Разные способы сложения чисел

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел.

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

364+592=364+(592+8) – 8=364+600 – 8=956.

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то разность не изменится.

Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.

1351 – 994=(1351+6) – (994+6)=1357 – 1000=357.

Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, т. е. (a+b) – (a – b)=2b.

Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то в результате получится удвоенное большее число, т. е. (a+b) + (a – b)=2a.

Сложение столбцами . Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы.

Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел.

Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.

7·196=7·(200 – 4)=1400 – 28=1372.

Умножение методом Ферроля . Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Этот способ умножения следует из тождества (10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd.

37·48=1776 а) 8·7=56, пишем 6, помним 5;

б) 8·3+4·7+5=57, пишем 7, помним 5;

в) 4·3+5=17, пишем 17.

Методом Ферроля легко перемножать устно двузначные числа от 10 до 20.

12·14=168. Умножаем так:

а)2·4=8; б) 1·2+1·4=6; в) 1·1=1.

Можно умножить и трехзначное число на двузначное.

а)3·5=15, пишем 5, помним 1;

б) (3·2+2·5)+1=17, пишем 7, помним 1;

в) (3·1+2·2)+1=8, пишем 8;

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10 . Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Этот способ основан на тождестве (10a+b)·(10a+c)=100a(a+1)+bc, где b+c=10.

13·17=221, а)1·(1+1)=2, пишем 2;

б) 3·7=21, приписываем справа 21.

204·206=42024, а)20·(20+1)=420, пишем 420;

б)6·4=24, приписываем справа 24.

Умножение чисел на 11. Записать последнюю цифру числа (цифру из разряда единиц), затем последовательно, справа налево записывать суммы соседних двух цифр множимого и, наконец, первую цифру множимого.

54·11=594; а) пишем 4;

Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то на соответствующем месте записывают цифру единиц полученной суммы, а к следующей сумме прибавляют 1. Прибавляют единицу и к последней цифре множителя, если предыдущая сумма превышала 9.

58·11=638, а) пишем 8;

б) 5+8=13, пишем 3, помним 1;

3765·11=41415, а) пишем 5;

б) 5+6=11, пишем 1, помним 1;

в) (7+6)+1=14, пишем 4, помним 1;

г) (3+7)+1=11, пишем 1, помним 1;

Умножение на числа вида aa . Умножить данное число сначала на а, потом на 11.

Умножение двузначного числа на 111. Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т. е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1.

68·111=7548, а) пишем последнюю цифру 8;

б) 6+8=14, пишем 4, помним 1;

в) (6+8)+1=15, пишем 5, помним 1;

Умножение на 5, 25, 125. Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000.

Если множитель не делится на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.

53·5=26·10+1·5=265 (53:2=26 и 1 в остатке);

43·25=10·100+3·25=1075 (43:4=10 и 3 в остатке);

66·125=8·1000+2·125=8250 (66:8=8 и 2 в остатке).

Деление на 5, 25, 125 . Умножить число соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

Иногда удобно менять порядок действий, выполняя сначала деление на 10, 100, 1000, а потом умножение.

Умножение на 9, 99 и 999 . К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 десятков. К 25 прибавить цифру в разряде единиц и к результату приписать справа квадрат числа единиц так, чтобы получилось четырехзначное число. Этот способ основан на тождестве (50+а) 2 =100·(25+а)+а 2 .

51 2 =2601, а) 25+1=26, пишем 26;

б) 1 2 =1, приписываем 01.

58 2 =3364, а) 25+8=33, пишем 33;

б) 8 2 =64, приписываем 64.

Возведение в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 5. Число десятков умножаем на следующее за ним натуральное число, справа приписываем число 25.

Источник

Приемы быстрых вычислений

«Лучше усваиваются те знания,

которые поглощаются с аппетитом»

Анатоль Франс, французский писатель

Приемы быстрых вычислений

В самом обыкновенном устном счете, как и во многом другом, можно видеть много интересного, необычного и чудесного.

Математика – это инструмент для изучения других наук и различных сфер жизни, это не просто «сухие» цифры, формулы, а как сказал Аристотель: «Математика… выявляет порядок, симметрию, определенность, а это – важнейшие виды прекрасного».

