- Рациональное решение задач и примеров по математике
- Приемы рациональных вычислений на уроках математики в начальной школе
- Стратегия выбора решения задачи рациональным способом при возможности ее решения несколькими способами статья по алгебре по теме
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Рациональное решение задач
и примеров по математике
Пособие для учителей
| СОДЕРЖАНИЕ § 1. Различные решения отдельных задач и примеров 3 На основе собственного опыта и опыта работы других учителей г. Могилева автор предлагает разнообразные методы обучения учащихся рациональным приемам решения задач и примеров. В книге рассматривается возможность упрощения решения большого числа упражнений, а также зависимость решения от формулировки задачи, от структуры и числовых данных условия. Подробно освещен также вопрос об использовании знаний из смежных школьных дисциплин для упрощения решений. Все теоретические положения автор иллюстрирует примерами и задачами из курса математики средней школы. Рекомендуется учителям математики. Два несвязанных фрагмента текста. § 8. ПРИМЕНЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ 5. В геометрии аналогом вспомогательных неизвестных являются вспомогательные построения. Иногда достаточно построить вспомогательную прямую, отрезок или другую какую-либо фигуру, чтобы найти простейшее решение предложенной задачи. Источник Приемы рациональных вычислений на уроках математики в начальной школеВ школьной практике мы постоянно сталкиваемся с тем, что ребенок использует привычные, во многом навязанные ему способы решения. Так, например, некоторые дети, после того как изучены приемы письменных вычислений, начинают применять эти способы и при устном решении примеров. Это заставляет задуматься, что же побуждает детей обращаться к такому нерациональному приему решения? Думаю, стремление действовать в соответствии с определенными алгоритмами, избегая при этом активных усилий мысли. Т.о. перед нами встает одна из главнейших задач обучения математике – пробудить у школьника потребность активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения. Прививая любовь к устным упражнениям, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждать у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными и экономичными. А это – важнейшее условие сознательного усвоения материала. Направленность мыслительной деятельности ученика на поиск рациональных путей решения проблемы свидетельствует о вариативности мышления. Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приемы, помогающие значительно облгчить процесс вычисления. Некоторые из таких приемов не предусмотрены программой начальной школы, а между тем детей довольно легко подвести к ознакомлению с ними, используя современную программу и учебник. Успешное применение различных приемов зависит в значительной мере от находчивости, изобретательности и умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Приемы устных вычислений основываются на знании нумерации, основных свойств действий, на сведении вычислений к более простым, результаты которых могут быть получены из табличных результатов. Работа над приемами устных вычислений должна вестись с первого класса. Например, познакомив детей с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав чисел. Например, ряд чисел от 0 до 7. Поставив пальчики на крайние числа и передвигая их к центру, дети хором говорят: 7 – это 0 и 7; 1 и 6; 2 и 5 и т.д. Отработав таким образом состав чисел в пределах 10 и познакомившись с приемами перестановки слагаемых, дети легко справляются с заданием: найти сумму чисел от 1 до 10. Важно показать детям при этом и вычисления по порядку для сравнения, чтобы выделить более легкий и рациональный чисел. В дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойства сложения, легко можно найти сумму чисел: 18 + 23 + 22 + 17. При выполнении устных вычислений иногда полезно округлять числа, прибавляя к ним несколько единиц или убавляя их. Подготовка к округлению чисел происходит на таких заданиях: сколько не хватает до 20, 30, . Далее навыки сложения и вычитания углубляются, ученики знакомятся с округлением компонентов арифметических действий. При выполнении таких заданий внимание обращается на выявление закономерности и нахождении более рационального приема вычислений. Например: 27 + 59 = 27 + 50 + 3 + 6 (традиционный способ) 53 – 28 = 53 – 20 – 3 – 5 (традиционный способ) А можно: 53 – 28 = 53 – 30 + 2 и т.