Рациональный способ решения примеров с степенями

Алгебра

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

Подставляем эти значения:

(3 1/6 ) 6 = 3 1/6 • 6 = 3 1 = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

(а 1/ n ) n = a 1/ n • n = a

Значит, по определению корня n-ой степени

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень а m / n ? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:

C учетом этого выполним преобразование:

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 81 0,25 . По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 81 0,25 можно так:

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

Свойства дробных степеней и операции с ними

Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.

Например, справедливы следующие действия:

5 0,5 •5 2,5 = 5 0,5 + 2,5 = 5 3 = 125

19 5/3 •19 1/3 = 19 5/3 + 1/3 = 19 2 = 361

29,36 –0,37 •29,36 1,37 = 29,36 –0,37 + 1,37 = 29,36 1 = 29,36

Вот несколько примеров подобных вычислений:

17 4,5 :17 3,5 = 17 4,5–3,5 = 17 1 = 1

4 9,36 :4 6,36 = 4 9,36–6,36 = 4 3 = 64

20 12 :20 14 = 20 12–14 = 20 –2

Проиллюстрируем это правило примерами:

(6 0,25 ) 8 = 6 0,25•8 = 6 2 = 36

(9 3/2 ) 2 = 9 (3/2)•2 = 9 3 = 729

(25 4 ) 0,125 = 25 4•0,125 = 25 0,5 = 5

Покажем, как можно применять данное правило:

4 1/6 •16 1/6 = (4•64) 1/6 = 64 1/6 = 2

0,5 1,5 •50 1,5 = (0,5•50) 1,5 = 25 1,5 = 25 1+0,5 = 25 1 •25 0,5 = 25•5 = 125

4,9 0,5 •10 0,5 = (4,9•10) 0,5 = 49 0,5 =7

Это правило можно применять следующим образом:

360 0,5 :10 0,5 = (360:10) 0,5 = 36 0,5 = 6

500 3 :50 3 = (500:50) 3 = 10 3 = 1000

6,25 1/4 :0,01 1/4 = (6,25:0,01) 1/4 = 625 1/4 = 5

Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если

то верное и обратное:

То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

Пример. Вычислите значение выражения

Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями

Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:

(9 1/4 ) 1/5 •3 9/10 = (9 0,25 ) 0,2 •3 0,9 = 9 0,25•0,2 •3 0,9 = 9 0,05 •3 0,9 = (3 2 ) 0,05 •3 0,9 =

=3 2•0,05 •3 0,9 = 3 0,1 •3 0,9 = 3 0,1•0,9 = 3 1 = 3

Пример. Упростите выражение

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25

Решение. Степень 81 n+1 можно представить как произведение:

81 n+1 = 81 n •81 1 = 81•81 n

С учетом этого можно записать:

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25 = (81•81 n – 65•81 n ) 0,25 = (81 n (81 – 65)) 0,25 =

= (81 n •16) 0,25 = 81 0,25 n •16 0,25 = 81 0,25 n •16 1/4 = 2•81 0,25 n

Ответ: 2•81 0,25 n .

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

Отсюда следует вывод, что если a 1/ n 1/ n

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

В частности, справедливы следующие неравенства:

Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:

a – n = 1/a n = (1/а) n

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20 –3,14 и 50 –3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20 –3,14 = (1/20) 3,14 = 0,05 3,14

50 –3,14 = (1/50) 3,14 = 0,02 3,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 3,14 3,14

Это означает, что

Ответ: 50 –3,14 –3,14 .

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0 0 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

9,36 0 = 9,37 0 = 1

18,3546 0 = 12,3647 0 = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

На основании этого правила можно записать, что:

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1 –7,56 = 1 –0,15 = 1 0,236 = 1 521,36 = 1

Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,5 7,6 и 0,5 8,9 . Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:

0,5 = 1/2 = 1/(2 1 ) = 2 –1

Итак, 0,5 = 2 –1 . Тогда можно записать, что:

0,5 7,6 = (2 –1 ) 7,6 = 2 –7,6

0,5 8,9 = (2 –1 ) 8,9 = 2 –8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

Следовательно, 0,5 7,6 > 0,5 8,9 .

Например, справедливы неравенства:

0,57 15,36 > 0,57 16,47

0,49 0,04 > 0,49 0,05

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 1/3 :

Также ясно, что 27 1/3 1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 1/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27 1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 0,8 0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9 0,8 0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

или просто 0,8 0,8 0,7 . Абсолютно аналогично можно записать, что

Или 0,7 0,8 0,7 . Наконец, в силу правила (3), 0,9 0,9 0,7 . Итак, имеем три неравенства:

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,9 0,7 + 0,9 0,7 + 0,9 0,7 0,7 0,7 0,7 :

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.