Вряд ли кто-нибудь будет оспаривать необходимость вычислительной культуры современного человека.

Не потеряли своей актуальности слова М.В. Ломоносова о том, что арифметику за тем уже изучать стоит, что она ум в порядок приводит.

С приходом в нашу жизнь и школу калькуляторов, современные школьники перестали использовать устные формы вычислений. Между тем устный счет в их развитии нельзя заменить никакими калькуляторами.

Необходимо находить время на уроках для знакомства с приемами устного счета, тогда школьники не будут пользоваться калькуляторами.

В предлагаемой статье рассмотрены некоторые приемы быстрых вычислений, которые могут пригодиться не только на уроках математики, но и в повседневной жизни.

Способы быстрого сложения чисел

Способы быстрого сложения чисел:

порядковое сложение чисел 15+39+26=(10+30+20)+(5=9+6)=60+20=80.

Прибавление к одному числу отдельных, разрядов другого числа, всегда начиная с высших:

Сложение с использованием свойств действий с числами

При выполнении быстрого сложения чисел самым простым, на мой взгляд, является прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших

Способы быстрого вычитания чисел

Способы быстрого вычитания:

Вычитание с использованием свойств действий с числами

Ученики чаще принимают метод с использованием свойств действий с числами.

Способы быстрого вычитания чисел

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих.

Если уменьшаемое или вычитаемое близки, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

Удобно выполнять вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих:

Способы быстрого умножения чисел

Чтобы умножить число на однозначный множитель, умножают сначала десятки, затем единицы и оба результата складывают:

Умножение на двухзначное число.

Если оба множителя двухзначные числа, то разбиваем один из них на десятки и единицы. Разбивать надо множитель, у которого десятки и единицы выражены меньшими числами:

Индийская тайна быстрого умножения

Необходимо умножить два числа близкие к 100: 98х96

Найдем дополнения каждого множителя за 100 – соответственно 2 и 4.

Вычтем из 1-го множителя дополнения второго:

98-4=94 (или наоборот)

Это первые цифры произведения

Перемножим дополнения 2х4=8 (08) – это последние цифры произведения : 98х96=9408.

Умножение на 2 слева направо

При умножении на 2 запоминаем единицу, если цифра больше четырех, поэтому правило следующее: умножаем очередную цифру на 2 и произведение увеличиваем на единицу, когда последующая цифра больше 4, и записываем только цифру единицу результата, если это не первая цифра множителя; для первой цифры записываем полностью значение результата.

4286х2=8572, потому что 4х2=8 и пишем 8, так как последующая цифра не больше 4.

Далее: 2х2=4, следующая цифра больше 4, последнее произведение увеличиваем на единицу, и записываем 5.

Затем 8х2=16, но с учетом значения последней цифры, пишем 2: 5619х2=11238.

Действительно, 5х2=10, но следующая цифра больше 4, поэтому

Далее, 6х2=12, пишем только 2, так как последующая цифра меньше 4.

Далее, 1х2=2, но последующая цифра больше 4, поэтому пишем 3.

И наконец, 9х2=18, пишем 8.

Чтобы ускорить нахождение произведения, можно первый множитель разбить на грани, но несколько цифр в каждой последовательности умножаем числа каждой грани, записываем для первой грани полностью результат с учетом значения первой цифры следующей грани, для остальных граней записываем значение полученного результата, отбрасывая первую цифру, если число цифр результата больше числа цифр грани:

Разбиваем первый множитель на грани:

Далее, 32х2=64, но с учетом первой цифры следующей грани записываем 65. Затем 96х2=192 (количество цифр произведения 3, а грань состоит из двух цифр), первая цифра следующей грани не больше 4, поэтому записываем 92, затем записываем 90=45х2.

Способы быстрого умножения чисел.

Умножение на 4 и на 8

Чтобы число умножить на 4; 8, его последовательно удваивают:

Так как 5= 10/2, поэтому, чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2, то есть к числу приписывают нуль и делят десять пополам:

Умножение на 0,5

Так как 0,5=1/2, поэтому чтобы умножить число на 0,5, его нужно разделить пополам:

Умножение на 1,5 и 15

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину:

Чтобы число умножить на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

Часто в повседневной жизни нам приходится умножать число на 1,5 или на 15.

