Рациональный способ сокращения дроби

Сокращение дробей: правила и примеры

Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

Что такое «сокращение дробей»

Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.

В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2 , в результате чего получим 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . В этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .

Приведение дробей к несократимому виду

В предыдущем примере мы сократили дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?

Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

a b = a ÷ Н О Д ( a , b ) b ÷ Н О Д ( a , b )

Приведение дроби к несократимому виду

Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

Правило сокращения дробей

Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

Правило сокращения дробей

Чтобы сократить дробь нужно:

1. Найти НОД числителя и знаменателя.
2. Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

Рассмотрим практические примеры.

Пример 1. Сократим дробь.

Дана дробь 182 195 . Сократим ее.

Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.

195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д ( 182 , 195 ) = 13

Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

Пример 2. Сократим дробь

Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.

Для этого представим исходную дробь в виде:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

Пример 3. Сократим дробь

Сократим дробь 2000 4400 .

Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

Далее замечаем, что числитель и знаменатель дроби 20 44 делятся на 2 . Сокращаем и приходим к виду:

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:

Источник

Грамотное преобразование рациональных выражений

Рациональные выражения и дроби — краеугольный пункт всего курса алгебры. Те, кто научатся работать с такими выражениями, упрощать их и раскладывать на множители, по сути смогут решить любую задачу, поскольку преобразование выражений — неотъемлемая часть любого серьёзного уравнения, неравенства и даже текстовой задачи.

В этом видеоуроке мы посмотрим, как грамотно применять формулы сокращённого умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. Заодно повторим такой нехитрый приём, как разложение квадратного трёхчлена на множители через дискриминант.

Как вы уже наверняка догадались по формулам за моей спиной, сегодня мы будем изучать формулы сокращенного умножения, а, точнее, не сами формулы, а их применение для упрощения и сокращения сложных рациональных выражений. Но, прежде чем переходить к решению примеров, давайте познакомимся ближе с этими формулами или вспомним их:

Еще хотел бы отметить, что наша школьная система образования устроена таким образом, что именно с изучением этой темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учеников возникает одна и та же проблема, которую я сейчас объясню.

Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это где-то 8 класс) учителя говорят что-то следующее: «Если вам что-то непонятно, то вы не переживайте, мы к этой теме еще вернемся неоднократно, в старших классах так точно. Мы это еще разберем». Ну а затем на рубеже 9-10 класса те же самые учителя объясняют тем же самым ученикам, которые так и не знают, как решать рациональные дроби, примерно следующее: «А где вы были предыдущие два года? Это же изучалось на алгебре в 8 классе! Чего тут может быть непонятного? Это же так очевидно!».

Однако обычным ученикам от таких объяснений нисколько не легче: у них как была каша в голове, так и осталась, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основании которых и посмотрим, каким образом в настоящих задачах выделять эти выражения, которые приведут нас к формулам сокращенного умножения и как потом применять это для преобразования сложных рациональных выражений.

Сокращение простых рациональных дробей

Задача № 1

Первое, чему нам нужно научиться — выделять в исходных выражениях точные квадраты и более высокие степени, на основании которых мы сможем потом применять формулы. Давайте посмотрим:

Перепишем наше выражение с учетом этих фактов:

Задача № 2

Переходим ко второй задаче:

Упрощать тут нечего, потому что в числителе стоит константа, но я предложил эту задачу именно для того, чтобы вы научились раскладывать на множители многочлены, содержащие две переменных. Если бы вместо него был написанный ниже многочлен, как бы мы разложили его?

