Рациональные приёмы вычислений на уроках математики
Разделы: Математика
Класс: 4
Ключевые слова: математика
«Мозг хорошо устроенный ценится больше,
чем мозг хорошо наполненный.»
Умения рационально производить вычисления характеризуют довольно высокий уровень математического развития. Знакомство и применение рациональных способов вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Эти умения чрезвычайно сложны, формируются они медленно и за время обучения в начальной школе далеко не у всех детей могут быть достаточно сформированы.
Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро. Считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировки. И тогда перед вами откроется совсем другая математика: живая, полезная, понятная.
Скажите, пожалуйста, как рациональнее сложить 1+ 7, 4 * 8? Какие законы применили?
27 + 46+13? 27 – 19 – 7? Какие свойства, законы? Т.е основы рациональных приёмов вычислений основаны на чём?
Методика преподавания математики в начальных классах раскрывает основы рациональных приёмов вычислений, связанных с выполнением разных математических действий с натуральными числами.
Рациональные приёмы сложения основываются
1. Коммуникативный закон сложения а +в =в +а
2. Ассоциативный закон сложения а+в+с = а+ (в+с)
на коммуникативном и ассоциативном приёмах сложения, а так же свойствах изменения суммы. Рассмотрим некоторые из них.
Свойства сложения.
1.1
а+в+с =У, то (а – к) +с+в = У –к
38+24+15 = 77, то 36+ 24+ 15 = ?
а+в+с=У, то (а+ к) +в +с = У+к
38 + 24+15 = 77, то 40+ 24 + 15 =?
1.2.
а+ в =С , то (а +к ) + (в – к) = С
56 + 27 = 83, то (56 + 4) + (27 – 4) = ?
Какие ещё рациональные приёмы сложения можно применить на уроке математики?
Округление одного из слагаемых; поразрядного сложения; приём группировки вокруг одного и того же «корневого» числа.
Рассмотрим эти приёмы:
13 + 49 + 76 + 61 = (поразрядное сложение)
38 + 59 = 38 + (…округление слагаемого)
26 + 24 + 23 +25 + 24 = (группировка вокруг одного и того же «корневого» числа
Все приёмы рациональных вычислений, связанных с вычитанием, основываются на законах вычитания.
Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на число, то соответственно разность увеличится или уменьшится на это же самое число
а – в = С, то (а +к) — в = С +к
74 – 28 = 46, то 77 – 28 = 49
а-в = С , то (а – к ) — в = С-к
74 – 28 = 46, то 71 – 28 = 43
Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность измениться в противоположную сторону.
Если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить или увеличить на одно и тоже число, то разность не измениться.
Найди верные равенства.
229 – 36 = (229 – 9 ) – ( 36 – 6)
174 – 58 = (174 – 4) – ( 58 – 4)
358 – 39 = ( 358 – 8 ) – (39 – 8)
617 – 48 = ( 617 – 7 ) – (48 – 8)
Для рациональных вычислений используют частичные приёмы умножения и деления.
Приём замены множителя или делителя на произведение.
75 * 8 = 75 * 2*2*2=
960 : 15 = 960 : 3 : 5 =
Приём умножения на 9, 99,999, 11 …
87 * 99 = 87 * 100- 87 = 8700 – 87 = 8613
87 * 11 = 87 *10 + 87 = 870+ 87 = 957
Успешное применение различных приёмов зависит от умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Например, познакомив детей в первом классе с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав числа.
0 1 2 3 4 5 6 7
Отработав, таким образом, состав чисел в пределах 10 и познакомившись с переместительным законом сложения, дети легко справляются с заданием найти сумму чисел в пределах 10, а в дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойство сложения, легко можно найти сумму других чисел. Например:
48 +14 +22 +36 =120
Существуют приёмы на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Легко находить сумму последовательных нечётных чисел, начиная с 1.
