Различные способы решения квадратных уравнений проект 8 класс

Квадратные уравнения. Способы решения.
проект по алгебре (8 класс)

Учебный материал представляет разнообразные способы решения квадратных уравнений (в том числе и нестандартные).

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия №19 им. Н.З. Поповичевой г. Липецка

Выполнили: Александрова Анастасия

учащиеся 8а класса

Руководитель проекта: Алябьева Елена Анатольевна

1. Введение. 2
2. Классические способы решения квадратных уравнений………………..3

1. Решение квадратных уравнений по формулам. .4
2. Графический способ решения квадратного уравнения……………….5

   Разложение левой части уравнения на множители………………. …..6

   1. Нестандартные способы решения квадратных уравнений………………. 8
   1. Геометрический способ решения квадратных уравнений …….……. 8
   2. Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения……….8
   1. Выводы………………………………………………. …………. ……….…10
   2. Заключение………………………………………………………………….…12
   3. Библиографический список. 13

   В прошлом году темой нашего исследования была «Геометрическая алгебра древних греков». В процессе работы мы изучили способ решения квадратных уравнений с использованием метода геометрической алгебры Древней Греции. Задача решения квадратных уравнений заинтересовала нас, и мы решили поподробнее разобраться в этом вопросе уже в этом году. Так и возникла идея нашего проекта.

   Актуальность темы «Квадратные уравнения» заключается в том, что она является одной из самых важных в математике. Уравнения – это язык алгебры, квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики и применяются в других науках. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения.

   В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Это позволило нам выдвинуть гипотезу: существуют методы решения квадратных уравнений без использования формул, изучаемых в школьном курсе алгебры.

   Изученные способы решения квадратных уравнений будут применяться и при дальнейшем изучении математики, при решении уравнений, сводящихся к решению квадратных.

   Цель проекта: изучить разнообразные способы решения квадратных уравнений (в том числе и нестандартные) и создать сборник «Квадратные уравнения».

   1. Обобщить и систематизировать имеющийся материал о квадратных уравнениях и способах их решения.
   2. Изучить дополнительные литературу и источники информации.
   3. Установить связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения и найти нестандартные приемы решения некоторых квадратных уравнений.
   4. Систематизировать найденные способы решения квадратных уравнений.
   5. Разработать дидактический материал.
   1. Классические способы решения квадратных уравнений

   В школе изучаются классические способы решения квадратных уравнений с использованием формул корней квадратных уравнений, теоремы Виета. Также имеются и другие способы решения квадратных уравнений – графический, разложение квадратного трёхчлена на множители, выделение квадрата двучлена, которые также позволяют решать квадратные уравнения.

   Квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где коэффициенты, а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.

   Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

   Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или/и с равен нулю.

   Корнем квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + вх + с обращается в нуль.

   Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.

   Ниже мы рассмотрим классические способы решения квадратных уравнений.

   Источник

   Презентация «Способы решения квадратных уравнений», 8 класс

   

   

   Описание презентации по отдельным слайдам:

   Посредством уравнений, теорем Я уйму всяких разрешал проблем. ( Чосер, английский поэт, средние века.)

   Исследовательская работа по теме: Способы решения квадратных уравнений Выполнили: обучающиеся 8-А класса МБОУ «Ивановская средняя общеобразовательная школа» Руководитель: Давыдова Лариса Викторовна учитель математики.

   Впервые мы услышали о квадратных уравнениях на уроке математики от учителя. Особенно нас заинтересовали способы их решения, причем наиболее рациональные. Во-первых, очень удивило сочетание слов «квадратное», «уравнение». Во-вторых, чем знамениты эти уравнения. В- третьих, почему их решением так долго занимались великие ученые. В-четвертых, способы решения квадратных уравнений и их практическая значимость. Эти вопросы нас очень заинтриговали, и мы решили проследить историю возникновения и решения данной проблемы. Введение

   1. Показать, что в математике, как и во всякой другой науке, достаточно своих неразгаданных тайн. 2. Подчеркнуть, что математиков отличает нестандартное мышление. А иногда смекалка и интуиция хорошего математика просто приводят в восхищение! 3. Показать, что сама попытка решения квадратных уравнений содействовала развитию новых понятий и идей в математике. 4. Научиться работать с различными источниками информации. 5. Продолжить исследовательскую работу по математике Цели и задачи проекта.