д. Здесь приемы следующие: — округление одного или нескольких слагаемых; — округление уменьшаемого или вычитаемого. Существуют приемы, основанные на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Наблюдая примеры: 1 + 3 + 5 = 9 = 3 * 3 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 * 4 и т.д., легко находить сумму любого количества последовательных нечетных чисел, начиная с 1. Она равна произведению количества слагаемых на самого себя. Можно использовать для вычислений такую закономерность: 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 и т.д. Зная число Шахразады: 1001 = 7 * 11 * 13, сразу можно получить результат такого примера: 7 * 11 * 13 * 678 = 678678. Сразу можно написать ответ к выражению: 3* 7* 37 , зная, что 37 * 3 = 111 и т.д. Отсюда становится понятным моментальный ответ на задание: (10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 ) : 365 = 2. Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия в исходной вычислительной программе. Например: 6 + 2 – 2; 7580 : 20 * 20; 783 * 4 + 783 * 6 – 703 * 8 * 0 и т.п. Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условие задания, суметь подметить все его особенности. Здесь главным является формирование установки на предварительный анализ условия задания. Этому помогают упражнения такого вида: 16 . 17 = 33. (Необходимо выбрать нужное арифметическое действие и обосновать). Рассуждения: было 16, стало 33, сумма увеличилась, значит выполняю действие сложения. Далее задания усложняются: 8 . 6 . 33 = 15. Задания можно давать и в занимательной форме, например “Математический лабиринт”. Дети, выбирая то или иное арифметическое действие, сравнивают числа, им приходится мыслить целенаправленно, обосновывать сказанное. Для рационализации вычислений существуют частные приемы умножения и деления:
Все эти приемы основаны на конкретном смысле умножения и помогают расширять знания детей о свойствах умножения и возможности рациональных вычислений задолго до знакомства с этими приемами в средней школе. Вот как можно просто и быстро перемножать числа от 10 до 20: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Например: 16 * 18 = (16+8)*10 + 6*8 = 240 + 48 = 288 Используя описанный прием, ученик умножает на 10 и применяет табличное умножение, т.е. выполняет довольно простые мыслительные операции. Овладение некоторыми приемами тождественных преобразований и рациональных вычислений готовит детей к успешному изучению математики в средней школе, а кроме того, перед учениками открывается совсем другая математика: живая, полезная и понятная. И очень жаль, если непонимание математических связей начинается в начальной школе. Как правило, к сожалению, такие дети не могут предложить нестандартное решение. Им трудно объяснить свой выбор, потому что они бояться ошибиться. Источник Стратегия выбора решения задачи рациональным способом при возможности ее решения несколькими способами |
| Вложение | Размер |
|---|---|
| strategiya_resheniya_khramovoyt.v.doc | 89.5 КБ |
Предварительный просмотр:
зам.директора по УВР МОУ СОШ №33 г.Владимира,
Знай, куда идёшь. Знай зачем идёшь.
Если не знаешь, остановись и подумай.
Иногда полезней вернутся.
Древнее индийское изречение
Изучение математики в основной школе направленно на достижение следующих целей:
1)в направлении личностного развития
-развитие логического и критического мышления, культура речи, способности к умственному эксперименту;
-формирование у учащихся интеллектуальной честности и объективности, способности к преодолению мыслительных стереотипов, вытекающих из обыденного опыта;
-воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения;
-формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информационном обществе; и т.д.
2)в метопредметном направлении
3)в предметном направлении
( стандарты второго поколения “Математика”М”Просвещение” 2010)
В связи с этим в начальном обучении математики велика роль текстовых задач.
Центральное место в технологии подготовки к ЕГЭ и ГИА занимает обучение школьников приёмом мыслительного поиска способа решения задач. Для этого необходимо перед учащимися постоянно разворачивать всю картину поиска нужного решения. Поэтому целью моей экспериментальной работы стало выявление стратегии выбора решения задачи рациональном способом при возможности её решения несколькими способами.
Для её реализации была поставлена задача: Определить и исследовать познавательную стратегию учащихся пятого класса по решению задач несколькими способами .
