Различные способы решения одного тригонометрического уравнения

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Краевая научно-практическая конференция «Эврика» Малой академии наук учащихся Кубани Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения Выполнен ученицей 11 «А» класса МОУ гимназии №40 Скопинцевой М. Г. Краснодара Научный руководитель- учитель математики МОУ гимназии№40 Шмитько И.А. Научный консультант-преподаватель ИНСПО Куб ГУ, канд. пед. наук Печкуренко Е.Н. 2008г.

Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер /английский математик и педагог XX века/

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения. 1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение.

Задача. Решите уравнение различными способами: sin x – cos x = 1. ?

Способ первый. Приведение уравнения к однородному. sin x – cos x = 1 Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на т.к., если что противоречит тождеству Получим: sin x = 2 sin x/2 cos x/2, cos x = cos 2 x/2 +sin 2 x/2, 1 = sin 2 x/2 + cos2 x/2. , .

Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители: sin x – cos x = 1 Далее так, как в первом способе.

Способ третий. Введение вспомогательного угла. sin x – cos x =1 В левой части вынесем — корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х. = sin  /4 = cos  /4 sin cos — cos  sin  = sin (-)

Внимание! Эквивалентны ли результаты , полученные в рассмотренных способах решений данного уравнения sin x – cos x = 1? Покажем однозначность ответов. 1 –й способ x =  /2 + 2  n, n  Z x:  /2; 5  /2 ; 9 /2; -3  /2; -7  /2;… x =  + 2 n, b Z x =  ; 3  ; 5 ; —  ; -3 ;… 2-й способ x = /4 + ( -1)  /4 +  k, k  Z x:  /2; ; 5  /2 ; 3  ; 9/2; -; — 3/2; -3; -7/2…

Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. sin x – cos x = 1 Запишем уравнение в виде: Применим формулу разности двух синусов. Далее так, как в третьем способе. 1 cos x = sin ( / 2 – x )

Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции. sin x — cos x = 1 Возведем в квадрат: или

Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Сделаем проверку. Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим: Левая часть: а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.

Способ шестой.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1 sin2x — 2sin x cos x + cos2 x = 1, sin2 x + cos2x = 1 1 – 2sin x cos x = 1, 2sin x cos x = 0, Ответ: x =  n, n  Z, x=  /2 + n, n  Z. или cos x =0 x=  /2 + n, n  Z sin x = 0 x =  n, n  Z

Способ седьмой. Универсальная подстановка (выражение sin x и cos x через tg x/2). sin x – cos x =1 Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам: Sin x –cosx = 1 Умножим обе части уравнения на

Внимание! Могли потерять корни.Необходима проверка! Область допустимых значений первоначального уравнения — всё множество R . При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали значения x, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е.x =  +  n, где n  Z . Следует проверить , не является ли x =  + n, где n  Z решением данного уравнения. Левая часть sin(π — 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x =  +  n ,где n  Z является решением данного уравнения. Ответ: : x=  n, n  Z, x=  /2 + n, n  Z.

Способ восьмой. Графический способ решения. sin x – cos x = 1 На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения, у = sin х — график синусоида. у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх. sin x = cos x + 1

Проверь себя ! Решу, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения: 1. sin2x + cosx = 0 ; 2. 3 sin x – cos x = 0 3. sin6x + sin3x = 0; 4. sin2x +cos2x = 1; 5.  3sin x + cos x = 1.

sin2x + cosx = 0 sin2x =2sinxcosx, тогда 2sinxcosx + cosx = 0, cosx( 2sinx + 1 ) = 0, cosx = 0 или 2sinx + 1 = 0, х =  /2 +  n; n  Z; sinx = -1/2 x = ( -1)k+1  /6 + k, k  Z. Ответ: x =  /2 +  n, ; x = (-1)k+1  /6 +  k , где n Z , k  Z . Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2-й способ ).

sin2x + cosx = 0 cosx = sin ( /2 – x ), тогда : sin2x + sin ( /2 – x ) = 0, 2sin ( x/2 +  /4)cos (3x/2 —  /4 ) = 0. sin (x/2 +  /4) = 0 или cos (3x/2 —  /4 ) = 0, x/2 +  /4 =  n 3x/2 —  /4 =  /2 +  n x =-  /2 + 2  n x =  / 2+ 2  n/3 , n Z Ответ : x = —  /2 + 2  n , x =  / 2 + 2 n/3 , n Z . Способ : преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ) .

