Геометрические задачи и методы их решения с примерами
Содержание:
Логическое построение геометрии
Геометрия — это наука о пространственной форме и количественных характеристиках предметов реального мира. Прочие свойства предметов изучают другие дисциплины. Если при изучении предмета учитывать только пространственную форму и размеры, то получим абстрактный объект, называемый геометрической фигурой.
Слово «геометрия» — греческого происхождения и в переводе означает землеизмерение. Геометрию, изучаемую в школе, называют евклидовой по имени древнегреческого ученого Евклида. Геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. Планиметрия изучает свойства фигур на плоскости, а стереометрия — в пространстве (рис. 1).
Чтобы отличать геометрические фигуры друг от друга, их свойства описывают в виде утверждения, которое называют определением. Однако, определить вес геометрические фигуры невозможно. Некоторые из них, первоначальные, вынуждены принять без определения. Принимаем их за неопределяемые, начальные (основные) геометрические фигуры. Логическое построение геометрии осуществляют в следующем порядке: 1. Вначале принимают основные (начальные) геометрические фигуры без определения; 2. Принимают основные свойства этих фигур без доказательств;
3. Определяют другие геометрические фигуры через основные фигуры и их свойства, а затем доказывают свойства этих фигур и утверждений, истинность которых устанавливается путем доказательств, опираясь на известные.
Такое построение науки называют аксиоматическим построением. Свойства фигур, принятые без доказательства, называют аксиомами.
В планиметрии, которую мы изучали до сих пор основными геометрическими фигурами были точка и прямая. Их приняли без определения. Но определили отрезок, луч, треугольник и другие геометрические фигуры. Точно так же следующие свойства (утверждения) мы принимаем без доказательств в качестве аксиом:
I. Аксиомы принадлежности
1.1. Какова бы ни была прямая на плоскости, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
II. Аксиомы расположения
2.1. Из трех точек, лежащих на прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Любая прямая делит плоскость на две части: на две полуплоскости.
III. Аксиомы измерения
3.1. Любой отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2. Любой угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера развернутого угла равна 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
IV. Аксиомы откладывания
4.1. На любом луче от его начальной точки можно отложить единственный отрезок, равный данному.
4.2. От любого луча в определенную полуплоскость можно отложить единственный угол, равный данному, не развернутому углу.
4.3. Для любого треугольника существует единственный равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.
V. Аксиома параллельности
5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Вывод некоторого утверждения с помощью логических размышлений называют доказательством. Утверждение, верность которого установлена с помощью доказательства, называют теоремой. Обычно теорема состоит из условия и заключения. В первой части теоремы — условии объясняют что задано. А во второй части — заключении формулируют что требуется доказать.
Доказать теорему — эго значит, используя ее условие, опираясь на принятые и доказанные ранее свойства, рассуждая, привести к правильности предложения, сформулированного в заключении.
Уточнение условия и заключения теоремы — разъясняет ее, облегчает понимание и доказательство теоремы.
Древнегреческий ученый Платон отмстил удивительную закономерность в геометрии: из свойств, изученных и доказанных ранее, логически размышляя и обдумывая, можно получить новые свойства. Следовательно, используя эти удивительные возможности, можно формулировать остальные свойства в виде теорем, которые доказывают с помощью логических размышлений, аксиом, а также свойств, доказанных до этого.
В процессе размышления запрещается использование недоказанных свойств, даже если их правильность очевидна.
Таким образом, если рассматривать геометрию как одно здание, начальные понятия и аксиомы составляют его фундамент. Кирпичи, уложенные на этом фундаменте — это новые определяемые понятия и свойства, доказанные в виде теорем.
В формировании геометрии в качестве самостоятельной науки большой вклад внесли древнегреческие ученые. Например, Гиппократ Хиосский дал разъяснения о первых геометрических понятиях. Наибольший вклад в этой области принадлежит великому древнегречеcкому ученому Евклиду (356-300 годы до нашей эры). Его основной труд «Начала» содержит планиметрию, стереометрию и некоторые вопросы теории вероятностей, кроме того, алгебру, основы теории отношений, способы вычисления площадей и объемов и также элементы теории пределов. Евклид в «Началах» собрал все достижения древнегреческих математиков того времени и создал основу для дальнейшего развития математики.