   Этапы исследования История возникновения квадратных уравнений. Определение квадратного уравнения и его виды. Решение квадратных уравнений, используя формулу дискриминанта . Франсуа Виет и его теорема. Свойства коэффициентов для быстрого нахождения корней квадратного уравнения. Практическая направленность.

   1 этап. История возникновения квадратных уравнений. ОКАЗЫВАЕТСЯ: Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач – ОЛИМПИАДЫ.

   История возникновения квадратных уравнений. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары: Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А 12 по лианам… Стали прыгать, повисая. Сколько было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?

   Штифель (1486 – 1567) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду x2 + bx = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c. Франсуа Виет (1540 – 1603) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа. Итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. В XVII веке благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

   произвольное квадратное уравнение — ? приведенное квадратное уравнение — ? полное — ? Квадратные уравнения — ? неполное — ? Формула корней квадратного уравнения D =? Х =?

   Квадратным уравнением называется уравнение вида a х2 + b x + c = 0 где х – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём а ≠ 0. a x2 + b x + c = 0 Первый коэффициент Второй коэффициент Свободный член

   Классификация . Квадратные уравнения. неполное полное а х2 + b х + с = 0, а≠0 приведённое x2 + p x + q = 0 b = 0; a x2 + c = 0 c = 0; a x2 + b x = 0 b = 0; c = 0; a x2 = 0

   Решение полного квадратного уравнения. D = b2 – 4 ∙ а ∙ с D > 0 D = 0 D 13 слайд

   2 этап. Провели исследование приведенных квадратных уравнений, решив эти уравнения 3 и –4 15 и -3 -3 и –5 3 и 7 2 и 3 5 и -2 -1 12 -45 -8 15 5 6 10 21 3 -10 -12 Нашли связь между коэффициентами а, b, с, суммой и произведением корней квадратного уравнения. Вывод: № Уравнение Корни уравнения Сумма корней Произведение корней 1. х2+х–12=0 2. х2- 12х–45=0 3. у2+ 8у+15=0 4. у2- 5у+6=0 5. z2-10z +21 = 0 6. z2-3z-10 = 0

   Теорема Виета. Если корни х1 и х2 приведённого квадратного уравнения х2 + px + q = 0 , то х1 + х2 = — p, а х1 · х2 = q. Обратное утверждение: Если числа m и n таковы, что m + n = — p, m∙n = q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + px + q = 0. Обобщённая теорема: Числа х1 и х2 являются корнями приведённого квадратного уравнения х2 + px + q = 0 тогда и только тогда, когда х1 + х2 = — p, х1 · х2 = q. Следствие: х2 + px + q = (х – х1)(х – х2)

   Франсуа Виет Французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Виета часто называют«отцом алгебры» 1540- -1603

   Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета. Проверка правильности найденных корней. Определение знаков корней квадратного уравнения. Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения. Составление квадратных уравнений с заданными корнями. Разложение квадратного трёхчлена на множители.

   Представляем задания из материалов государственной итоговой аттестации, которые легко решаются, зная теорему Виета: Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения x2 – 22x + 105 = 0 ? Определите знаки корней уравнения x2 + 5x – 36 = 0. 3.Найдите устно корни уравнения x2 – 9x + 20 = 0. 4.Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/3 и 0,3. 5. Разложите квадратный трёхчлен x2 + 2x – 48 на множители.

