение примет вид
[math] G(z) = 1 -4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \dfrac<(1-z)^2>.\\ [/math]

Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем [math]G(z)[/math] :
[math] G(z) = \dfrac<1-6z+11z^2-5z^3><(1-6z+8z^2)(1-z)^2>. [/math]

Дальше мы знаем что делать со всеми этими дробями, кроме, разве лишь, первой. Рассмотрим её (без множителя) подробнее:
[math] \dfrac<1> <(1-z)^2>=(1-z)^ <-2>=\displaystyle\sum_^<\infty>\binom<-2>(-z)^n=\displaystyle\sum_^<\infty>(-1)^n\binom<1>(-z)^n =\displaystyle\sum_^<\infty>(n+1)z^n. [/math]

Источник