«Начала» состоят из 13 книг и содержат переработанные труды древнегреческих ученых V — IV веков до нашей эры. В нем приведены 23 определения, 5 постулатов и 9 аксиом. В этом труде даны правильные определения прямоугольника, квадрата и окружности. Для точки и прямой приведены следующие определения: «Точка-это то, что не имеет частей», «Линия-это длина без ширины».
В «Началах» приведены 9 аксиом — высказывания, принятые без доказательства. Также приведены следующие 5 математических умозаключений (постулатов), позволяющие осуществлять геометрические построения:
I. Через любые две точки можно провести только одну прямую.
II. Отрезок прямой можно бесконечно продолжить.
III. Из любой точки можно построить окружность произвольныго радиуса.
IV. Все прямые углы равны между собой.
V. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересеченные третьей, образуют внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то при продолжении вышеупомянутых прямых они пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых углов.
Упомянутый труд получил огромную славу и признание. Особенно V постулат стал причиной большой научной дискуссии. Если обозначить внутренние углы в V постулате а и (3 (рис. 1), а прямые а и b, то по смыслу этого постулата а+(3
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Источник
Разные способы решения геометрических задач
2. Основная часть
4. Список используемой литературы
I Введение
Сегодня можно наблюдать стремительное изменение в окружающем нас мире. Эти изменения требуют от человека новых качеств. Прежде всего обществу нужны люди, способные нестандартно мыслить, принимать самостоятельные решения, даже самые абсурдные, быть инициативны. Все это можно развивать, решая задачи на уроках математики и во внеурочное время.
Задачей называют требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. В одних задачах объектами являются реальные предметы, в других – все математические объекты (числа, геометрические фигуры). Все эти задачи могут быть стандартные и нестандартные. Мне нравится решать стандартные задачи. В учебнике «Математика» в начальной школе даются стандартные задачи как арифметические, так и геометрические. Но в большей части решаются арифметические задачи. К сожалению, на уроках отводится мало времени для решения геометрических задач. И почти все их мы решаем по слаженному алгоритму, хотя многие виды задач модно решать разными способами.
Отсюда вытекает гипотеза: если действоватьне по алгоритму, то можно найти другие способы решения геометрических задач.
Цель: найти разные способы решения геометрических задач.
Задачи: сделать анализ учебников по математике;
сгруппировать задачи геометрического характера;
решить задачи разными способами, рассуждая традиционно и
Объект: стандартные геометрические задачи с заданными величинами.
Предмет: найти способы решения геометрических задач.
Методы – практические и теоретические.
Значимость работы заключается в том, что, исследуя решения, мы найдем возможные способы. Вследствие этого будут развиваться различные типы и
виды мышления (синтез, анализ) и, затем на уроках, можно применять эти
способы к решению других геометрических задач, показать другим, что такие задачи можно решать разными способами.
II Основная часть
Проанализировав учебники начальных классов, я пришел к выводу, что только 15-20% всех задач занимают геометрические задачи. Это очень мало. Да и времени, отведенной программой курса математики в начальной школе, тоже недостаточно. Отсутствие времени не дает глубоко проанализировать, найти всевозможные способы решения геометрических задач. Поэтому я решил на практике заняться поиском, возможных для меня, способов решения геометрических задач. Сначала я сгруппировал геометрические задачи, встречающиеся в учебнике «Математика».
Все геометрические задачи можно разделить на четыре группы:
-нахождение площади (S);
-нахождение периметра (P);
-нахождение периметра прямоугольника, где неизвестна одна сторона;
— нахождение стороны прямоугольника по известному периметру;
Итак, теперь можно каждую группу проанализировать, выполняя решение.
III Описание исследовательской деятельности
Разделив задачи на группы, я начал решать, опираясь сначала на ранее изученные способы решения задач.
— Задачи на нахождение площади.
Длина прямоугольника 7 см, ширина на 3 см короче. Найти площадь.