Это легко сделать так: 48х1,5=48+24=72;

Умножение на 15

Можно использовать соотношение 15=30/2, получаем, что ах15=ах30/2.

Предварительно представляем а, если оно нечетное, в виде суммы или разности нечетного числа и единицы:

Умножение на 11

Прием умножения на 11 поражает своей красотой.

36х11, для этого достаточно подписать 36 по 36, но сдвинув его на одну цифру вперед, вот так ₃₆

А затем выполнить сложение в столбик.

Эту операцию можно проводить с любыми цифрами, будь то трехзначное или четырехзначное число.

Умножить на 11 можно и другим способом. Достаточно «раздвинуть» числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем, если эта сумма больше 9, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

На 11 умножить можно и так: приписать к умножаемому числу 0, а затем прибавить его:

Умножение на 25, 50, 75, 125

Принимая во внимание, что

Соответствующим образом преобразовываем второй множитель:

Приемы сокращенного умножения

На 5: 46х5=46/2х10=230;

На 25: 83х25=80/4х100+3х25=2075;

На 125: 48х125=48/8х1000=6000;

На 155: ах155=100а+50а+5а

Умножение двух чисел, «близких» к 100

Когда каждый из множителей меньше 100, тогда:

(100-а)(100- b )=100х100-100а-100 b +а b =(100-а- b )х100+ ab .

(100+а)(100+ b )=100(100+ a + b )+а b

Подсчитаем число сотен произведения 100-(а+ b )=100-11=89

Возведение в квадрат чисел,

цифра единиц которых равна пять

а5ха5=(10а+5)(10а+5)=100а 2 +2х10х5а+25=100(а 2 +а)+25=100ха(а+1)+25==(а(а+1))25.

Получаем правило: для умножения числа, которое заканчивается цифрой пять на само себя, необходимо число десятков умножить на последующее число и к полученному произведению приписать произведение цифр единиц, то есть 25.

Аналогичным образом находится произведение двух чисел, которых количество десятков одинаковое, а сумма цифр единиц равна десяти.

35х35=1225, так как 3х4=12;

125х125=15625, так как 12х13=156;

42х48=2016, так как 4х5=20 и 2х8=16.при возведении в квадрат любых чисел можно воспользоваться свойством:

а 2 =а 2 — b 2 + b 2 =(а- b )(а+ b )+ b 2

Обычно в качестве b выбираем такое число, чтобы а+ b и a — b было круглым числом.

76 2 =(76+4)(76-4)+4 2 =80х72+4 2 =5760+16=5760 ( b=4) ;

76 2 =(76+6)(76-6)+6 2 =82х70+36=5740+36=5776 ( b =6).

34 2 =(34+6)(34-6)+6 2 =40х28+36=1156;

987 2 =(987+13)(987-13)+13 2 =1000х974+169=974169.

Способы быстрого деления чисел.

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:

Нахождение частного, когда делитель равен 15, осуществляется по схеме:

Устный счет – это практическое явление, необходимое для развития вычислительных навыков и как следствие устной сдачи экзаменов.

Устное вычисление прекрасно стимулируют развитие памяти у детей и взрослых, увеличивают скорость мышления и улучшают сообразительность, тренируют внимание.

Школьники, развивающие навыки устного счета, очень быстро обгоняют по интеллекту своих одноклассников, полагающихся на калькуляторы.

Гибкость ума является предметом гордости людей, а способности производить быстрые вычисления в уме вызывают удивление.

Источник

Сложение

В мире математики существуют различные действия, операции с числами и буквами. Самыми простыми, конечно, являются: сложение, вычитание, деление, умножение. И сейчас, как вы можете понять по названию статьи, пойдет речь о сложении.

Без операции сложения сложно представить нашу современную жизнь, потому что сложение практически везде используется. Например, вам нужно посчитать итоговую цену всех продуктов в корзинке или же количество фруктов на столе. Сложение буквально везде, куда ни глянь. Поэтому она является базовой операцией и владеть ей надо в совершенстве. Приступим.