Источник

Свойства степеней. Действия со степенями

О чем эта статья:

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение:

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, a n = a·a·a·a. ·a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 — она решается довольно просто:

2 — основание степени

3 — показатель степени

Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.

Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.

Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.

Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:

• 3·3·3·3 = 81. То есть получается, что три в степени четыре равно 81.

Математики заскучали и решили все упростить:

Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Источник

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , ( 2 + 1 ) 5 , ( − 0 , 1 ) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , ( a 2 ) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , ( a + 1 ) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: ( 0 , 5 ) 2 + ( 0 , 5 ) — 2 2 .

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 — 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 — 2 2 — 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 — 2 · a — 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 — π , 2 3 3 + 5 .

В качестве показателя может выступать переменная 3 x — 54 — 7 · 3 x — 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x .

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 2 3 · ( 4 2 − 12 ) .

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · ( 4 2 − 12 ) = 2 3 · ( 16 − 12 ) = 2 3 · 4 .

Нам остается заменить степень 2 3 ее значением 8 и вычислить произведение 8 · 4 = 32 . Вот наш ответ.

Ответ: 2 3 · ( 4 2 − 12 ) = 32 .

Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 .

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Ответ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Представьте выражение со степенями 9 — b 3 · π — 1 2 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 3 2 и применим формулу сокращенного умножения:

9 — b 3 · π — 1 2 = 3 2 — b 3 · π — 1 2 = = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1

Ответ: 9 — b 3 · π — 1 2 = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1 .

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, ( 2 + 0 , 3 · 7 ) 5 − 3 , 7 и ( a · ( a + 1 ) − a 2 ) 2 · ( x + 1 ) . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, ( 2 + 0 , 3 · 7 ) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3 . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени ( a · ( a + 1 ) − a 2 ) 2 · ( x + 1 ) и получить степенное выражение более простого вида a 2 · ( x + 1 ) .

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s — произвольные действительные числа:

• a r · a s = a r + s ;
• a r : a s = a r − s ;
• ( a · b ) r = a r · b r ;
• ( a : b ) r = a r : b r ;
• ( a r ) s = a r · s .

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n , где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0 .

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Представьте выражение a 2 , 5 · ( a 2 ) − 3 : a − 5 , 5 в виде степени с основанием a .

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель ( a 2 ) − 3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

a 2 , 5 · a − 6 : a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6 : a − 5 , 5 = a − 3 , 5 : a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − ( − 5 , 5 ) = a 2 .

Ответ: a 2 , 5 · ( a 2 ) − 3 : a − 5 , 5 = a 2 .

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Решение

Если мы применим равенство ( a · b ) r = a r · b r , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

Есть еще один способ провести преобразования:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · ( 3 · 7 ) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Ответ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 , введите новую переменную t = a 0 , 5 .

Решение

Представим степень a 1 , 5 как a 0 , 5 · 3 . Используем свойство степени в степени ( a r ) s = a r · s справа налево и получим ( a 0 , 5 ) 3 : a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = ( a 0 , 5 ) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5 : получаем t 3 − t − 6 .

Ответ: t 3 − t − 6 .

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 .

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 3 · 5 2 3 · 5 — 2 3 — 2 — x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 — 3 · 5 2 3 + — 2 3 — 2 — x 2 = 3 · 5 1 — 3 · 5 0 — 2 — x 2

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 — 2 — x 2 = — 12 2 + x 2

Ответ: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = — 12 2 + x 2

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3 . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3 не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3 :

a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

б) Обратим внимание на знаменатель:

x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 — x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x и y выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

Ответ: а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Сократите дробь: а) 30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 .

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1 и на x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 .

30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · ( x 0 , 5 + 1 )

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 2 — b 1 2 2 = = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 — b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Ответ: а) 30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1

x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 — x 1 2 — 1 · x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 — 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 — x 1 2 — 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 — x 1 2 2 — 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

Теперь умножаем дроби:

4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

Произведем сокращение на степень x 1 2 , получим 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 .

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 — 1 2 = 4 x — 1 .

Ответ: x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x — 1

Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на ( x 2 , 7 + 1 ) 2 . Получаем дробь x 3 4 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 .

Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 — — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .

Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Ответ: x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение ( x + 1 ) — 0 , 2 3 · x — 1 можно заменить на x 3 · ( x + 1 ) 0 , 2 .

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x ≥ 0 и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞ ) .

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Ответ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0 .

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .

Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5 · 5 — 3 · 5 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x 7 x — 2 = 0 .

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x — 3 · 5 7 x — 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 — 3 · 5 7 x — 2 = 0 .

Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 — 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 ( 1 — log 3 5 ) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

Источник