Сравним результаты двух способов решения уравнения sin2x + cosx = 0 2 –й способ: x =  /2 +  n; n Z, n =0, x =  /2 ( т. A ), n = 1, x = 3  /2 (т. В ), n =-1, x = —  /2 ( т. В ), n = 2, x =  /2 +2 (т.А) 2) x=(-1)k+1 /6 + k;k Z, k=0, x = —  /6 ( т.C ), k =1, x =  /6 +  (т.D ), k =-1, x =  /6 —  (т .D), k =2,x = —  /6+2  (т.C) 4-способ: 1) x = - /2 +  n, n Z , n =0, x= —  /2, (т .В ), n =1, x =-  /2 + 2 , (т .В ), n=-1, x= —  /2 –2  , (т. В ), n=2, x = —  / 2+ 4 ,(т .В ). 2) x =  / 2 + 2 n/3 , n Z . n =0, x=  /2 ( т.А ), n=1, x = 7  /6 ( т. D ), n= -1, x = —  /6 (т. А), n = 2, x = 11 / 6 (т.С ),…

Графическая иллюстрация этих решений на тригонометрическом круге Вывод : при обоих способах решений данного уравнения результаты одни и те же. 0 х у у А В С D

3 sin x – coos x = 0 cos x  0 в силу основного тригонометрического тождества sin2x + cos2x = 1. Разделим обе части уравнения на cos x. 3 tg x = 1, tg x = 1/ 3 , x =  /6 + n , n  Z. Ответ: x =  /6 +  n, n  Z. Cпособ :решение однородного уравнения ( 1-й способ ).

3 sin x – cos x = 0 3sin x – cos x = 0, разделим обе части уравнения на 2. 3/2sin x – ½cos x = 0, sin x cos  /6 – cos x sin  /6 = 0, sin (x —  /6) = 0, x —  /6 =  n , n  Z, x =  /6 +  n , n  Z. Ответ : x =  /6 +  n, n  Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3 –й способ ).

3 sin x – cos x = 0 3 sin x – cos x = 0, возведем обе части уравнения в квадрат. 3 sin2x – 2 3 sin x cos x + cos2x = 1, разделим обе части уравнения на cos2x  0. 3 tg2x – 23 tg x + 1 = 0 D = 0, tg x =  3/ 3; x =  /6 +  n, n  Z. Ответ 😡 =  /6 +  n, n  Z. Способ :возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6-й способ). уравнения в

3 sin x – cos x = 0  3 sin x – cos x = 0, 2 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 3 2 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 3 2 tg x/2 — 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2  0, tg 2 x/2 + 2 3 tg x/2 — 1 = 0, tg x/2 = m, m 2 + 2 3 m – 1 =0, D = 0, m1 = — 3 — 2, m2 = — 3 + 2, 1) tg x = — 3 — 2, 2(- 3 — 2 ) — 2(3 + 2 ) — 2(3 + 2 ) — 1 1 +( — 3 — 2)2 8-4 3 4( 2+ 3 ) 2 , sin x = — 1/2, x = ( -1 ) k +1 /6 +  k, k  Z; 2) tg x = — 3 + 2, 2(- 3 + 2 ) — 2(3 — 2 ) — 2(3 — 2 ) 1 1 +( — 3 + 2)2 8-4 3 4( 2- 3 ) 2 , sin x = 1/2, x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Примечание:решения можно объединить: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Ответ: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ). sin x = cos x= — = = 0, =0, sin x= sin x = = = = = = =

sin 6x + sin 3x = 0 sin 6x + sin 3x = 0, 2 sin 3x cos 3x + sin 3x = 0, sin 3x ( 2 cos 3x + 1 ) = 0, sin 3x =0 , 2 cos 3x + 1 = 0, 3x =  n, n  Z, cos 3x = -½, x =  n/3, n  Z , x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z. Ответ: x =  n/3, n  Z; x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z. Способ:разложение левой части уравнения на множители ( 2 способ ).