Она равна произведению количества слагаемых на самого себя. (проверить)
Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия. Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условия задания, суметь подметить все его особенности. Такие задания, как поставь нужный знак действия16 … 17 = 33 ( рассуждать), далее подобные задания усложняются. 8…6…33 = 15
Сравни, не вычисляя
51 : 3 … 30 : 3 + 21 :5
636 :6 … 600 : 6+ 30 : 6+ 6 :6
Задания могут даваться в занимательной форме: Математический лабиринт, составь слово, найди пару , расшифруй пословицу и т.д.
Используй рациональные приёмы вычисления, разгадай слово
Какие приёмы использовали?
Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приёмы, помогающие значительно облегчить процесс вычисления.
СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ: способ быстрого умножения чисел первого десятка на 9. Допустим нам надо умножить 7 на 9. Повернём ладошки к себе, загнём седьмой палец, число пальцев слева от загнутого пальца – это число десятков, а число – справа, количество единиц.
Все задания, которые рассматривались, воспитывают интерес к математике, развивают их математические способности. Такую работу можно продолжать на математическом кружке.
Источник
Приемы рациональных вычислений на уроках математики в начальной школе
В школьной практике мы постоянно сталкиваемся с тем, что ребенок использует привычные, во многом навязанные ему способы решения. Так, например, некоторые дети, после того как изучены приемы письменных вычислений, начинают применять эти способы и при устном решении примеров. Это заставляет задуматься, что же побуждает детей обращаться к такому нерациональному приему решения? Думаю, стремление действовать в соответствии с определенными алгоритмами, избегая при этом активных усилий мысли. Т.о. перед нами встает одна из главнейших задач обучения математике – пробудить у школьника потребность активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения.
Прививая любовь к устным упражнениям, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждать у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными и экономичными. А это – важнейшее условие сознательного усвоения материала. Направленность мыслительной деятельности ученика на поиск рациональных путей решения проблемы свидетельствует о вариативности мышления.
Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приемы, помогающие значительно облгчить процесс вычисления. Некоторые из таких приемов не предусмотрены программой начальной школы, а между тем детей довольно легко подвести к ознакомлению с ними, используя современную программу и учебник.
Успешное применение различных приемов зависит в значительной мере от находчивости, изобретательности и умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Приемы устных вычислений основываются на знании нумерации, основных свойств действий, на сведении вычислений к более простым, результаты которых могут быть получены из табличных результатов.
Работа над приемами устных вычислений должна вестись с первого класса. Например, познакомив детей с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав чисел. Например, ряд чисел от 0 до 7. Поставив пальчики на крайние числа и передвигая их к центру, дети хором говорят: 7 – это 0 и 7; 1 и 6; 2 и 5 и т.д. Отработав таким образом состав чисел в пределах 10 и познакомившись с приемами перестановки слагаемых, дети легко справляются с заданием: найти сумму чисел от 1 до 10. Важно показать детям при этом и вычисления по порядку для сравнения, чтобы выделить более легкий и рациональный чисел. В дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойства сложения, легко можно найти сумму чисел: 18 + 23 + 22 + 17.
При выполнении устных вычислений иногда полезно округлять числа, прибавляя к ним несколько единиц или убавляя их. Подготовка к округлению чисел происходит на таких заданиях: сколько не хватает до 20, 30, . Далее навыки сложения и вычитания углубляются, ученики знакомятся с округлением компонентов арифметических действий. При выполнении таких заданий внимание обращается на выявление закономерности и нахождении более рационального приема вычислений.
Например: 27 + 59 = 27 + 50 + 3 + 6 (традиционный способ)
53 – 28 = 53 – 20 – 3 – 5 (традиционный способ)
А можно: 53 – 28 = 53 – 30 + 2 и т.д.
Здесь приемы следующие:
— округление одного или нескольких слагаемых;
— округление уменьшаемого или вычитаемого.
Существуют приемы, основанные на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Наблюдая примеры:
1 + 3 + 5 = 9 = 3 * 3
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 * 4 и т.д.,
легко находить сумму любого количества последовательных нечетных чисел, начиная с 1. Она равна произведению количества слагаемых на самого себя.
