Решение задач с помощью рациональных уравнений
Если хотите научиться плавать,
то смело входите в воду, а если
хотите научиться решать задачи,
то решайте их. Дж. Пойа
Урок. «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ».
Цели урока: Закрепить: 1) умения составлять дробно – рациональные уравнения по условию задачи; 2) умения определять соответствуют ли найденные корни уравнения условию задачи; 3) умения решать задачи с помощью дробно – рациональных уравнений; 4) умения выбора способа решения текстовой задачи. Познакомить учащихся с методом подобия при решении текстовых задач, который так же приводит к составлению дробного рационального уравнения.
Фронтальная работа. Ответить на вопросы:
Какие уравнения называют рациональными уравнениями?
Что называют корнем уравнения с неизвестным х?
Что значит решить уравнение?
Какие уравнения называют равносильными?
По какому правилу решают рациональные уравнения? Что может произойти при отклонении от этого правила?
Решение уравнений. Взаимопроверка – 4 варианта. Работа выполняется на листочках. Ответы записаны на обратной стороне доски. В ходе выполнения работы учащиеся определяют для себя алгоритм решения дробных рациональных уравнений. На каждой парте – таблица – напоминание «Алгоритм решения дробных рациональных уравнений». Приложение 1.
В а р и а н т 1.
В а р и а н т 2.
В а р и а н т 3.
В а р и а н т 4.
I вариант: 
, 
(
; 
).
II вариант: 
(
; 
)
III вариант: 
(
)
IV вариант: 
, 
(
; 
).
Устная работа. Составить уравнение для решения задачи:
Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами?
Ученику и мастеру дано задание изготовить одинаковое количество деталей. Мастер, изготовляя 18 деталей в час, затратил на выполнение задания на 3 ч меньше, чем ученик, который изготавливал лишь 12 деталей в час. Сколько деталей было заказано?
Знаменатель дроби на 2 больше числителя. Если числитель увеличить на 15, а знаменатель – на 3, то получится число 
. Найдите дробь.
(1) Решение задач. При решении задач составлением уравнения за х можно принять любое неизвестное.
Решаем задачу № 607 из учебника. (Алгебра – 8 класс/ Ю.Н. Макарычев)
К доске вызываются четыре ученика, чтобы записать условие задачи и составить уравнение четырьмя способами:
I – ученик за х принимает скорость мотоциклиста,
II – ученик принимает за х скорость велосипедиста,
III – ученик за х принимает время велосипедиста,
IV – ученик принимает за х время мотоциклиста.
Учащиеся записывают в тетрадь условия четырьмя способами, а решают одним, в соответствии со своим вариантом.
ч
км/ч
ч
км/ч
ч
Н
а
ч
м
еньше
ч
III c п о с о б.
км/ч
км/ч
ч
км/ч
ч
км/ч
Задача № 125 из учебного пособия по математике А.В. Шевкина «Текстовые задачи. 7 – 9 классы».
Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в полдень и достигли чужого города: первая в 4 ч по полудни, а вторая – в 9 ч. Нужно узнать, когда они вышли из своих городов.
Пояснение. Данную задачу заранее предлагаю учащимся решить дома. В перемену, до урока, прошу учащегося, правильно решившего задачу, написать решение на обратной стороне доски.
Заслушиваем комментарии по решению задачи учащимся. Задача решена составлением дробного рационального уравнения. ( Вариант решения задачи учащимся в приложении 2)
Объясняю решение данной задачи методом подобия, построив графики движения старушек.
Р е ш е н и е: Изобразим график движения старушек и применим метод подобия.
Пусть старушки до встречи шли х ч.
А D – промежуток времени движения первой старушки. СВ – промежуток времени движения второй старушки. К L – отсекает промежутки времени движения старушек до встречи. На рисунке А L – промежуток времени движения до встречи.
С К 4 D
А х L 9 В Время движения
Рассмотрим 
и 
: подобен по двум углам.
Рассмотрим 
и 
, они подобны по двум углам.
Из подобия двух пар треугольников следует, что 
и 
, т.е. 
Составим и решим уравнение: 
()
Это уравнение имеет единственный положительный корень, удовлетворяющий условию задачи. 
— это время движения старушек до встречи.
Выясним, в какое время старушки вышли из своих городов:
.
Ответ: старушки из своих городов вышли в 6 ч утра.
Как мы видим, метод подобия приводит к более простому решению.
Домашнее задание: Решить задачу двумя способами: 1) стандартным школьным способом и 2) методом подобия.
З а д а ч а: Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5 ч быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов навстречу друг другу одновременно, то встретятся через 6ч. За сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?
Источник
Рациональные приёмы вычислений на уроках математики
Разделы: Математика
Класс: 4
Ключевые слова: математика
«Мозг хорошо устроенный ценится больше,
чем мозг хорошо наполненный.»