1)Было проведено анкетирование в первой четверти
Вопрос: Кто может решить задачу несколькими способами?
б) затрудняются 39%
в) не могут и не хотят 32%
2)Подготовительная работа для самостоятельного осмысления выбора стратегии учащихся
3)Выработка общей памятки для решения задач
4)Осмысление и описание учащимися индивидуальных стратегий
5)Коллективное обобщение и оптимизация познавательной стратегии решения задач.
Перед учащимися была поставлена цель: разработать памятку для решения задач более простым, коротким (рациональным) способам, при условии что задачи решаются не сколькими способами.
Первоначально учащимся предлагалось задача и давалось несколько минут для обдумывания решения, затем желающим предлагалось рассказать о том, как
-учащийся понял задачу;
-выделил условие и вопрос задачи;
-составил план решения;
-проанализировал согласно данным задачи;
задача №133( учебник Н.Я.Виленкин.”Математика – 5 ”)
Для перевозки зерна выделили 3 машины. На одну из них грузили по 3тонны зерна, на вторую на 1 тонну больше, чем на 1ую , а на третью машину в 2раза меньше зерна чем на 2ую. Сколько зерна перевезли эти машины, сделав по 3 рейса каждая?
1способ – Кате Л.
Поняла задачу о 3-х машинах и 3х рейсов
Составила план решения задачи
Узнала сколько перевезла 1ая машина
Грузоподъемность 2ой машины
Перевезла 2 машина
Грузоподъемность 3ей машины
Перевезла 3яя машина
Перевезли всего зерна
2способ – Наташа Т.
Нашла грузоподъёмность 2ой машины
Нашла грузоподъемность 3ей машины
Нашла сколько перевозят 3 машины за 1 рейс
Нашла сколько перевозят 3 машины за 3 рейса
Затем учащимся задавался вопрос: “Какое решение вам понравилось больше? Почему?”
Большинство конечно одобрили 2ой способ решения за четкость и меньшее количество действий.
На последующих уроках я ставила перед учащимися цель: постараться осознать свои действия в решение задач и описать их максимально подробно. Помогала им в этом памятка (взята у О.Л.Беловой СШ №14 город Ковров из сборника “Целенаправленное развитие познавательных стратегий школьников” Владимир 2010)
1.Читай задачу, представляй образы, как бы рисуя картинки в своём воображении.
2.Читай задачу больше 1 раза, как правило на 2ой – 3ий раз ты обратишь внимание на детали текста.
3.Читая задачу, подчёркивай числа, думай, вспоминай и представляй, что обозначает каждое число.
4.Объясни, в чём смысл задачи. Выдели ключевой вопрос тот, который является самым главным.
5.Нарисуй рисунок, нарисуй схему или сделай краткую запись к задаче.
6.Проговори задачу по своим опорным схемам.
7.Запиши необходимые решения.
Задача №509 ( учебник Н.Я. Виленкин ”Математика – 5 ”)
Длина беговой дорожки вокруг поля стадиона 400м. За 6 минут 40 секунд Андрей пробежал 4 круга, а Николай 5 кругов. На сколько метров в секунду скорость Николая больше скорости Андрея?
1 Способ – Миша А.
Прочитал задачу 3 раза
Подчеркнул слово скорость, пробежали,
Нашёл на сколько кругов больше пробежал Николай
На сколько расстояние Николая больше
Перевел минуты в секунды
3)6минут 40 секунд = 400 секунд
2 Способ – Сергей Е .
Прочитал задачу 2 раза
Представил себя и моего друга
Понял, что минуты нужно перевести в секунды
Нашёл расстояние которое пробежал Андрей
Нашёл расстояние который пробежал Николай
Перевел минуты в секунды
3)6минут40секунд = 400 секунд
Нашёл скорость Андрея
Нашёл скорость Николая
Сравнил скорость Николая и Андрея
Провели анализ решения задач, конечно учащимся был одобрен короткий путь решения.