Можно использовать для вычислений такую закономерность:
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 и т.д.
Зная число Шахразады: 1001 = 7 * 11 * 13, сразу можно получить результат такого примера: 7 * 11 * 13 * 678 = 678678. Сразу можно написать ответ к выражению: 3* 7* 37 , зная, что 37 * 3 = 111 и т.д. Отсюда становится понятным моментальный ответ на задание: (10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 ) : 365 = 2.
Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия в исходной вычислительной программе.
Например: 6 + 2 – 2; 7580 : 20 * 20; 783 * 4 + 783 * 6 – 703 * 8 * 0 и т.п.
Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условие задания, суметь подметить все его особенности. Здесь главным является формирование установки на предварительный анализ условия задания. Этому помогают упражнения такого вида: 16 . 17 = 33. (Необходимо выбрать нужное арифметическое действие и обосновать). Рассуждения: было 16, стало 33, сумма увеличилась, значит выполняю действие сложения. Далее задания усложняются: 8 . 6 . 33 = 15.
Задания можно давать и в занимательной форме, например “Математический лабиринт”. Дети, выбирая то или иное арифметическое действие, сравнивают числа, им приходится мыслить целенаправленно, обосновывать сказанное.
Для рационализации вычислений существуют частные приемы умножения и деления:
- приемы деления на 3, 6, 9, 5 и т.д.;
- приемы умножения на 5, 9, 99, 999, 11, 101 и т.д.;
- прием замены множителя или делимого разностью 68 * 5 = ( 70 – 2) * 5;
- прием замены множителя или делителя произведением:
- 75 * 8 = 75 * 2 * 2 * 2;
- 960 : 15 = 960 : 3: 5;
- 84 * 84 = 7 * 12 * 7 * 12 = 49 * 144 = 50 * 144 – 144 = 100 * 72 – 144 = 7056.
Все эти приемы основаны на конкретном смысле умножения и помогают расширять знания детей о свойствах умножения и возможности рациональных вычислений задолго до знакомства с этими приемами в средней школе.
Вот как можно просто и быстро перемножать числа от 10 до 20: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Например: 16 * 18 = (16+8)*10 + 6*8 = 240 + 48 = 288
Используя описанный прием, ученик умножает на 10 и применяет табличное умножение, т.е. выполняет довольно простые мыслительные операции.
Овладение некоторыми приемами тождественных преобразований и рациональных вычислений готовит детей к успешному изучению математики в средней школе, а кроме того, перед учениками открывается совсем другая математика: живая, полезная и понятная. И очень жаль, если непонимание математических связей начинается в начальной школе. Как правило, к сожалению, такие дети не могут предложить нестандартное решение. Им трудно объяснить свой выбор, потому что они бояться ошибиться.
Источник
Рациональный способ решения примера это как
На современном этапе в Казахстане образованию дается приоритет государственной значимости. Необходимость развития интеллектуального потенциала общества, широкомасштабная информатизация и компьютеризация систем школьного образования, увеличение требований к качеству и результативности содержательной стороны обучения учебным предметам, в особенности математике, выдвигают как одну из актуальных – проблему развития познавательных способностей в процессе изучения алгебраического материала в основной школе.
Социальная значимость математического образования достаточно очевидна. Математика во все времена имела бесспорное культурное и практическое значение, ее роль в научном, техническом и экономическом развитии не может быть подвергнута сомнению. Следовательно, для полноценного функционирования современного общества математические знания как непреходящая ценность должно передаваться следующим поколениям. Во-первых, изучение математики формирует культуру мышления, которая нужна человеку независимо ни от его будущей профессии, ни от иных значимых социальных характеристик. Во-вторых, изучение математики формирует такие качества личности, как стремление к истине, интеллектуальную честность, настойчивость в достижении цели, способность сосредоточиваться, умение преодолеть трудность. То есть усвоение математики и развития познавательных способностей играет очень важную роль не только в развитии интеллекта, но и в формировании характера.