sin 6x + sin 3x = 0 sin 6x + sin 3x = 0, 2sin 9x/2 cos 3x/2 = 0 , sin 9x/2=0 , cos 3x /2 = 0, 9x/2 =  n, n  Z, 3x /2 =  /2 +  n, n  Z, x = 2  n/9, n  Z; x =  /3 + 2  n/3, n  Z . Ответ: x = 2  n/9, n Z; x =  /3 + 2  n/3, n Z. Способ: преобразование тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ ).

Сравним решения уравнения sin6x+ sin3x =0, полученные разными способами. Вывод: результаты решения данного уравнения разными способами совпадают

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1 2 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, 2 sin x ( cos x – sin x ) = 0, sin x = 0, cos x – sin x = 0, x =  n, n  Z, tg x = 1, x =  /4 + n, n  Z. Ответ:  n, n  Z, x =  /4 + n, n  Z. Способ: Приведение уравнения к однородному.( 1-й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin2x – (1 – cos 2x ) = 1, 2 sin x cos x – 2 cos 2x/2 = 0, Далее так, как первым способом ( кадр № 27 ). Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin 2x + sin ( /2 – 2x ) = 1, 2sin  /4 cos ( 2x —  /4 ) = 1, sin  /4 = 1/ 2 ,  2 cos ( 2x —  /4 )= 1 arksin (1 /  2 ) =  /4 . cos ( 2x —  /4 )= 1 /  2 , 2x —  /4 = arkcos (1 /  2 ) + 2  n, n  Z, 2x=  /4 arkcos( 1 /  2 ) + 2  n, n  Z, x=  /8  /8 +  n, n  Z. Ответ: x=  /8  /8 +  n, n  Z. Способ: преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, разделим обе части уравнения на 2, 1/2 sin 2x + 1/ 2 cos 2x = 1/ 2 , cos /4 sin 2x + sin /4 cos 2x = 1/ 2, sin (2x + /4 ) = 1/ 2, 2x + /4 = (- 1)k  /4 +  k, kZ, 2x = — /4 + (- 1) k /4 +  k, kZ, x = —  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ. Ответ: x = —  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ. Способ:Введение вспомогательного угла (3й – способ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, Cos 2x =   ( 1 — sin 2 2x ) sin 2x   ( 1 — sin 2 2x ) = 1,   ( 1 — sin 2 2x ) = 1 – sin 2x, возведем обе части уравнения в квадрат, тогда 1 — sin 2 2x = 1 – 2 sin 2x + sin 2 2x , 2 sin 2 2x — 2 sin 2x = 0, 2 sin 2x (sin 2x — 1 ) = 0, sin 2x = 0, sin 2x — 1 = 0, 2x =  n, sin 2x = 1, x =  n/2, n  Z ; 2x =  /2 + 2  n, n  Z, x =  /4 +  n, n  Z. Ответ: x =  n/2, n  Z ; x =  /4 +  n, n  Z. Способ: приведение к квадратному уравнению относительно sin 2x ( 5 –й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin 2 2x + 2sin 2x cos 2x + cos 2x = 1, 2sin 2x cos 2x + 1 = 1, 2sin 2x cos 2x = 0, sin 2x = 0, cos 2x = 0 , 2x =  n, n  Z ; 2x =  / 2 + 2  n , n  Z, x =  n/2, n  Z ; x =  / 4 +  n , n  Z. Ответ:  / 2 + 2  n , n  Z; x =  / 4 +  n , n  Z. Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin2 x +cos 2x = 0, 2 tg x 1 — tg 2 x 1 + tg 2 x , 1 + tg 2 x , 2 tg x 1 — tg 2 x 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x 2 tg x +1 — tg 2 x –1 — tg 2 x — 0, 1 + tg 2 x/2  0, 2tg 2 x — 2 tg x = 0, 2tg x ( tg x – 1 ) = 0, tg x =0, tg x – 1 = 0, sin 2x = 0, sin 2x = 1, x =  n/2, n Z , 2x =  /2 + 2  n, n  Z, x =  /4 +  n, n Z. Ответ: x =  n/2, n Z ; x =  /4 +  n, n Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ). sin 2x = cos2 x = + = 0