Сложение – это арифметическое действие, в процессе которого складываются два числа, а их результатом будет новое – третье.

Формула сложения выражается так: a + b = c

Самые простые примеры это на яблоках. У Васи было 3 яблока, а у Пети 2 яблока. Если Петя отдаст Васе 2 яблока, то сколько у Васи из станет? Ответ очевиден, верно? Их будет 5.

a – яблок у Васи изначально.

b – яблок у Пети изначально.

c – яблок у Васи после передачи.

Подставим в формулу: 2 + 3 = 5;

Виды сложений

Выполните сложение онлайн[тут будет тренажер на сложение]

Сложение чисел

Сложение чисел очень просто даже школьникам и некоторым дошкольникам. Сложение – это сумма 2ух или нескольких чисел. Например, 2 + 3 = 5, и графически это можно представить так:

Большие число делиться на части, возьмем число 1234, а в нем: 4-единицы, 3-десятки, 2-сотни, 1-тысячи. Итак, если мы прибавляем 4 к 7, то 4+7=10+1, то есть 1 десяток и 1 единица. Если складывая числа в одном разряде (единицах, например) у вас число больше 10, но меньше 20, то в десяток вы добавляете единицу, а остальное оставляете на месте единиц.

Еще один пример: 8+9, получаем 10+7, значит в десятки мы добавляем 1, а на место единиц записываем 7, получаем 17.

Следующий пример: допустим, 16+5. Здесь в числе 16 имеет 1 десяток и 6 единиц. К ним мы добавляем еще 5 единиц. Помним, что 1 десяток это десять единиц. А значит, до 20 у 16ти не хватает 4 единиц. Получаем 20+1. Итог: 21.

Таким же образом производятся операции с сотнями и тысячами:

Например, 61+47. Одна сотня = десять десятков. Представим слагаемые как 60+1 и 40+7. Получим 60+40 и 1+7, так как 6+4 =10, то 60+40 = 100, так мы получим сотню, а 1+7=8. Итог: 100+8=108.

Ускоряем устный счет

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Сложение дробей

Представим круг пиццы. Пицца – это одно целое, а разрезав пополам мы получи что-то меньшее единицы верно? Половинка единицы. Как это записать?

½, так мы обозначаем половину одной целой пиццы, а если поделить пиццу на 4 равные части, то каждая из них будет обозначаться ¼. И так далее…

Сложение дробей, как это?

Все просто. Сложим ¼ c ¼ -ой. При сложении важно, чтобы знаменатель(4) одной дроби совпадал со знаменателем второй. (1) – называется числителем.

Итак, складываем. Убедились, что знаменатели одинаковые. Тогда складываем числители (1+1)/4, так получаем 2/4. При складывании дробей, складываются только числители! Дробь 2/4 можно привести к виду ½.

Почему? Что из себя представляет дробь? ½ = 1:2, а если делить 2 на 4, то это тоже самое, что делить 1 на 2. Поэтому дробь 2/4 = 1/2.

Сложение дробей с разными знаменателями

Если же вам попались такие дроби ½ + ¼, то нужно привести к общему знаменателю. Среди данных знаменателей наибольший – 4. Так как, 2 можно удвоить и получить 4, то получаем из дроби ½ дробь 2/4. При умножении числителя, умножается и знаменатель. Получаем 2/4 +1/4 = 3/4.

Попалась сумма дробей, к примеру, 1/3 и 1/2, то домножить придется не одну дробь, а обе, чтобы привести к общему знаменателю. Самый простой способ сделать это: первую дробь умножить на знаменатель второй, а вторую дробь на знаменатель первой, получаем: 2/6 и 3/6. Складываем (2+3)/6 и получаем 5/6.

Сложение знаменателей

Люди часто ищут этот вопрос в интернете, но, к сожалению, в математике операция сложения знаменателей не существует, так как у дробей складываются ТОЛЬКО числители, при условии, что знаменатели одинаковые. Смотрите подробнее в Сложение числителей.

Возможно Вы имели в виду сложение дробей, тогда у них знаменатели приводятся к общему и опять же складываются числители, знаменатели лишь увеличиваются.