Результаты исследования: В обучении математике всё большее значение придаётся самостоятельной деятельности учащихся. Основной формой, средством организации и управления учебной деятельностью школьников является самостоятельная работа. Т.И. Шамовой показано, что учебная деятельность в процессе учения может протекать на репродуктивном, частично-поисковом и исследовательском (творческом) уровнях познавательной деятельности учащихся. В связи с этим в теории обучения выделяются три типа самостоятельной работы, адекватных трем уровням познавательной деятельности учащихся в процессе учения – репродуктивные, частично-поисковые (или поисковые) и исследовательские (творческие), причем ядром самостоятельной работы каждого типа является учебная задача, адекватная этому типу.
Изучение показывает, что репродуктивные самостоятельные работы имеют своей целью усвоение новых знаний по образцу, в результате чего у учащихся формируется определенный круг знаний и навыков, предусмотренных программой по изучаемой теме. Этот тип задач включает четыре вида самостоятельной работы (воспроизводящие, тренировочные, обзорные и проверочные), для которых характерна постановка учебных задач с дидактическими функциями, направленных на усвоение изученных знаний и образцов деятельности. Это задачи на прямое применение полученных знаний, на воспроизведение и закрепление знаний. Адекватным методом преподавания на репродуктивном уровне учебной деятельности является объяснительно-иллюстративный метод, который предполагает информативный характер передачи знаний учащимся. Формами реализации этого метода являются: рассказ, беседа, лекция, иллюстрация изучаемых явлений и процессов на конкретных примерах. Основная задача учителя при использовании данного метода состоит в том, чтобы разъяснить явление до уровня его понимания учащимися и добиться воспроизведения изученного. Конечно же степень самостоятельности учащихся низкая, так как при выполнении задачи этого типа учебная деятельность у них не связана с поиском решения проблемы. Однако ученик и в условиях репродуктивной деятельности проявляет определенный уровень самостоятельности и его активность направлена на осознанное усвоение учебного материала. Это позволяет в репродуктивных самостоятельных работах применять приемы распознавания изучаемых объектов и их структурной организации. Например, при решении текстовых алгебраических задач – приемы выделения основного отношения, приемы принятия учебной задачи.
Частично-поисковые самостоятельные работы выполняются учащимися на основе поиска преобразований имеющихся знаний и применения их к решению других задач. Следовательно, в ходе выполнения этих самостоятельных работ, учащиеся приобретают новые знания. Степень самостоятельности учащихся возрастает по сравнению с предыдущим типом самостоятельной работы Цель таких работ – организация поисковой деятельности учащихся – подготовка к творческой деятельности и переход от воспроизводящей деятельности к творческой. Для частично-поисковых самостоятельных работ адекватными будут учебные задачи с познавательными функциями (относительно той системы задач, в которую они входят). Задачи с познавательными функциями несут новую учебную информацию. В процессе поиска решения этих задач учащиеся приобретают новые знания, не содержащиеся в объяснительном тексте учебника. Задачи, несущие познавательные функции, являются объектом изучения, поэтому они должны быть основательно усвоены всеми учащимися, что возможно лишь при решении системы таких задач. Наблюдения показали, что эффективным средством выявления новых знаний являются приемы поиска решения учебных задач, к которым, например, относятся текстовые алгебраические задачи с переменной структурой. Приемы поиска решения задач широко могут использоваться в самостоятельных работах частично-поискового характера путем использования карточек с указанием стратегии поиска. Организация учебной деятельности учащихся с приемами поиска предварительно должна быть отработана в коллективных и групповых формах учебной деятельности.