Давайте решим уравнение и найдем $x$, которые мы сможем поставить вместо точек:

\[D=25-4\cdot \left( -6 \right)=25+24=49\]

Мы можем переписать трехчлен следующим образом:

С квадратным трехчленом мы работать научились — для этого и нужно было записать этот видеоурок. А что делать, если кроме $x$ и константы присутствует еще $y$? Давайте рассмотрим их как еще одни элементы коэффициентов, т.е. перепишем наше выражение следующим образом:

Запишем разложение нашей квадратной конструкции:

\[\left( x-y \right)\left( x+6y \right)\]

Итого если мы вернемся к исходному выражению и перепишем его с учетом изменений, то получим следующее:

Что нам дает такая запись? Ничего, потому что его не сократить, оно ни на что не умножается и не делится. Однако как только эта дробь окажется составной частью более сложного выражения, подобное разложение окажется кстати. Поэтому как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными параметрами или нет), всегда старайтесь разложить его на множители.

Нюансы решения

Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:

• Все знаменатели и числители необходимо раскладывать на множители либо через формулы сокращенного умножения, либо через дискриминант.
• Работать нужно по такому алгоритму: когда мы смотрим и пытаемся выделить формулу сокращенного умножения, то, прежде всего, пытаемся все перевести в максимально возможную степень. После этого выносим за скобку общую степень.
• Очень часто будут встречаться выражения с параметром: в качестве коэффициентов будут возникать другие переменные. Их мы находим по формуле квадратного разложения.

Таким образом, как только вы видите рациональные дроби, первое, что нужно сделать — это разложить и числитель, и знаменатель на множители (на линейные выражения), при этом мы используем формулы сокращенного умножения или дискриминант.

Давайте посмотрим на пару таких рациональных выражений и попробуем их разложить на множители.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

Переписываем и стараемся разложить каждое слагаемое:

\[6xy=2\cdot 3\cdot x\cdot y=2x\cdot 3y\]

Давайте перепишем все наше рациональное выражение с учетом этих фактов:

Источник

Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры

Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.

Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров, в которых подробно рассмотрим решения.

Определение и примеры рациональных дробей

Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.

Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.

Рассмотрим примеры рациональных дробей.

— 2 a 2 · b — b , x + 2 , 3 · x + 2 2 3 · x 2 · y · z x 2 + y 2 + z 2 , х 8 , 1 4 · x 2 — 3 · x + 1 2 · x + 3 считаются рациональными дробями.

А 5 · ( x + y ) · y 2 — x 4 · y и a b — b a 3 + 1 a + 1 a 2 не являются таковыми, так как не имеют выражений с многочленами.

Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби

Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что с ними можно производить различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.

Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.

Преобразовать 3 · a — a · b — 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b a 3 · b 2 — 5 · a 2 · b + 3 · a · b — 15 таким образом, чтобы числитель получил стандартный вид многочлена, а знаменатель – их произведение.

Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида

3 · a — a · b — 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b = 3 · a — a · b — 5 3 · b 2 + 2 3 7 · a · b = = 3 · a + — α · b + 2 3 7 · a · b — 5 3 · b 2 = 3 · a + 1 3 7 · a · b — 5 3 · b 2

Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида

a 3 · b 2 — 5 · a 2 · b + 3 · a · b — 15 = ( a 3 · b 2 + 3 · a · b ) + ( — 5 · a 2 · b — 15 ) = = a · b · ( a 2 · b + 3 ) — 5 · ( a 2 · b + 3 )

Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить

a · b · ( a 2 · b + 3 ) — 5 · ( a 2 · b + 3 ) = a 2 · b + 3 · ( a · b — 5 )

Теперь подходим к произведению многочленов.

Проведя преобразования, получаем, что заданная дробь принимает вид 3 · a + 1 3 7 · a · b — 5 3 · b 2 a 2 · b + 3 · ( a · b — 5 ) .

Ответ: 3 · a — a · b — 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b a 3 · b 2 — 5 · a 2 · b + 3 · a · b — 15 = 3 · a + 1 3 7 · a · b — 5 3 · b 2 a 2 · b + 3 · ( a · b — 5 ) .

Данные преобразования необходимы для их использования в преобразованиях.

Приведение к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.