Сложение числителей

Числители это верхняя часть у дроби, например, дана дробь 7/4, получаем, что 7 больше 4, а значит 7/4 больше 1. Как выделить целую часть? (4+3)/4, далее получаем сумму дробей 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Итог: одна целая, три четвертых. Сморите подробнее в Сложение дробей.

Сложение смешанных чисел

Что такое смешанной число? Это целое число с дробной частью. То есть если числитель меньше знаменателя – то дробь меньше единицы, а если числитель больше знаменателя, то дробь больше единицы. Смешанное число — это дробь, которая больше единицы и у которой выделена целая часть:

Дана дробь 7/4, получаем, что 7 больше 4, а значит 7/4 больше 1. Как выделить целую часть? (4+3)/4, далее получаем сумму дробей 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Итог: одна целая, три четвертых.

Свойства сложения

Переместительный: a + b = b + a.От перемены мест слагаемых — сумма не меняется.

Сочетательный: a + b + c = a + (b + c).Сумма не меняется, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Прибавление к числу нуля не изменяет этого числа.

Сложение пределов

Сложение пределов – это не сложно. Тут достаточно простой формулы, в которой говорится, что если предел суммы функций стремится к числу а, то это равносильно сумме этих функций, предел каждой из которых стремится к числу а.

Урок сложение

Сложение – это арифметическое действие, в процессе которого складываются два числа, а их результатом будет новое – третье.

Формула сложения выражается так: a + b = c.

Примеры и задачи Вы сможете найти ниже.

При сложении дробей следует помнить, что:

1. Складываются числители, а не знаменатели.

Итак, складываем. Убедились, что знаменатели одинаковые. Тогда складываем числители (1+1)/4, так получаем 2/4. При складывании дробей, складываются только числители!

2. Чтобы осуществить сложение, убедитесь, что знаменатели равны.

Попалась сумма дробей, к примеру, 1/3 и 1/2, то домножить придется не одну дробь, а обе, чтобы привести к общему знаменателю. Самый простой способ сделать это: первую дробь умножить на знаменатель второй, а вторую дробь на знаменатель первой, получаем: 2/6 и 3/6. Складываем (2+3)/6 и получаем 5/6.

3. Сокращение дроби производится путем деления числителя и знаменателя на одинаковое число.

Дробь 2/4 можно привести к виду ½. Почему? Что из себя представляет дробь? ½ = 1:2, а если делить 2 на 4, то это тоже самое, что делить 1 на 2. Поэтому дробь 2/4 = 1/2.

4. Если дробь больше единицы, то можно выделить целую часть.

Дана дробь 7/4, получаем, что 7 больше 4, а значит 7/4 больше 1. Как выделить целую часть? (4+3)/4, далее получаем сумму дробей 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Итог: одна целая, три четвертых.

Сложение 1 класс

Первый класс – самое начало и дети еще не все умеют считать. Обучение стоит вести в игровой форме. Всегда в первом классе сложение начинают с простых примеров на яблоках, конфетах, грушах. Используется этот метод не просто так, а потому что дети любят, когда с ними играют. И это не единственная причина. Яблоки, конфеты и тому подобное дети видели очень часто в свой жизни и имели дело с передачей и количеством, поэтому научить сложению таких вещей будет не сложно.

Задач на сложение первоклассникам можно придумать огромное множество, например:

Задача 1. Утром, гуляя по лесу ежик нашел 4 грибочка, а вечером еще 2. Сколько к концу дня было у ежика грибочков?

Задача 2. По небу из одного города в другой город летели 2 птички, а спустя час к ним присоединились еще 3. Сколько птичек теперь летит?

Задача 3. Лестница имела длину 2, а хозяину она казалась короткой, поэтому он удлинил ее еще на 1. Сколько в длину лестница теперь?

Задача 4. У Ромы было 3 мяча, а Саши 4. Если Рома отдаст Саше все свои мячи, то сколько их будет у Саши?

Первоклассники в основном решают задачи, в которых ответом будет число от 1 до 10.

Сложение 2 класс

Во втором классе задачи более сложные и потребуют от ребенка больше умственной деятельности.

Источник