   Мы решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Оказывается, есть ещё другие способы решения квадратных уравнений, которые позволят устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

   3 этап. Провели исследование квадратных уравнений. Нашли связь между коэффициентами а, b, с и корнями квадратного уравнения. Вывод: № Уравнение Корни уравнения а+b+c a-b+c 1. х2+ 17х – 18 = 0 1 и -18 0 -35 2. 2х2–х– 3 = 0 -1 и 3 -2 0 3. х2– 39х – 40 = 0 -1 и 40 -78 0 4. 14х2– 17х +3 = 0 1 и 3 0 34 5. 100х2- 97х -197=0 -1 и 197 -194 0

   Если в уравнении ах2 + bх +с = 0, а + b + с = 0, то один из его корней равен 1, а другой, в соответствии с теоремой Виета, равен с/а. Пример: х2 + х – 2 = 0 ; а = 1 , в = 1 , с = -2 1 + 1 – 2 = 0 ; х1 = 1 , х2 = -2 Если в уравнении ах2 + bх + с = 0, а – b + с = 0 или b=a+c, то один из его корней равен –1, а другой –с/а Пример : х2 – х – 2 = 0, 1 – (- 1 ) + ( -2 ) = 0, х1 = -1, х2 = 2 Свойство 1. Свойство 2.

   4 этап. Провели исследование квадратных уравнений. Нашли связь между коэффициентами а, b, с и корнями квадратного уравнения. Вывод: № Уравнение Корни уравнения а=с b=a2+1 b= -(a2+1) 1. 7 х2+ 50х +7 = 0 -7и -1/7 7 50 2. 2х2–5х+2 = 0 2 и 1/2 2 -5 3. 4х2– 17х + 4 = 0 4 и 1/4 4 -17 4. 14х2– 197х +14=0 14 и 1/14 14 -197 5. 6х2+37х +6=0 -6 и -1/6 6 37

   Если a = c, b = a2 + 1, то x1 = — a, а x2 = -1/a. Если a = c, b = -(a2 + 1), то x1 = a, а x2 = 1/a. Пример. 3х2+10х+3=0, а=3, b=10, с=3. Так как а=с=3, b=32+1=10, то х1=-3, х2=1/3 Пример. 3х2 — 10х+3=0, а=3,b=-10,с=3. Так как а=с=3, b=-(32+1)=-10, то х1=3, х2=1/3 Свойство 3. Свойство 4.

   ах² + вх + с = 0 у² + ву + с = 0 ах = у, х = Приём «переброски»

   Вывод: 1. Проводя исследование, выяснили, что кроме традиционных методов решения квадратного уравнения , которые мы узнали на уроках алгебры, существуют еще не менее интересные, а главные полезные свойства, практически устного решения квадратного уравнения. 2. Исследовательскую работу по математике планируем продолжать и далее. 3. Результаты своего исследования мы представили в виде карточки-памятки по решению квадратного уравнения.

   СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ А.П.Ершова, В.В.Голобородько, А.С.Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса», «ИЛЕКСА»,Москва,2003 . М.Б.Миндюк, Н.Г.Миндюк «Разноуровневые дидактические материалы по алгебре, 8 класс», «ГЕНЖЕР»,Москва,2002. Л.В.Кузнецова, Л.О.Дедищева «Алгебра 7-9 .Тематические зачеты» Г.И.Ковалева «Уроки математики в 8 классе»,издательство «БРАТЬЯ ГРИНИНЫ»,Волгоград, 2001.

   

   Курс повышения квалификации

   Дистанционное обучение как современный формат преподавания

   • Сейчас обучается 801 человек из 76 регионов

   

   Курс повышения квалификации

   Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

   • Сейчас обучается 283 человека из 69 регионов

   

   Курс профессиональной переподготовки

   Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

   • Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов

   Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

   

   Номер материала: ДБ-1284027

   Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

   Не нашли то что искали?

   Вам будут интересны эти курсы:

   Оставьте свой комментарий

   Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

   Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

   Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

   

   

   Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

   Время чтения: 1 минута

   

   Российские адвокаты бесплатно проконсультируют детей 19 ноября

   Время чтения: 2 минуты

   

   Правительство предложило потратить до 1 млрд рублей на установку флагов РФ у школ

   Время чтения: 1 минута

   

   Вопрос о QR-кодах для сотрудников школ пока не обсуждается

   Время чтения: 2 минуты

   

   Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

   Время чтения: 1 минута

   

   Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

   Время чтения: 2 минуты

   Подарочные сертификаты

   Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

   Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

   Источник

   Читайте также:  Алканы способы получения синтез вюрца