Умения рационально производить вычисления характеризуют довольно высокий уровень математического развития. Знакомство и применение рациональных способов вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Эти умения чрезвычайно сложны, формируются они медленно и за время обучения в начальной школе далеко не у всех детей могут быть достаточно сформированы.
Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро. Считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировки. И тогда перед вами откроется совсем другая математика: живая, полезная, понятная.
Скажите, пожалуйста, как рациональнее сложить 1+ 7, 4 * 8? Какие законы применили?
27 + 46+13? 27 – 19 – 7? Какие свойства, законы? Т.е основы рациональных приёмов вычислений основаны на чём?
Методика преподавания математики в начальных классах раскрывает основы рациональных приёмов вычислений, связанных с выполнением разных математических действий с натуральными числами.
Рациональные приёмы сложения основываются
1. Коммуникативный закон сложения а +в =в +а
2. Ассоциативный закон сложения а+в+с = а+ (в+с)
на коммуникативном и ассоциативном приёмах сложения, а так же свойствах изменения суммы. Рассмотрим некоторые из них.
Свойства сложения.
1.1
а+в+с =У, то (а – к) +с+в = У –к
38+24+15 = 77, то 36+ 24+ 15 = ?
а+в+с=У, то (а+ к) +в +с = У+к
38 + 24+15 = 77, то 40+ 24 + 15 =?
1.2.
а+ в =С , то (а +к ) + (в – к) = С
56 + 27 = 83, то (56 + 4) + (27 – 4) = ?
Какие ещё рациональные приёмы сложения можно применить на уроке математики?
Округление одного из слагаемых; поразрядного сложения; приём группировки вокруг одного и того же «корневого» числа.
Рассмотрим эти приёмы:
13 + 49 + 76 + 61 = (поразрядное сложение)
38 + 59 = 38 + (…округление слагаемого)
26 + 24 + 23 +25 + 24 = (группировка вокруг одного и того же «корневого» числа
Все приёмы рациональных вычислений, связанных с вычитанием, основываются на законах вычитания.
Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на число, то соответственно разность увеличится или уменьшится на это же самое число
а – в = С, то (а +к) — в = С +к
74 – 28 = 46, то 77 – 28 = 49
а-в = С , то (а – к ) — в = С-к
74 – 28 = 46, то 71 – 28 = 43
Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность измениться в противоположную сторону.
Если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить или увеличить на одно и тоже число, то разность не измениться.
Найди верные равенства.
229 – 36 = (229 – 9 ) – ( 36 – 6)
174 – 58 = (174 – 4) – ( 58 – 4)
358 – 39 = ( 358 – 8 ) – (39 – 8)
617 – 48 = ( 617 – 7 ) – (48 – 8)
Для рациональных вычислений используют частичные приёмы умножения и деления.
Приём замены множителя или делителя на произведение.
75 * 8 = 75 * 2*2*2=
960 : 15 = 960 : 3 : 5 =
Приём умножения на 9, 99,999, 11 …
87 * 99 = 87 * 100- 87 = 8700 – 87 = 8613
87 * 11 = 87 *10 + 87 = 870+ 87 = 957
Успешное применение различных приёмов зависит от умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Например, познакомив детей в первом классе с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав числа.
0 1 2 3 4 5 6 7
Отработав, таким образом, состав чисел в пределах 10 и познакомившись с переместительным законом сложения, дети легко справляются с заданием найти сумму чисел в пределах 10, а в дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойство сложения, легко можно найти сумму других чисел. Например:
48 +14 +22 +36 =120
Существуют приёмы на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Легко находить сумму последовательных нечётных чисел, начиная с 1.
Она равна произведению количества слагаемых на самого себя. (проверить)
Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия. Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условия задания, суметь подметить все его особенности. Такие задания, как поставь нужный знак действия16 … 17 = 33 ( рассуждать), далее подобные задания усложняются. 8…6…33 = 15
Сравни, не вычисляя
51 : 3 … 30 : 3 + 21 :5
636 :6 … 600 : 6+ 30 : 6+ 6 :6
Задания могут даваться в занимательной форме: Математический лабиринт, составь слово, найди пару , расшифруй пословицу и т.д.
Используй рациональные приёмы вычисления, разгадай слово
Какие приёмы использовали?
Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приёмы, помогающие значительно облегчить процесс вычисления.
СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ: способ быстрого умножения чисел первого десятка на 9. Допустим нам надо умножить 7 на 9. Повернём ладошки к себе, загнём седьмой палец, число пальцев слева от загнутого пальца – это число десятков, а число – справа, количество единиц.
Все задания, которые рассматривались, воспитывают интерес к математике, развивают их математические способности. Такую работу можно продолжать на математическом кружке.
Источник
