Различные способы решения алгебраических уравнений

Способы решения алгебраических уравнений

Разделы: Математика

Уравнения занимают значительное место в курсе математики средней школы. Остановимся лишь на алгебраических уравнениях, которые разобьем на три группы:

1. полиномиальные уравнения вида P_n(x) = 0, где P_n(x) — многочлен n-й степени относительно x;
2. дробно-рациональные уравнения, т.е. содержащие в качестве двух компонент частные двух многочленов;
3. иррациональные уравнения.

Для ряда приемов даны небольшие теоретические обоснования. Приведено 30 приемов, иллюстрированных более чем 36 примерами. Не надо думать, что приведенный в конкретном примере прием является наиболее рациональным для решения данного примера. Просто надо принять к сведению существование такого подхода к решению уравнений.

Одни и те же подходы (применение тригонометрии, использование однородности, разложение на множители и др.) находят применение не только при решении рациональных, дробно-рациональных, иррациональных уравнений, но и при решении трансцендентных уравнений, неравенств, систем.

При написании использовалась литература:

1. Рывкин А. А. «Справочник по математике» – М.: Высшая школа, 1987.
2. Цыпкин А. Г. «Справочник по методам решения задач по математике» – М.: Наука, 1989.
3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике – М.: Просвещение, 1989.
4. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы / Под ред. Сканави М. И. – Мн.: Вышэйшая школы, 1990.

В этих пособиях можно найти достаточное количество нужных уравнений, конечно, не пренебрегая другими источниками.

1. Докажем теорему: Если уравнение a_nx n + a_n–1x n–1 + … + a₁x + a₀ = 0 (*) с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, где p и q взаимно просты, то a₀ делится на p, а a_n делится на q.

Доказательство: Заменим в (*) x на , получим верное числовое равенство умножим обе части равенства на q n :

Правая часть делится на q, значит, и левая должна делиться на q, но т.к. p и q взаимно просты, то p n не делится на q, но тогда a_n должно делиться на q, иначе левая часть не будет кратна q.

Правая часть кратна p, значит, и левая кратна p, но q n взаимно просты с p, значит a₀ кратно p. Теорема доказана.

Доказательство: Делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток. Так как делитель — многочлен первой степени, то остаток будет многочленом, степень которого меньше степени делителя, значит, остаток – const. Частное будет многочленом степени n – 1. Тогда

При x = a это равенство имеет вид

из которого следует P(a) = R. Теорема доказана.

Следствие: Если x = a — корень многочлена, то многочлен делится на x – a без остатка.

Доказательство: При x = a равенство (***) примет вид 0 = 0 + R, из которого следует, что R = 0. А так как остаток от деления равен нулю, то утверждение доказано.

Пример 1. Решить уравнение 30x 4 + x 3 – 30x 2 + 3x + 4 = 0.

Составим различные несократимые дроби, числители которых — делители свободного члена, т.е. 4, а знаменатели — делители старшего коэффициента, т.е. 30.

В левом столбике в знаменателях участвуют все делители числа 30. Видно, что – 1 — корень многочлена. По следствию из теоремы Безу делим многочлен на x + 1

Для поиска корней многочлена 30x 3 – 29x 2 – x + 4 воспользуемся таблицей дробей. При многочлен примет вид Значит, — корень многочлена.

2. При решении алгебраических уравнений может быть полезен метод неопределенных коэффициентов.

Пример 2. Решить уравнение x 4 + 2x 3 – 16x 2 + 11x – 2 = 0.

Пусть многочлен представим в виде произведения

где a , b , g , a, b, c коэффициенты, которые желательно подобрать так, чтобы после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получился исходный многочлен. Раскроем скобки, полагая, что a = a = 1.

Положим c = 1, g = – 2 или c = 2, g = – 1 (подбираем коэффициенты).

b = – 3, тогда b = 5.

Убедимся, что b = 5, g = – 2, b = – 3, c = 1. Такой набор удовлетворяет всем четырем уравнениям, поэтому можем записать

Решив квадратные уравнения, получим корни исходного уравнения.

Ответ:

3. Решение возвратных уравнений

После почленного деления на x k , они решаются подстановкой

Пример 3. Решить уравнение 2x 4 – 3x 3 – 7x 2 –15x + 50 = 0.

Разделим на x 2 , получим

Уравнение примет вид:

Если l = 1, то уравнение вида ax 2k + bx 2k–1 + cx 2k–2 + dx 2k–3 + … + dx 3 + cx 2 + bx + a = 0 называется возвратным (или симметрическим) уравнением степени 2k первого рода.

Пример 4. Решить уравнение 5x 4 + 3x 3 – 16x 2 + 3x + 5 = 0.

Разделим почленно на x 2 . Имеем .

Ответ:

Если l = – 1, то получим уравнение вида

ax 2k + bx 2k–1 + cx 2k–2 + dx 2k–3 + … + dx 3 + cx 2 – bx + a = 0, которое называется возвратным (или симметрическим) уравнением степени 2k второго рода. Решается подстановкой

Пример 5. Решить уравнение 8x 4 – 42x 3 + 29x 2 + 42x + 8 = 0.

Ответ:

Возвратное уравнение нечетной степени имеет корень – 1. Это объясняется тем, что уравнение имеет четное число членов, которые при замене x на – 1 попарно уничтожаются. Поэтому в начале делят многочлен на x + 1, а частное приведет к возвратному уравнению четной степени, решение которого уже рассмотрено.

Пример 6. Решить уравнение 24x 5 + 74x 4 – 123x 3 – 123x 2 + 74x + 24 = 0.

Имеем возвратное уравнение 5-й степени. Один из его корней – 1. После деления на x + 1, получим

24x 4 + 50x 3 – 173x 2 + 50x + 24 = 0

Ответ:

если , то

По биному Ньютона

Замечание 2. Определить по внешнему виду, что уравнение является возвратным не всегда просто, особенно, если . Поэтому в уравнении степени 2n производим почленное деление на x n и, если при этом получается сумма выражений вида , где n = 0, 1, 2 … m, то дальнейшее решение ясно.

Источник

«Эти удивительные уравнения…Многообразие методов решения алгебраических уравнений»

Творческая работа по математике на тему:

«Эти удивительные уравнения…

Многообразие методов решения алгебраических уравнений»

МОУ СОШ № 4 г. Ртищево

2. Из истории возникновения и развития алгебраических уравнений.

3. Методы решения алгебраических уравнений.

4. Способы реализации метода замены переменной:

· использование основного свойства дроби;

· выделение квадрата двучлена;

· переход к системе уравнений;

· раскрытие скобок парами;

· сведение к однородному уравнению.

5. Применение функциональных свойств решения уравнений.

Изучая математику, мы решили заняться изучением различных способов решения алгебраических уравнений.

Значение умения решать алгебраические уравнения велико. Очень многие задания из школьного курса математики решаются с помощью уравнений.

Алгебраические уравнения очень разнообразны. На первый взгляд, казалось бы, не составляет труда выполнить тождественные преобразования выражений, входящих в уравнение, и корень будет очевиден. Однако, можно выполнить сложнейшие преобразования, но так и не найти корня. Поскольку алгебраические уравнения разнообразны, то и способы их решения не должны быть однообразны.

Поэтому для успешного решения любых алгебраических уравнений мы решили изучить различные способы их решения.

2. Из истории возникновения уравнений.

Уравнение — одно из важнейших понятий математики. В большинстве задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, составлялось соотношение, которому удовлетворяла эта величина. Так возникли уравнение для определения неизвестной величины.

В древних математических трактатах Индии, Китая, Греции II -го тысячелетия до н. э. содержали задачи следующего содержания: «Ищется куча, которая с двумя третями её, половиной и одной седьмой составляет 37». Посвященные в тайные знания жрецы успешно справлялись с такими задачами.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: «Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а ¾ длины равны ширине». Правило для решения было приведено там же.

В истории развития уравнений великий прорыв связан с именем французского ученого XVI века Франсуа Виета. Он первым из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита ( x , y , z ,…), а известные (параметры) – первыми ( a , b , c . ) идет от французского ученого Р. Декарта.

С помощью введенного буквенного исчисления Виет не только записал в общем виде формулы для корней квадратного уравнения

но и нашел выражение для коэффициентов уравнения через его корни, которое сейчас называют теоремой Виета:

Если и – корни квадратного уравнения , то + =- p , × = q .

Метод решения кубических уравнений вида был открыт в Италии в конце XV века. Известна формула Кардано для отыскания одного из корней кубического уравнения:

.

3. Методы решения алгебраических уравнений.

Существуют различные методы решения алгебраических уравнений:

· Метод разложения на множители;

· Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы;

· Метод замены переменной;

· Метод использования монотонности функций;

· Метод неопределенных коэффициентов;

Самый распространенный из них – метод замены переменной.

4. Способы реализации метода замены переменной.

Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональной. Суть заключается в том, что путем замены некоторого выражения, входящего в уравнение и содержащего переменную, в исходном уравнении понижается степень, т. е. уравнение сводится к простейшему. Однако, во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому требуется выполнение некоторых преобразований.

Классифицируем наши уравнения по способам реализации методы замены переменной:

· Использования основного свойства дроби;

· Выделение квадратного двучлена;

· Переход к системе уравнений;

· Раскрытие скобок парами;

· Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнений;

а) Использования основного свойства дроби применяется в уравнениях вида:

;

= E ,

где a , b , c , A , B , E — постоянные, a 0.

В таких уравнениях сначала проверяют, является ли x =0 корнем уравнения, затем делят числитель и знаменатель каждой дроби на x ≠0 и производят замену = t

Пример. Решить уравнение:

Решение. Очевидно, что x =0 – не корень уравнения. Разделив числитель и знаменатель каждой дроби на x ≠0, получим

и, сделав замену , получим

Выполним обратную замену:

б) Выделение квадрата двучлена эффективнее применять к уравнениям, которые можно привести к виду, чтобы одна часть уравнения была представлена суммой квадратов.

Пример.

Решение. Выделим полный квадрат суммы:

Сгруппируем 1,2 и 4 члены: .

Сделав замену , получим .

Выполним обратную замену:

в) Переход к системе уравнений целесообразен при решении уравнений вида

= m , где коэффициенты a и c равны, противоположны по знаку.

Пример. Решить уравнение:

Решение. Пусть u = , v = (1), тогда u — v =2. Поскольку мы ввели две новые функции, надо найти ещё одно уравнение, связывающее переменные u и v .

Для этого возведем оба равенства (1) в куб и заметим, что . Итак, надо решить систему:

г) Раскрытие скобок парами даёт хороший эффект в уравнениях вида ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d )= m , где a + b = c + d , или a + c = b + d , или a + d = b + c .

Пример. Решить уравнение ( x -1)( x -7)( x -4)( x +2)=40.

Решение. Затем, что сумма чисел, стоящих во 2 и 4, 1и 3 скобках, равны, т. е. -7+2=-1-4.

Перемножим эти пары скобок, получим:

( -5 x -14)( -5 x +4)=40.

Введём замену:

д) Раскрытие скобок парами деление обеих частей уравнения целесообразно применять в случае, когда перед нами уравнение вида ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d )= m , где ab = cd , или ac = bd , или ad = bc .

Пример. Решить уравнение ( x -1)( x -2)( x -8)( x -4)=4 .

Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в 1 и 3, 2 и 4 скобках, равно, т. е. (-8)×(-1)=(-2)×(-4).

Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение:

Поскольку x =0- не корень, разделим обе части уравнения

на Получаем:

.

Введя замену: запишем исходное уравнение в виде: t ×( t +3)=4, т. е. .

Вернемся к исходной переменной:

Ответ:

Пример. Решить уравнение:

Решение. Выделим наиболее часто повторяющееся выражение и упростим левую часть исходного уравнения:

Введём замену , тогда уравнение примет вид:

или , т. е.

Применим основное свойства дроби и левой части уравнения, разделив на x ≠0:

Введем вторую замену ,

Возвращаемся к исходной замене, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, а первое имеет два корня.

5. Применение функциональных свойств при решении уравнений.

Иногда удается решить уравнение, анализируя функциональные свойства левой и правой части. Данный метод называется «использование монотонности функций». Суть метода: исследовать монотонности функций, участвующих в уравнении. Справедлива теорема: пусть задано уравнение f ( x )=0, где f ( x )-произвольная рациональная функция, определенная на X . Тогда, если на множестве X функция строго монотонна, то на множестве X уравнение имеет не более одного корня.

Следует отметить некоторые свойства монотонности, применяемые при решении уравнений данным методом:

1. Сумма монотонно возрастающих(убывающих) на X функций есть монотонно возрастающая(убывающая) на X функция.

2. Если функция f ( x ) возрастает (убывает) на X , то функция – f ( x ) убывает(возрастает) на X .

3. Если функция f ( x ) возрастает(убывает) на X и сохраняет там свой знак, то функция, обратная данной, убывает(возрастает) на X .

4. Если обе функции f ( x ) и g ( x ) возрастающие или обе убывающие на X , то f ( g ( x )) возрастающая на X .

5. Если f ( x ) убывающая на X , а g ( x ) возрастающая на X , то f ( g ( x )) – убывающая на X .

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения функции в левой части уравнения (0;+∞). На данном промежутке каждая из функций монотонно возрастает; следовательно, функция f ( x ), стоящая в левой части уравнения, также возрастает на (0;+∞), как сумма монотонно возрастающих функций. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня на (0;+∞), который легко подобрать.

x =4. Других корней нет.

Пример 2. Решить уравнение -54=0.

Решение. Функция f ( x )= -54 – чётная. Поэтому решение уравнения достаточно рассмотреть на множестве [0;+∞), где эта функция возрастает, а поэтому не может имеет более одного корня на [0;+∞). Этим корнем является положительный корень уравнения .

Поэтому на множестве всех действительных чисел исходное уравнение имеет два корня ± .

Ответ: ± .

Источник