Различные способы сравнения дробей

Сравнение дробей: правила, примеры, решения.

В центре внимания данной статьи стоит сравнение дробей. Мы уже знаем про равные и неравные дроби. Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.

Навигация по странице.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.

Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.

Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?

Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .

.

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю.

Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно

• привести дроби к общему знаменателю;
• сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Разберем решение примера.

Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .

Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48 . Тогда дополнительным множителем дроби 5/12 будет число 48:12=4 , а дополнительным множителем дроби 9/16 будет число 48:16=3 . Получаем и .

Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.

.

Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.

Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .

Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями: если a·d>b·c , то , а если a·d , то .

Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом.

Сравните обыкновенные дроби 5/18 и 23/86 .

В этом примере a=5 , b=18 , c=23 и d=86 . Вычислим произведения a·d и b·c . Имеем a·d=5·86=430 и b·c=18·23=414 . Так как 430>414 , то дробь 5/18 больше, чем дробь 23/86 .

.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей.

Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше.

Рассмотрим решение примера.

Сравните дроби 54/19 и 54/31 .

Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19 дроби 54/19 меньше знаменателя 31 дроби 54/31 , то 54/19 больше 54/31 .

.

В заключение этого пункта приведем пример, хорошо иллюстрирующий основную суть озвученного правила сравнения дробей с одинаковыми числителями. Пусть перед нами две тарелки, на одной из них 1/2 пирога, а на другой 1/16 этого же пирога. Понятно, что скушав половину пирога, мы будем куда больше сыты, чем съев 1/16 его часть.

Сравнение дроби с натуральным числом

Сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом сводится к сравнению двух дробей, если число записать в виде дроби со знаменателем 1 (смотрите натуральное число как дробь со знаменателем 1). Рассмотрим решение примера.

Сравните дробь 63/8 и число 9 .

Число 9 можно представить как дробь 9/1 , этим сравнение дроби 63/8 и числа 9 сводится к сравнению дробей 63/8 и 9/1 . После их приведения к общему знаменателю 8 , получаем дроби с одинаковым знаменателем 63/8 и 72/8 . Так как 63 , то , следовательно, .

.

Источник

Сравнение дробей. Как сравнивать дроби с разными знаменателями?

Не только простые числа можно сравнивать, но и дроби тоже. Ведь дробь — это такое же число как, к примеру, и натуральные числа. Нужно знать только правила, по которым сравнивают дроби.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше у которой больше числитель.

Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:

Если мы до решаем эти дроби, то получим числа \(\frac<20> <4>= 5\) и \(\frac<20> <10>= 2\). Получаем, что 5 > 2

В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Рассмотрим еще пример.

Сравните дроби с одинаковым числителем \(\frac<1><17>\) и \(\frac<1><15>\) .

Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.

Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?

Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.

Задача №1:
Сын с отцом играли в футбол. Сын из 10 подходов в ворота попал 5 раз. А папа из 5 подходов попал в ворота 3 раза. Чей результат лучше?

Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби \(\frac<5> <10>\).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби \(\frac<3> <5>\).

Сравним дроби. У нас разные числители и знаменатели, приведем к одному знаменателю. Общий знаменатель будет равен 10.

Источник

Сравнение дробей, как правильно

О чем эта статья:

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Как и при любом другом сравнении, суть сравнения дробей — в том, чтобы определить меньшую и большую дроби.

Нет ситуации более благоприятной для сравнения, чем дроби с одинаковыми знаменателями. Если вся разница между дробями только в числителях, пользуемся следующим правилом:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше дробь с большим числителем. А меньше будет та дробь, числитель которой меньше.

А теперь на примерах.

Пример 1. Сравните дроби:

• Мы видим, что знаменатели дробей — равны. Значит сравниваем числители:
  8 8
• Это значит, что 10
  1

Пример 3. Сравните дроби:

• Знаменатели дробей снова равны. Сравниваем числители:
  3 > 1
  1

Как видите, нет ничего сложного в сравнении дробей, если знаменатели равны. Вся задача заключается в том, чтобы определить больший и меньший знаменатель.

Давайте разберем наглядный пример сравнения дробей:

Допустим, в торте 6 кусков. Если от целого торта отрезать один кусок — в торте останется 5 кусков.