Как видно из приведённых размышлений ученики начинают “видеть” за словами конкретные предметы, записывая условия, представляют реальные вещи, а не абстрактные слова. Запись выполняется правильно большинством, однако правильно решить задачу получается не у всех, об этом говорит анализ итоговой контрольной работы за 1ое полугодие.
Входная – К.Р. октябрь
Итоговая – К.Р. декабрь
Решили задачу правильно
А)В выборе арифметических действий
Б) В вычислениях
Далее было предложено ,учащимся обменятся стратегиями решений одних и тех же задач с помощью вопросов по принципу ТОТЕ :
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2,5 ч. Скорость первого пешехода равна 4,2 км/ч, а скорость второго 5,2 км/ч. Какое расстояние было между пешеходами вначале движения.
Т1: 1)Как ты понял условие и вопрос задачи ?
2)Что способствует пониманию?
3)Как ты отобразил условие и вопрос задачи?
— несколько раз прочитал задачу
-мысленно представил себе движущихся пешеходов
-отдельно выписал ,что дано и что необходимо найти .
— несколько раз прочитал задачу, записал данные и вопрос задачи;
— прочитал задачу, представил подобную реальную ситуацию;
— читая задачу начертил схему движения, на чертеже отметил данные и вопрос задачи.
О: 4)Как родился план решения?
5)Из каких этапов состоит решение задачи ?
6)Какова последовательность этапов решения?
7)Что во внутреннем плане действий помогло тебе искать решения?
8)Что ты представлял, вспоминал, чувствовал?
9)Как родилось окончательной решение?
— вспомнил решение подобных задач
— представил задачу в картинках
— перебрал несколько вариантов заполнения таблицы согласно условию задачи
— вспомнил формулу для решения задач на движение
— вижу картинку движения пешеходов, вспоминаю свои ощущение при ходьбе, слышу шум дороги, думаю какое это движение, вспоминаю подобные задачи по этой теме, ещё раз читаю задачу, записываю все формулы по данной теме, из них выбираю нужные и составляю выражение
— смотрю на свой чертеж и согласовываю его с формулами по данной теме, записав выражение, понимаю, что предварительно надо найти скорость сближения
Т2 : 10)Что помогло?
12)Что ты делал в случае затруднения?
13)Что ты делал когда понимаешь, что не можешь решить задачу?
— ещё раз мысленно представил себе ход решения задачи
— вспомнил метод решения данной задачи и решил её
— вычислив значения расстояние каждого пешехода понял, что нужно их сложить
— были сомнения, просмотрел ещё раз весь ход решения, попробовал решить другим способом, убедился, что моё решение правильное;
— посмотрел свои записи решения, ещё раз обратился к чертежу, понял, что использовал именно те формулы, которые надо для этого вида движения
Е: 14)Как ты понял, что решаешь задачу верно?
15)Что стало последнем шагом?
16) как ты убедился, что решение верно?
— выбрал ответ по смыслу задачи
— сделал проверку в таблицы
— сверил ответы с одноклассниками
— сделал проверку устно, ответ сошёлся с одноклассниками, подчеркнул ответ;
— получил реальный результат в решение использовал все данные, проверил единицы измерения
Но данный анализ обмена стратегиями по принципу ТОТЕ для учащихся 5 класса оказался сложным.
Продолжая решать задачи несколькими способами учащиеся пришли к выводу , что не всякий короткий путь решения является рациональным.
Задача №1275 ( учебник Н.Я. Виленкин ”Математика – 5 ”)
Одна деталь имеет массу 13.26 кг, вторая -14,43 кг, третья -1,66 кг, а четвертая -!5,875 кг. Найдите общую массу этих четырех деталей и округлите результат до десятых долей килограмма.
1 Способ – Миша А.
— прочитал задачу 3 раза
-подчеркнул слово деталь, их 4
мысленно представил себе детали машины
-отдельно выписал ,что дано и что необходимо найти .