Ряд педагогов-ученых, такие как Кабанова-Меллер Е.Н., Махмутов М.И., Абылкасымова А.Е., Кожабаев К.Н. исследовательские (творческие) самостоятельные работы имеют своей целью организации творческой деятельности учащихся, развитие их интереса и потребности к такой деятельности. Самым высоким уровнем познавательной деятельности является самостоятельное разрешение учебных проблем, составление задач. Здесь адекватными будут учебные задачи с развивающими функциями (относительно той системы задач, компонентами которой они являются). Задачи с развивающими функциями не являются объектами изучения. Они в основном предназначены для развития мышления учащихся, но должны быть связаны с изучаемым материалом и быть посильными для учащихся. Творческому характеру исследовательской деятельности адекватными являются информационно-поисковые методы обучения. В теории обучения выделяются три таких метода: проблемное изложение, информационно-эвристический и исследовательский. Исходя из того, что всякий поиск связан с осознанием и разрешением учебных проблем, можно утверждать, что проблемность лежит в основе всех методов, имеющих своей целью овладение знаниями и творческое развитие учащихся. Каждый из методов обеспечивает свой уровень самостоятельной поисковой деятельности. Разрешение осознанной учащимися учебной проблемы может осуществляться либо самим учителем, либо совместно учителем и учащимися, либо только учащимися в процессе их самостоятельной работы. В процессе учебной деятельности учащихся нельзя противопоставлять воспроизводящую и творческую деятельности. Как в репродуктивной деятельности имеются элементы творчества, так и репродуктивный характер деятельности пронизывает весь процесс познания нового, находясь в диалектическом единстве. Поисковая активность должна осуществляться на всех уровнях познавательной деятельности: репродуктивном, частично-поисковом и творческом, пронизывая весь процесс перехода обучения от репродуктивного до творческого уровня. При этом поисковая деятельность в своем развитии переходит в творческую активность. Отсюда следует необходимость на заключительных этапах овладения новыми знаниями осуществлять в обучении самостоятельные работы, содержащие учебные задания с дидактическими, познавательными и развивающими функциями.
Итак, вышесказанное позволяет сформулировать условия формирования приемов учебной деятельности при решении алгебраических задач в самостоятельной работе.
Тип самостоятельных работ должен соответствовать уровню познавательной деятельности учащихся.
В репродуктивных самостоятельных работах основное значение должно быть придано учебным задачам с дидактическими функциями.
В частично-поисковых самостоятельных работах доминирующую роль должны иметь учебные задачи с познавательными функциями.
В исследовательских самостоятельных работах должно быть придано доминирующее значение учебным задачам с развивающими функциями.
На заключительных этапах овладения новыми знаниями должны иметь место самостоятельные работы, включающие учебные задания с дидактическими, познавательными и развивающими функциями.
При решении алгебраических задач на составление уравнений как и при решении других задач могут быть получены различные стратегия поиска их решения, а так же и различные способы их решения. При сравнении различных способов решения задачи встаёт вопрос о более рациональном решении из найденных.
Обучение учащихся рациональным способам решения алгебраических задач связано сложностью таких задач.
Во всех этих исследованиях внутренняя структура задачи, как объективная характеристика, не исследуется. В связи с этим сложность и трудность задачи определяются, как правило, через процесс её решения. Это не позволяет выявить закономерные взаимосвязи между сложностью (трудностью) задачи и сложностью (трудностью) процесса её решения, а также между сложностью и трудностью задачи.
Трудность задачи есть психолого-дидактическая категория и представляет собой совокупность многих факторов, зависящих от особенностей личности таких как степень ее новизны, интеллектуальные возможности учащегося, его потребности и интересы, опыт решения задач, уровень владения интеллектуальными и практическими умениями и др. Однако, основными компонентами трудности задач:; как объекта является степень ее проблемности и сложности.
Сложность задачи является объективной характеристикой не зависящей от субъекта, она определяется внутренней структурой задачи.