1 способ. По формуле нахождения площади, мы знаем, что площадь прямоугольника — это произведение длины (а) на ширину (в).
По условию задачи нам известна ширина. Нам лишь сказано, что она короче длины на 3 см. Значит, нам нужно найти ширину, а поэтому из данных величин мы получим: 7 — 3 = 4 см.- ширина прямоугольника. Отсюда следует, что площадь можно найти так: S = 7 * 4 = 28 см 2 .
2 способ: Это решение нахождения площади выражением:
S = (7 – 3)* 7 = 28 см 2 .
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной известной нам и равной 7 см, значит, площадь квадрата равна:
Найдем неизвестную ширину, ведь нам известно, что она короче длины на 3 см, а значит: 7- 3 = 4 см.- данная ширина.
Но мы достроим прямоугольник, данный нам до квадрата со стороной 7 см. Значит ширина достроенной фигуры сейчас составляет 4 см и 3 см. Площадь достроенной фигуры нами части равна: 3 * 7 = 21 см 2 .
Наша искомая площадь тогда составит:
S = 49 – 21 = 28 см 2 .- что нам и следовало найти.
Из данного условия задачи, нам нужно найти ширину прямоугольника, это
значит: 7 – 3 = 4 см.- ширина.
Зная, что ширина 4 см, мы можем уменьшить наш прямоугольник до квадрата со стороной 4 см и найти его площадь.
S = 4 * 4 = 16 см 2 .
А нам дано, что длина по условию задачи равна 7 см. Если сторона нашего квадрата 4см, значит можно найти длину второго прямоугольника:
При условии нам можно найти его площадь, ведь мы знаем, что его ширина 4см, а длина 3 см, значит S = 4 * 3 =12 см 2 .
А, теперь сложив площадь квадрата и площадь прямоугольника, мы можем смело найти площадь искомой нами фигуры – прямоугольника со сторонами 4см и 7 см
S = 16 см 2 +12 см 2 = 28 см 2
У данного вида задач я сумел найти четыре способа решения.
Задачи на нахождение периметра (Р).
Дан квадрат со стороной 5 см. Найти периметр этого квадрата.
1 способ: Нам известно, что периметр- это сумма длин всех сторон. Из этого следует, что Р=5 + 5 + 5 + 5 = 20 см.
2 способ: Периметр – сумма длин всех сторон, а значит, можно записать и так: сложив две стороны вместе и умножив на 2, т.к все стороны равны 5 см.
Р = (5 + 5) *2 = 20 см.
3 способ: Мы знаем, что у квадрата все стороны равны, их всего четыре. И нам известно, что сторона квадрата равна 5 см. Это значит, что
4 способ:А можно использовать и такой способ: ширину умножаем на 2 ( т.к две ширины в нашем квадрате) и длину тоже умножаем на 2, т.к квадрат это четырехугольник , у которого4 стороны, таким образом
Р = 5 * 2 + 5 * 2 = 20 см
5 способ: У квадрата все стороны одинаковые и равны 5 см. Мы можем
использовать и такой метод нахождения периметра: умножив сторону квадрата на три его стороны и прибавив еще одну сторону. Это будет выглядеть так: Р = (5 * 3) + 5 = 20 см.
Вот таким образом мы можем находить периметр квадрата, выбирая любой из пяти способов, которые я нашел.
Задачи на нахождение периметра прямоугольника, где одна из сторон неизвестна.
Допустим, нам дано условие: ширина прямоугольника 8 см, длина на 2 см больше. Найти периметр этого прямоугольника.
1 способ: По условию задачи нам известно ширина 8 см, а длина больше на 2 см. Из этого нам понятно, что нужно найти длину. Если сказано, что она на 2 см больше, это значит: 8 +2 = 10 см.- длина прямоугольника. По известной формуле нахождения периметра прямоугольника Р = (а + в)*2
Мы можем найти периметр, т.к знаем ширину и длину данного нам прямоугольника Р = (8 + 10 )* 2 = 36 см.
2 способ: Нам дан прямоугольник, у которого 4 стороны и одна из них равна 8 см, другая на 2 см больше. Значит: 8 + 2 = 10 см- длина прямоугольника.