— вспомнил решение подобных задач
— представил задачу в картинках
— перебрал несколько вариантов заполнения таблицы согласно условию задачи
— выполнил сложение всех деталей ,а затем округлил
— выбрал ответ задачи
— сделал проверку в таблицы
— сверил ответы с одноклассниками
2 Способ – Сергей Е .
-прочитал задачу 2 раза
— записал данные и вопрос задачи;
— прочитал задачу, представил подобную реальную ситуацию;
— читая задачу начертил схему и заполнил таблицу
— вспомнил , как учительница говорила о приближенных значения
— нашел приближенные значения каждой детали
— выполнил сложение приближенных значений
— попробовал решить другим способом, убедился, что моё решение правильное;
— Сравнили результаты и сделали вывод при первом решении разность между точным и приближенным значением составляет 0,025 кг, а во втором 0,075 кг, значит для получения более точного результата следует сначала вычислить, а потом округлить.
На основе выявленных стратегий класс объединился и совместно выработал единую универсальную стратегию, которую оформили на большом ватмане и поместили ,на
- Читаю задачу, подчеркиваю слова
- Если не понял задачу, читаю её повторно, обращаю внимание на числа и представляю, что обозначает каждое число.
- Записываю условия задачи кратко или рисунком, схемой, таблицей.
- Ещё раз читаю вопрос задачи.
- Анализирую, что я знаю, что не знаю и как узнать неизвестное. Если необходимо, составляю схему решения задачи.
- Определяю, сколько действий необходимо выполнить при решении задачи. Какое действие первое, второе и т.д.
- При решении задачи задаю себе вопрос, почему я выбрал это действие. Вспоминаю, что говорил учитель на уроке, свой опыт решения задач или представляю картинку к этой задачи, если возможно.
- Пишу решение и ответ
- Проверяю, правильно ли я решил задачу: спрошу у родителей, соседа, учителя.
- Я молодец, умница, у меня сегодня получилось, значит, я могу решить и другие задачи.
Из приведенной работы можно сделать следующие выводы:
1)Успешно решать задачи учащимся помогают внутренние образы (у одних учеников это рисунки, связанные с условием задачи, у других — перенос успешного опыта решения подобной задачи для решения новой)
2)На этапе чтения условия полезно провести первичный анализ: Что дано Что найти;
проанализировать связь этих данных.
3)Анализ собственных действий учениками неизбежно приводит к развитию новых мыслительных операций, что является одним из способов развития стратегий и, таким образом, личностного опыта ученика.
4)Опыт самоанализа положительно влияет на обучаемость в целом.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка урока геометрии в 10 классе школы глухих «Решение задачи разными способами».
В методической разработке урока представлены: образец оформления доски, схемы записи решения задачи двумя способами, рекомендации по решению задач, виды работ на уроке с учащимися, имеющими слож.
Решение задач различными способами.
В работе рассматриваются решения одной задачи различными способами, для формирования у учащихся познавательного интереса к предмету, развития творческих способностей и умения учеников выбрать из разли.
Стратегия выбора решения задачи рациональным способом при возможности ее решения несколькими способами
Статья об обучении в выборе стратегии при решении задач несколькими способами.
урок в 5 классе»Решение задач алгебраическим способом»
это урок повторения,обобщения и систематизации знаний. в 5 классе начинаетсяподготовка к математическому моделированию, а этот урок одно из звеньев цепочки, он позволяет повторить знания по теме и обо.
Электронный образовательный ресурс на тему: «Решение задач алгебраическим способом»
Обучающая презентация на тему Решение задач алгебраическим способом.
Различные методы решения задач как способ активизации мыслительной деятельности учащихся на уроках математики
Показать влияние решения задач различными способами на уроках математики на развитие мыслительной деятельности, познавательной активности школьников, логического мышления.
Самостоятельная работа для 5 класса по теме «Решение задач табличным способом»
В документе представлены задачи, которые решаются табличным способом, в виде карточек.
Источник