• Запишем в виде дробей: и
• А теперь сравним полученные дроби: знаменатели — равны, сравниваем числители:
  6 > 5
  5

Понять, что целый торт больше, чем торт без одного куска, можно и без сравнения дробей. Но это же самое правило можно применить и при менее очевидных сравнениях, которые часто встречаются в повседневной жизни.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Вы уже разобрались со сравнением дробей с одинаковыми знаменателями. Теперь задача чуть усложняется — научимся сравнивать дроби с разными знаменателями, но с одинаковыми числителями.

Если у двух дробей одинаковые числители, то больше будет та дробь, чей знаменатель меньше. А меньше будет дробь с большим знаменателем.

А теперь наши любимые примеры. Погнали!

Пример 1. Сравните дроби:

• У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Значит, согласно правилу, нужно сравнить знаменатели:
  9 > 7
  7 10
• Значит дробь с меньшим знаменателем — больше:
  

Пример 3. Сравните дроби:

У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Значит, согласно правилу, нужно сравнить знаменатели:
6 > 3
3

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нет ничего хитрого в сравнении дробей с одинаковыми числителями или знаменателями. Чуть больше усилий потребуется при сравнении дробей, в которых нет ничего одинакового.

Сначала вспомним, как привести дроби к общему знаменателю.
Рассмотрим пример дробей с разными знаменателями.

• Нужно подобрать число, которое будет делиться на 7 и на 2 (найти наименьшее общее кратное НОК). В данном случае, НОК — 14. Проверим:
  14:7 = 2
  14 : 2 = 7
• Первую дробь умножаем на дополнительный множитель 2:
  
• Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 7:
  
• Дроби приведены к общему знаменателю:
  

Давайте потренируемся в сравнении дробей.

Пример 1. Сравните дроби:

• Приведем дроби к общему знаменателю. 30 делится на 15 и на 2.
  30 : 15 = 2
  30 : 2 = 15
• Первую дробь умножаем на дополнительный множитель 2:
  
• Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 15:
  
• Дроби приведены к общему знаменателю:
  
• Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то, согласно правилу, больше та дробь, чей числитель больше:
  

При сравнении неправильных дробей, помните, что неправильная дробь всегда больше правильной.

Пример 2: Сравните дроби:

• 6/5 — неправильная дробь.
• Выделим целую часть:
• Значит, что

Вычитание смешанных чисел

Вычитание проходит гладко, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

• 12 — 7 = 6
  12 — уменьшаемое
  7 — вычитаемое
  5 — разность

В случае, если вычитаемое больше уменьшаемого, разность оказывается отрицательной. В этом нет ничего страшного. Но математика в 5 классе — «положительная», поэтому научимся находить разность смешанных чисел, не скатываясь «в минусы».

При вычитании дробей действует тот же самый принцип: вычитаемое должно быть больше уменьшаемого. Вот здесь то вам и пригодится навык сравнивать дроби.

Пример 1. Найдите разность:

• 

Вычитаемая дробь меньше уменьшаемой

• Выполняем вычитание:

Пример 2.Найдите разность:

• Смешанные дроби превращаем в неправильные:
  
• Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю:
  
• Наименьшее общее кратное — 40
  40 : 8 = 5
  40 : 5 = 8
• Умножаем первую дробь на дополнительный множитель 5:
  
• Умножаем вторую дробь на дополнительный множитель 8:
  
• Дроби приведены к общему знаменателю:
  

Если знаменатели одинаковые — больше та дробь, числитель которой больше.

• Мы видим, что вычитаемое меньше уменьшаемого, значит можем без труда найти разность:
  

Примеры для самопроверки

Теория — это, конечно, хорошо. Но без практики — никуда. Пора потренироваться в решении примеров и закрепить тему сравнения дробей.

Пример 1. Сравните дроби:

Ответ: по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше. Это значит, что

Пример 2. Сравните дроби:

Ответ: по правилу сравнения дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями, больше та дробь, чей знаменатель меньше. Это значит, что

Пример 3. Сравните дроби:

Ответ:.

• По правилу сравнения дробей с разными числителями и знаменателями, сначала нужно привести дроби к общему знаменателю:
  
• Наименьшее общее кратное — 15:
  15 : 15 = 1
  15 : 5 = 3
• Умножаем первую дробь на дополнительный множитель 1:
  
• Умножаем вторую дробь на дополнительный множитель 3:
  
• Дроби приведены к общему знаменателю:
  
• Сравниваем числители получившихся дробей: 3

Источник