Сложность алгебраической задачи определяется ее структурой, которая выявляется с помощью соответствующего приёма. Он состоит в следующем:
1. Выполнить анализ задачи, указав:
а) название величин содержащихся в задаче;
б) основное отношение, реализованное в задаче;
в) количество задачных ситуаций (элементов), имеющихся в задаче;
г) известные и неизвестные величины в каждой задачкой ситуации;
д) связь между соответствующими неизвестными величинами;
е) искомую величину.
2. Оформить (с учетом основного отношения и числа задачных ситуаций-элементов) табличную запись данных и неизвестных величин в каждой задачной ситуации и сравнить между собой соответствующие значения неизвестных величин, используя знаки равенства, неравенства, арифметических действий.
3. Построить таблицу (модель) поиска решения задачи, для этого:
а) записать обозначение искомой или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной стратегии поиска решения задачи;
б) записать выражения, используя зависимости между значениями соответствующих неизвестных величин (убрав при этом знаки равенств и неравенств) и основное отношение, реализованное в задаче;
в) на основе анализа взаимосвязи задачных ситуаций выявить внутреннюю структуру задачи и определить её сложность.
4. Выписать пользуясь моделью поиска полученное уравнение или неравенство, являющееся основной для получения уравнения.
5. В последнем случае, используя выписанное неравенство, составить уравнение.
7. Поиск решения задачи закончить и перейти к решению полученного уравнения.
Как известно, поиск решения складывается из нескольких этапов, среди которых особенно важны два следующих:
1) На первом этапе ученик анализирует задание по принятию решения, устанавливает совокупность действий, описывает параметры и переменные, которые участвуют в них. Это позволяет установить тип задания. С его помощью исследователь может понять какой характер имеет задание: детерминистский (при котором каждая альтернатива приводит к однозначно определенным результатам) или вероятностный (в котором участвуют случайные переменные с известными вероятностями распределения). Познание структуры задания имеет основное значение, т.к. от него зависят дальнейшие этапы работы.
2) На втором этапе ученик формулирует рациональное решение. Метод решения зависит только от структуры задания.
Известный методист-математик А.А. Мазаник отмечает, что невозможно дать логически строгое определение наиболее рационального решения без сравнения с некоторым другим решением по следующим причинам: при сравнении нескольких решений необходимо учитывать объём знаний, применяемых при решении этой задачи, при расширении объёма знаний возможно появление новых, нередко более простых решений; решение многих задач состоит не только из вычислений, но включает ещё необходимые пояснения и обоснования. Может оказаться, что вычисления при одном способе решения проще, но обоснования и пояснения сложнее, чем при другом; следует учитывать доступность для учащихся «рационального» способа; нужно учитывать и время, понадобившееся на отыскание «рационального» способа; отсутствие универсального алгоритма, овладение которым позволило бы найти рациональный способ решения любой задачи.
Решение одной задачи несколькими способами, даже без оценки их с точки зрения рациональности, имеет большее значение для математического развития учащихся, чем решения многих задач, но одним и тем же способом.
Рассмотрим вопрос о выборе неизвестных при решении текстовых алгебраических задач на составление уравнений. При решении текстовых алгебраических задач составлением уравнений многие считают, что за неизвестное удобно обозначать искомую величину. И это отрабатывается на протяжении всех лет обучения с 5 по 9 класс. Однако, встречается ряд задач, когда при определённой стратегии поиска ее решения обозначение искомой величины не даёт желаемого результата, и ученики, не подготовленные к решению «нерациональным» способом не справляются с ними.
Многие текстовые алгебраические задачи могут быть решены как составлением одного уравнения с одним неизвестным, так и составлением системы уравнений с несколькими неизвестными. В большинстве случаев последнее решение проще, чем первое, но решение системы уравнений может оказаться сложнее, чем решение уравнения.
Таким образом, всё вышесказанное приводит нас к выводу о том, что в общем виде нельзя дать строгого определения наиболее рационального решения, которое можно было бы применить в качестве критерия при оценке простоты решения. Поэтому понятие рациональности решения следует раскрывать перед учащимися, посредством разбора как можно большего числа конкретных примеров.
Источник