Для любых многочленов a , b и c , где b и c являются ненулевыми, равенство вида a b = a · c b · c справедливо, тогда они являются тождеством. К примеру, x · y + 1 2 · x — 5 = ( x · y + 1 ) · ( x 2 + 3 · b 2 ) ( 2 · x — 5 ) · ( x 2 + 3 · b 2 ) является справедливым для всей ОДЗ переменных x и y .

Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю. То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.

Если рассмотреть такой пример рациональной дроби вида x — y 2 · x , то при приведении к новому знаменателю, получим новую, но равную предыдущей. Необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение x 2 + y , тогда имеем, что выражение x — y · x 2 + y 2 · x · ( x 2 + y ) при помощи преобразования примет вид рациональной дроби x 3 + x · y — x 2 · y — y 2 2 · x 3 + 2 · x · y . Такие приведения используются для сложения или вычитания дробей. Углубить знания можно в разделе приведения алгебраических дробей к новому знаменателю.

Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе

Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.

При одновременном изменении знаков у числителя и знаменателя получаем дробь, равную заданной. Это утверждение запишем так — a — b = a b .

Дробь вида — x — 2 x — y заменяют равной ей x + 2 y — x .

При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:

a b = — — a b и a b = — a — b .

Для доказательства используется первое свойство. Получаем, что — — a b = — ( ( — a ) : b ) = ( — 1 ) · ( ( ( — 1 ) · a ) : b ) = ( — 1 ) · ( — 1 ) · a : b = a : b = a b .

При помощи преобразований доказывается равенство вида a b = — a — b .

К примеру, x x — 1 заменяем — — x x — 1 или — x 1 — x .

Существуют два полезных равенства вида — a b = — a b и a — b = — a b . Отсюда замечаем, что при изменении знака в числителе или только в знаменателе, изменится знак дроби. Получаем, — 3 x 3 · y + z = — 3 x 3 · y + z и x + 3 — x + 5 = — x + 3 x — 5 .

Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.

Сокращение рациональных дробей

Основа преобразования – это свойство дроби. То есть применяется a · c b · c = a b , где имеем, что a , b и c являются некоторыми многочленами, где b и c – нулевые.

Сократить дробь 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 .

Заметим, что 2 является общим множителем, значит необходимо сократить на него выражение. Получим, что 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = x 2 · y 3 x · y 7 . Видно, что x 2 = x · x и y 7 = y 3 · y 4 , тогда x – это общий множитель. После сокращения получим, что x 2 · y 3 x · y 7 = ( x · x ) · y 3 x · ( y 3 · y 4 ) = x y 4 . Сокращение выполняется последовательно, что позволяет получать точные ответы 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = ( 2 · x · y 3 ) · x ( 2 · x · y 3 ) · y 4 = x y 4 .

Ответ: 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = x y 4 .

Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.

При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.

К примеру, 3 · a 2 + a · b — 5 a + b = 3 · a 2 a + b + a · b a + b — 5 a + b .

Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Любая рациональная дробь представляется в виде суммы дробей разными способами. Запишем это в виде утверждения a b = c d + a b — c d . Если x · y — x x + 1 представлять в виде суммы дробей, тогда получаем выражения вида

x · y — x x + 1 = 1 x + x 2 · y — x 2 — x — 1 x 2 + x , x · y — x x + 1 = x x — 1 + x 2 · y — x · y — 2 x 2 x 2 — 1 и так далее.

В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.

Какие значения n являются целым числом дроби n 4 — 2 · n 3 + 4 · n — 5 n — 2 ?

Необходимо представить исходную дробь в виде суммы выражений и дроби. После деления числителя и знаменателя, получим выражение вида n 4 — 2 · n 3 + 4 · n — 5 n — 2 = n 3 + 4 + 3 n — 2 . Отсюда видно, что n 3 + 4 при любом n будет целым числом. А дробь 3 n — 2 принимает целые значения при n = 3 , n = 1 , n = 5 и n = − 1 .

Источник