Сейчас нам известно, что ширина равна 8 см, длина 10 см. В прямоугольнике 4 стороны, две из них равны 8 см, две другие 10 см. Значит,
Р = 8 + 8 + 10 + 10 = 36 см.
3 способ: Мы можем смело заменить 2 способ решения нашей задачи умножив ширину на число 2( т.к. две ширины у прямоугольника) и длину на 2 (т.к две стороны у прямоугольника).
Р = 8 *2 + 10 * 2 = 36 см.
4 способ: А можно найти периметр этого прямоугольника и другим способом:
Р = ( 8 + 10 ) + ( 8 + 10 ) = 36 см, т.е.прибавив ширину и длину прямоугольника дважды. Так можно находить периметр прямоугольника с одной неизвестной стороной.
Задачи на нахождение стороны прямоугольника по известному периметру.
Допустим, нам известен периметр. Он равен 24 см, найти длину, если ширина равна 5 см.
1 способ: Если периметр равен 24 см, ширина 5см, найдем длину. Мы знаем, что периметр равен сумме длин всех сторон, а это значит:
В эту формулу подставляем известные величины:
24 : 2 – 5 = 7 см- длина прямоугольника
2 способ: Эту задачу можно решить уравнением. Мы знаем ширину и значение периметра. Зная формулу нахождения периметра Р = ( а + в ) * 2. Значение длины заменим х, тогда получим:
х = 7 см — искомая длина прямоугольника.
3 способ: Зная, что ширина прямоугольника равна 5 см, мы можем умножить это значение на 2, потому что у прямоугольника 2 стороны одинаковые.
5 * 2 = 10 см – сумма длин 2 сторон.
А зная, что периметр равен 24 см 2 , можно найти сумму длин двух других сторон. 24-10=14см
А теперь 14 см поделим на 2 (т.к 2другие стороны одинаковы) Длина прямоугольника равна 7см.
4 способ:Зная периметр прямоугольника и одну его ширину, мы можем выяснить, сколько сантиметров приходится на 3 другие стороны. Зная формулу нахождения периметра – сумма длин всех сторон, мы можем составить выражение:
24 – 5 = 19 см – приходится на три остальные стороны. Но в прямоугольнике 2 равные длины. Это значит из оставшейся суммы нам надо вычесть еще 5 см и получим:
19 – 5 = 14 см – приходится на 2 другие стороны. И они между собой тоже равны. Получим: 14 : 2 = 7 см – длина прямоугольника.
IV Заключение
Проделав практическое исследование, я нашел кроме известных способов решения геометрических задач, с которыми нас знакомят на уроках математики, 4 , а иногда и 5 способов решения. Значит, геометрические задачи можно решать разными способами, подходя к ним творчески и нестандартно. Конечно, для этого нужно время, но если заниматься этим постоянно и систематически, то поиск способов будет проходить быстрее.
Наше предположение по решению геометрических задач разными способами доказано. Решением геометрических задач можно заниматься и в свободное от уроков время и в любой обстановке. Способы решения можно применять к другим задачам данного вида. Это полезная работа. Она приводит к развитию личностных качеств, развитию мышления, помогает углублению знаний в курсе математики и творчески подходить к решению задач.
Список используемой литературы
1. Беденко М.В. Сборник текстовых задач по математике для 1-4 кл.- М.: ВАКО, 2006 г.- 272 с.- (Мастерская учителя).
2. Изучение трудных тем по математике в 1-3 классах: Из опыта работы учителей г. Москвы (Составила Н.Г.Уткина)- М.Просвещение, 1982-159с.
4.Истомина М.Б. Математика. 3 класс: Учебник для четырехлетней начальной школы.- Смоленск: «Ассоциация 21 век», 2000.- 176 с.
5. Истомина Н.Б. Тетрадь по математике «Учимся решать задачи», 3 класс, М., Линка –Пресс, 2014 г.
6. Лавлинскова Е.Ю. Методика работы с задачами повышенной трудности в начальной школе.- Волгоград: Панорама, 2006-112 с.
Источник