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1,  3 /2sin x + 1/2cos x = 1/2, cos /6 sin x + sin  /6 cos x = 1/2 , Sin ( x +  /6 ) = 1 / 2 , x+  /6 = (- 1 ) k  /6 +  k, k Z, x = —  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z, Ответ 😡 = —  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3-й способ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 2 3 sin x/2 cos x/2 + cos 2x/2 -sin 2x/2= cos 2x/2 + sin 2x/2, 2 3 sin x/2 cos x/2 — 2sin 2x/2 =0, 2 sin x/2 ( 3 cos x/2 — sin x/2 ) =0, sin x/2 = 0,  3 cos x/2 — sin x/2 = 0, sin x/2 =  3 cos x/2 , x/2=  n, n  Z, tg x/2 =  3 , x = 2 n, n  Z , x/2 =  /3 +  n, n  Z, x = 2  /3 + 2  n, n  Z. Ответ: x = 2 n, n  Z , x = 2 n, n  Z . Способ : приведение к однородному ( 1 –й способ ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 2 3 sin x/2cos x/2 = 1 – cos x, 1 – cos x = 2 cos 2 x/2 2 3 sin x/2cos x/2 = 2 cos 2 x/2, 2 3 sin x/2cos x/2 — 2 cos 2 x/2 = 0, 2 cos x/2 ( 3 sin x/2 — cos x/2) = 0, Далее решать так как в первом способе. Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 –й способ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 3 sin2 x +2  3 sin x cos x +cos 2 x = 1, 2sin2 x +2  3 sin x cos x + (sin2 x +cos 2 x ) = 1, 2sin2 x +2  3 sin x cos x = 0, 2sinx ( sin x +  3 cos x) = 0, sinx = 0, sin x +  3 cos x = 0, x =  n , n Z, tg x = - 3 , x = —  /3 +  n, n  Z . Ответ : x =  n , n Z, x = —  /3 +  n, n  Z . Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x +cos x = 0, 2  3 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 2 3 tg x/2 1 — tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 23 tg x/2 + 1 — tg 2 x/2 = 1 + tg 2 x/2 , так как 1 + tg 2 x/2  0, 2 tg 2 x/2 + 23 tg x/2 = 1, 2 tg x/2 (tg x/2 + 3 ) = 0, tg x/2 = 0 , , tg x/2 = - 3 , x/2 =  n , n Z, x/2 = —  /3 +  n , n Z, x = 2 n , n Z, x = — 2 /3 + 2 n , n Z. Ответ: x = 2 n , n Z, x = — 2 /3 + 2 n , n Z. Способ : универсальная подстановка (7 – й способ ). sin x = cos x = + =1,

Подведем итоги 1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 sin2x + cosx = 0 2 sin6x + sin3x = 0 3 sin6x + sin3x = 0 4 sin2x +cos2x = 1 5 3sin x + cos x = 1

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 832 человека из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 298 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 609 человек из 76 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДA-034933

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

В Тюменской области продлили на неделю дистанционный режим для школьников

Время чтения: 1 минута

Заболеваемость ковидом среди студентов и преподавателей снизилась на 33%

Время чтения: 4 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник