Рациональные приёмы вычислений на уроках математики
Разделы: Математика
Класс: 4
Ключевые слова: математика
«Мозг хорошо устроенный ценится больше,
чем мозг хорошо наполненный.»
Умения рационально производить вычисления характеризуют довольно высокий уровень математического развития. Знакомство и применение рациональных способов вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Эти умения чрезвычайно сложны, формируются они медленно и за время обучения в начальной школе далеко не у всех детей могут быть достаточно сформированы.
Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро. Считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировки. И тогда перед вами откроется совсем другая математика: живая, полезная, понятная.
Скажите, пожалуйста, как рациональнее сложить 1+ 7, 4 * 8? Какие законы применили?
27 + 46+13? 27 – 19 – 7? Какие свойства, законы? Т.е основы рациональных приёмов вычислений основаны на чём?
Методика преподавания математики в начальных классах раскрывает основы рациональных приёмов вычислений, связанных с выполнением разных математических действий с натуральными числами.
Рациональные приёмы сложения основываются
1. Коммуникативный закон сложения а +в =в +а
2. Ассоциативный закон сложения а+в+с = а+ (в+с)
на коммуникативном и ассоциативном приёмах сложения, а так же свойствах изменения суммы. Рассмотрим некоторые из них.
Свойства сложения.
1.1
а+в+с =У, то (а – к) +с+в = У –к
38+24+15 = 77, то 36+ 24+ 15 = ?
а+в+с=У, то (а+ к) +в +с = У+к
38 + 24+15 = 77, то 40+ 24 + 15 =?
1.2.
а+ в =С , то (а +к ) + (в – к) = С
56 + 27 = 83, то (56 + 4) + (27 – 4) = ?
Какие ещё рациональные приёмы сложения можно применить на уроке математики?
Округление одного из слагаемых; поразрядного сложения; приём группировки вокруг одного и того же «корневого» числа.
Рассмотрим эти приёмы:
13 + 49 + 76 + 61 = (поразрядное сложение)
38 + 59 = 38 + (…округление слагаемого)
26 + 24 + 23 +25 + 24 = (группировка вокруг одного и того же «корневого» числа
Все приёмы рациональных вычислений, связанных с вычитанием, основываются на законах вычитания.
Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на число, то соответственно разность увеличится или уменьшится на это же самое число
а – в = С, то (а +к) — в = С +к
74 – 28 = 46, то 77 – 28 = 49
а-в = С , то (а – к ) — в = С-к
74 – 28 = 46, то 71 – 28 = 43
Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность измениться в противоположную сторону.
Если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить или увеличить на одно и тоже число, то разность не измениться.
Найди верные равенства.
229 – 36 = (229 – 9 ) – ( 36 – 6)
174 – 58 = (174 – 4) – ( 58 – 4)
358 – 39 = ( 358 – 8 ) – (39 – 8)
617 – 48 = ( 617 – 7 ) – (48 – 8)
Для рациональных вычислений используют частичные приёмы умножения и деления.
Приём замены множителя или делителя на произведение.
75 * 8 = 75 * 2*2*2=
960 : 15 = 960 : 3 : 5 =
Приём умножения на 9, 99,999, 11 …
87 * 99 = 87 * 100- 87 = 8700 – 87 = 8613
87 * 11 = 87 *10 + 87 = 870+ 87 = 957
Успешное применение различных приёмов зависит от умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Например, познакомив детей в первом классе с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав числа.
0 1 2 3 4 5 6 7
Отработав, таким образом, состав чисел в пределах 10 и познакомившись с переместительным законом сложения, дети легко справляются с заданием найти сумму чисел в пределах 10, а в дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойство сложения, легко можно найти сумму других чисел. Например:
48 +14 +22 +36 =120
Существуют приёмы на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Легко находить сумму последовательных нечётных чисел, начиная с 1.
Она равна произведению количества слагаемых на самого себя. (проверить)
Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия. Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условия задания, суметь подметить все его особенности. Такие задания, как поставь нужный знак действия16 … 17 = 33 ( рассуждать), далее подобные задания усложняются. 8…6…33 = 15
Сравни, не вычисляя
51 : 3 … 30 : 3 + 21 :5
636 :6 … 600 : 6+ 30 : 6+ 6 :6
Задания могут даваться в занимательной форме: Математический лабиринт, составь слово, найди пару , расшифруй пословицу и т.д.
Используй рациональные приёмы вычисления, разгадай слово
Какие приёмы использовали?
Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приёмы, помогающие значительно облегчить процесс вычисления.
СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ: способ быстрого умножения чисел первого десятка на 9. Допустим нам надо умножить 7 на 9. Повернём ладошки к себе, загнём седьмой палец, число пальцев слева от загнутого пальца – это число десятков, а число – справа, количество единиц.
Все задания, которые рассматривались, воспитывают интерес к математике, развивают их математические способности. Такую работу можно продолжать на математическом кружке.
Источник
Приёмы рациональных вычислений.
Одно из самых важных умений человека – это умение быстро и правильно выполнять вычисления.
Рационализация вычислений означает выполнение вычислений более лёгким, более целесообразным способом.
Устные вычисления способствуют активизации мыслительной деятельности, развитию логического мышления, сообразительности, памяти, творческих начал и волевых
качеств. Способность к умственному (устному) счёту полезна
в отношении практическом и, как средство, для здоровой умственной гимнастики.
1. Приём, основанный на использовании свойств
арифметических действий.
· 89 + 67 + 11 = 89 + 11 + 67 = 167
· 357 + 996 + 48 = 357 + 996 + (43 + 4 + 1) =
= (357 + 43) + (996 + 4) + 1 = 400 + 1000 +1 = 1401
· 25 × 37 × 4 = 37 × (25 × 4) = 37 × 100 =3700
· 87 × 4 + 4 × 13 = (87 + 13) × 4 = 100 × 4 = 400
· 367 : 5 – 167 : 5 = ( 367 – 167) : 5 = 200 : 5 = 40
2. Приём округления.
· 399 + 473 = 400 +472 = 872
· 497 + 196 + 299 = 492 + 200 + 300 = 992
· 196 + 199 + 197 = 200 × 3 – 8 = 592
· 752 – 298 = 754 – 300 = 454
· 134 + 27 + 29 + 38 = 150 + 20 + 30 + 37 = 200 + 37 = 237
· 427 + 28 + 7 + 20 + 652 = 430 + 649 + 30 + 5 + 20 =
= 1079 + 1 + 54 = 1080 + 20 + 34 = 1134
· 198 × 3 = (200 – 2) × 3 = 600 – 6 = 594
· 35 × 18 = 35 × (20 – 2) = 700 – 70 = 630
3. Приём, основанный на зависимости результата от
изменения компонентов действий.
· 56 – 38 = 60 – 42 = 18
· 225 : 75 = (225 2) : (75 2) = 450 : 150 = 3
· 440 : 55 = 880 : 110 = 8
· 364 : 6 + 118 : 3 = 364 : 6 + 236 : 6 = (364 + 236) : 6 = 600 : 6 = 100
4. Приёмы последовательного умножения и деления.
· 75 × 8 = 75 × 2 × 2 × 2 = 150 × 2 × 2 = 300 × 2 = 600
· 35 × 18 = 35 × 2 × 9 = 70 × 9 = 630
· 23 × 55 = 23 × (5 × 11) = 115 × 11 = 1150 + 115 = 1 265
· 540 : 4 = (540 : 2) : 2 = 270 : 2 = 135
· 960 : 15 = (960 : 3) : 5 = 320 : 5 = 64
5. Приёмы умножения и деления на 5, 50, 500, 25, 250, 15, 125.
· 36 × 5 = (36 : 2) × 10 = 180
· 826 × 50 = (826 : 2) × 100 = 41 300
· 84 × 25 = (84 : 4) × 100 = 2 100
· 24 × 15 = 12 × 30 = 360
· 496 × 125 = (496 : 8) × 1000 = 62 000
· 4 340 : 5 = (4 340 : 10) × 2 = 868
· 4 000 : 125 = (4 000 × 8) : (125 × 8) = 32 000 : 1 000 = 32
6. Приёмы умножения на 9, 99, 11, 101. 1001.
· 26 × 9 = 25 × (10 – 1) = 250 – 25 = 225
· 35 × 99 = 3 500 – 35 = 3 465
· 37 × 11 = 37 × (10 + 1) = 370 + 37 = 407
· 73 × 101 = 7 300 + 73 = 7 373
· 735 × 1 001 = 735 000 + 735 = 735 735
Так, наблюдая и выявляя свойства чисел и действий над
ними, ученики накапливают сведения и используют их затем при
вычислениях. Овладение некоторыми приёмами рациональных
вычислений готовит детей к успешному изучению математики в
Источник
Рациональные методы устных вычислений
Рациональные методы устных вычислений В работе и быту постоянно возникает необходимость в разных вычислениях. Применение рациональных методов вычислений позволит вам повысить производительность труда, точность и скорость подсчетов. Вот четыре основные группы методик эффективных устных вычислений.
Автор: Илoнa Ильмapoвнa Пoтaпoвa, кандидат экономических наук, профессор Московского технико-экономического колледжа.
В работе и быту постоянно возникает необходимость в разных вычислениях. Использование простейших методов устных вычислений поможет вам снизить утомляемость, развить свое внимание и память. Применение рациональных методов вычислений также позволит вам повысить производительность труда, точность и скорость подсчетов. Вот четыре основные группы методик эффективных устных вычислений.
1. Приемы упрощенного сложения чисел
Известно четыре способа сложения, позволяющие ускорить подсчеты.
Способ последовательного поразрядного сложения используется при устных вычислениях, так как он упрощает и ускоряет суммирование слагаемых. При использовании этого способа сложение начинается с высших разрядов: к первому слагаемому прибавляются соответствующие разряды второго слагаемого.
Пример. Найдем сумму чисел 5287 и 3564, используя способ последовательного поразрядного сложения.
Решение. Расчет произведем в такой последовательности:
5 287 + 3 000 = 8 287; 8 287 + 500 = 8 787; 8 787 + 60 = 8 847; 8 847 + 4 = 8 851.
Другой способ последовательного поразрядного сложения заключается в том, что к высшему разряду первого слагаемого прибавляется высший разряд второго слагаемого, затем к следующему разряду первого слагаемого прибавляется следующий разряд второго слагаемого и т.д.
Рассмотрим этот вариант решения на приведенном выше примере, получим:
5 000 + 3 000 = 8 000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11; 8851.
Способ круглого числа. Число, имеющее одну значащую цифру и оканчивающееся одним или несколькими нулями, называется круглым числом. Этот способ применяется, когда из двух или более слагаемых можно выбрать такие, которые можно дополнить до круглого числа. Разность между круглым и заданным в условии вычислений числами называется дополнением. Например, 1 000 — 978 = 22. В этом случае число 22 является арифметическим дополнением числа 978 до 1 000.
Чтобы произвести сложение способом круглого числа, необходимо одно или несколько слагаемых, близких к круглым числам, округлить, выполнить сложение круглых чисел и из полученной суммы вычесть арифметические дополнения.
Пример. Найдем сумму чисел 1 238 и 193, используя способ круглого числа.
Решение. Округлим число 193 до 200 и произведем сложение следующим образом: 1 238 + 193 = (1 238 + 200) — 7 = 1 431.
Способ группировки слагаемых. Этот способ применяют в том случае, когда слагаемые при их группировке в сумме дают круглые числа, которые затем складывают между собой.
Пример. Найдем сумму чисел 74, 32, 67, 48, 33 и 26.
Решение. Суммируем числа, сгруппированные следующим образом: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.
Способ поразрядного суммирования отдельными столбцами. Данный способ состоит в сложении разрядов исходных чисел с повторным поразрядным суммированием полученных частных сумм.
Пример. Найдем сумму чисел 167, 532, 629, 274, 22, 18 и 14, используя способ поразрядного сложения.
2. Приемы упрощенного вычитания чисел
Способ последовательного поразрядного вычитания. Этим способом производится последовательное вычитание каждого разряда, вычитаемого из уменьшаемого. Он применяется, когда числа нельзя округлить.
Пример. Найдем разность чисел 721 и 398.
Решение. Выполним действия для нахождения разности заданных чисел в следующей последовательности:
представим число 398 в виде суммы: 300 + 90 + 8 = 398; выполним поразрядное вычитание: 721 — 300 = 421; 421 — 90 = 331; 331 — 8 = 323.
Способ круглого числа. Этот способ применяют, когда вычитаемое близко к круглому числу. Для расчета необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое, взятое круглым числом, и к полученной разности прибавить арифметическое дополнение.
Пример. Вычислим разность чисел 235 и 197, используя способ круглого числа.
Решение. 235 — 197 = 235 — 200 + 3 = 38.
Способ замены вычитания сложением. Способ заключается в том, что к вычитаемому нужно подобрать такое число, которое в сумме с ним было бы равно уменьшаемому. Подбор нужного числа выполняется по частям.
Пример. Найдем разность денежных сумм 50 р. и 28 р. 57 к., используя способ замены вычитания сложением.
Решение. Для суммы 28 р. 57 к. подберем числа по частям, для чего:
добавим к заданной сумме 43 к. и получим 29 р.; добавим к определенной в п. 1 сумме 21 р. для получения суммы 50 р.
Таким образом, искомое число — это результат вычисления слагаемых из двух сумм, т.е. разность денежных сумм 50 р. и 28 р. 57 к. составляет 21 р. 43 к.
3. Приемы упрощенного умножения чисел
Умножение на единицу с последующими нулями. При умножении числа на число, включающее единицу с последующими нулями (10; 100; 1 000 и т.д.), к нему приписывают справа столько нулей, сколько их в множителе после единицы.
Пример. Найдем произведение чисел 568 и 100.
Решение. 568 x 100 = 56 800.
Умножение на единицу с предшествующими нулями. При умножении числа на единицу с предшествующими ей нулями (0,1; 0,01; 0,001 и т.д.) как целого числа, так и десятичной дроби в первом сомножителе отделяют запятой справа столько знаков, сколько нулей во множителе перед единицей, включая ноль целых.
Пример. Найдем произведение чисел 467 и 0,01.
Решение. 467 x 0,01 =4,67.
Способ последовательного поразрядного умножения. Этот способ применяется при умножении числа на любое однозначное число. Если нужно умножить двузначное (трех-, четырехзначное и т.д.) число на однозначное, то вначале один из сомножителей умножают на десятки другого сомножителя, потом на его единицы и полученные произведения суммируют.
Пример. Найдем произведение чисел 39 и 7.
Решение. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.
Способ круглого числа. Применяют этот способ только когда один из сомножителей близок к круглому числу. Множимое умножают на круглое число, а затем на арифметическое дополнение и в конце из первого произведения вычитают второе.
Пример. Найдем произведение чисел 174 и 69.
Решение. 174 x 69 = (174 x 70) — (174 x 1) = 12 180 — 174 = 12 006.
Способ разложения одного из сомножителей. В этом способе сначала раскладывают на части (слагаемые) один из сомножителей, затем поочередно умножают второй сомножитель на каждую часть первого сомножителя и полученные произведения суммируют.
Пример. Найдем произведение чисел 13 и 325.
Решение. Разложим число порций на слагаемые:13 = 10 + 3.Умножим каждое из полученных слагаемых на 325: 10 x 325 р. = 3 250 р.; 3 x 325 р. = 975 р. Суммируем полученные произведения: 3 250 р. + 975 р. = 4 225 р.
Сокращенные приемы умножения на 0,5; 0,25 и 0,125. Десятичную дробь 0,5 можно выразить простой дробью 1/2. При умножении любого числа на 1/2 достаточно разделить это число на 2.
Пример. Найдем произведение чисел 325 и 0,5.
Решение. 322 x 0,5 = 322 / 2 = 161.
Десятичную дробь 0,25 можно выразить простой дробью 1/4. При умножении какого-то числа на 1/4 достаточно разделить это число на 4.
Пример. Найдем произведение чисел 68 и 0,25.
Решение. 68 x 0,25 = 68 / 4 = 17.
Десятичную дробь 0,125 можно выразить простой дробью 1/8. При умножении любого числа на 1/8 достаточно разделить это число на 8.
Пример. Найдем произведение чисел 600 и 0,125.
Решение. 600 x 0,125 = 600 / 8 = 75.
Сокращенные приемы умножения на 5; 50 и 500. Чтобы умножить какое-то число на 5; 50; 500, его нужно умножить соответственно на 10; 100; 1 000 и полученное произведение разделить на 2. Помните, что число нулей в произведении равно числу цифр в целой части множителя.
Пример. Найдем произведение чисел 74 и 50.
Решение. 74 x 50 = (74 х 100) / 2 = 7400 / 2 = 3 700.
Сокращенные приемы умножения на 2,5; 25 и 250. Чтобы умножить число на 2,5; 25; 250, его необходимо вначале умножить соответственно на 10; 100; 1 000 и разделить на 4.
Пример. Найдем произведение чисел 28 и 250.
Решение. 28 х 250 = (28 х 1 000) / 4 = 28000 / 4 = 7 000.
Сокращенные приемы умножения на 0,15. Чтобы умножить число на 0,15, нужно это число разделить на 10, полученное частное разделить на 2, а затем оба частных сложить.
Пример. Найдем произведение чисел 240 и 0,15.
Решение. 240 x 0,15 = (240 / 10) + 1/2 х (240 / 10) = 24 + 12 = 36.
Сокращенные приемы умножения на 1,5; 15 и 150. Чтобы умножить число на 1,5; 15; 150, нужно это число умножить соответственно на 1; 10; 100 и к полученному произведению прибавить его половину.
Пример. Найдем произведение чисел 66 и 1,5.
Решение. 66 x 1,5 = 66 + (66 / 2) = 99.
Сокращенные приемы умножения на 1,25; 12,5; 125. Чтобы умножить какое-то число на 1,25; 12,5; 125, его нужно сначала умножить соответственно на 10; 100; 1 000, а затем полученное произведение разделить на 8.
Пример. Найдем произведение чисел 70 и 12,5.
Решение. 70 х 12,5 = (70 х 100) / 8 = 7 000 / 8 = 875
4. Приемы упрощенного деления чисел
Существуют следующие приемы сокращенного деления.
Разложение делимого на слагаемые. Разложение делимого на такие слагаемые, которые легко бы делились раздельно, ускоряет устный подсчет числа при делении.
Пример. Найдем частное чисел 2 808 и 9.
Решение. 2808 / 9 = (2700 / 9) + (90 / 9) + (18 / 9) = 300 + 10 + 2 = 312.
Деление на единицу с последующими нулями. При делении на 10; 100; 1 000 как целого числа, так и дробного в нем отделяют запятой справа налево столько десятичных знаков, сколько нулей стоит в делителе после единицы.
Пример. Найдем частное от деления чисел 136 на 10, 32,7 на 1000.
Решение. 136 / 10= 13,6;32,7 / 1 000 = 0,0317.
Деление на единицу с предшествующими нулями. При делении на 0,1; 0,01; 0,001 эти десятичные дроби заменяют простыми, т.е. соответственно 1/10, 1/100, 1/1000. Чтобы выполнить деление какого-то числа, это число умножают на знаменатель (10; 100; 1 000) и делят на числитель (1). Чтобы разделить какое-то целое число на 1 с предшествующими ей нулями, надо приписать к этому числу справа столько нулей, сколько их в делителе; чтобы разделить дробное число, надо перенести в нем запятую слева направо настолько десятичных знаков, сколько нулей в делителе, включая ноль целых.
Пример. Разделим числа 235; 57,6 соответственно на 0,1 и 0,01.
Решение. 235 / 0,1 = 2 350;57,6 / 0,01 = 5 760.
Деление на 0,5; 0,25; 0,125. Десятичную дробь 0,5 заменяют простой, т.е. 1/2. Чтобы разделить какое-то число на 0,5, необходимо умножить его на 2.
Пример. Разделим число 325 на 0,5.
Решение. 325 / 0,5 = 325 / 1/2 = 325 х 2 = 650.
При делении числа на десятичную дробь 0,25 ее заменяют простой дробью, т.е. 1/4. Чтобы разделить какое-то число на 0,25, необходимо умножить его на 4.
Пример. Разделим число 325 на 0,25.
Решение. 325 / 0,25 = 325 x 4 = 1300.
При делении десятичную дробь 0,125 заменяют простой, т.е. 1/8. Чтобы разделить какое-то число на 0,125, необходимо умножить его на 8.
Пример. Разделим число 325 на 0,125.
Решение. 325 / 0,125 = 325 x 8 = 2600.
Деление на 5 и 50. Делители 5 и 50 заменяют единицей с последующими нулями, т.е. соответственно на 10 и 100. Однако 10 в 2 раза больше, чем 5, а 100 в 2 раза больше, чем 50, поэтому, чтобы разделить какое-то число на 5 или 50, необходимо разделить его на 10 или 100, а частное умножить на 2.
Пример. Разделим число 1 250 соответственно на 50.
Решение. 1250 / 50 = (1250 / 100) х 2 = 12,5 x 2 = 25.
Деление на 2,5 и 25. Чтобы разделить число на 2,5 или 25, необходимо разделить его на 10 или 100 и затем частное умножить на 4.
Пример. Разделим число 285 на 2,5.
Решение. 285 / 2,5 = (285 / 10) х 4 = 28,5 x 4 = 114;
Деление на 1,25 и 12,5. Чтобы разделить число на 1,25 или 12,5, необходимо разделить его на 10 или 100 и затем частное умножить на 8.
Пример. Разделим число 300 на 12,5.
Решение. 300 / 12,5 = (300 / 100) х 8 = 3 x 8 = 24.
Источник
