Презентация «Рациональные способы вычислений и их значение в начальном образовании».
презентация к уроку по математике (2, 3, 4 класс)
Одной из важнейших задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительных навыков, основу которых составляет осознанное и прочное усвоение приёмов устных и письменных вычислений.
В школьной практике мы постоянно сталкиваемся с тем, что ребенок использует привычные, во многом навязанные ему способы решения. Так, например, некоторые дети, после того как изучены приемы письменных вычислений, начинают применять эти способы и при устном решении примеров. Это заставляет задуматься, что же побуждает детей обращаться к такому нерациональному приему решения? Вероятно, стремление действовать в соответствии с определенными алгоритмами, избегая при этом активных усилий мысли.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Презентация «Рациональные способы вычислений и их значение в начальном образовании». | 1.45 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Рациональные способы вычислений Автор: Шакула А.С. Учитель начальных классов МАОУ лицея №64 г .Краснодар
Одной из важнейших задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительных навыков, основу которых составляет осознанное и прочное усвоение приёмов устных и письменных вычислений. Формирование вычислительных умений и навыков – сложный длительный процесс, его эффективность во многом зависит от организации вычислительной деятельности. Вычислительная культура является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин. Её основы закладываются в начальной школе . Характеристики вычислительного навыка: Осознанность Правильность Рациональность Обобщенность Автоматизм прочность 2
Остановимся более подробно на таком качестве вычислительного навыка как рациональность , которая напрямую связана с вариативностью . Рациональность вычислений – это выбор тех вычислительных операций из возможных, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Применение свойств арифметических действий позволяет учителю воспитывать интерес к математике, вызвать у детей желание научиться вычислять наиболее быстрыми и удобными способами. Знакомство с рационализацией вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Такой подход позволит поддерживать стремление к использованию математических знаний в повседневной жизни.
Основные способы рациональных вычислений .
Изучение всех вычислительных приёмов, как устных, так и письменных будет успешным, если ребёнок прочно овладел знаниями таблиц сложения и умножения. Добиться прочного запоминания учащимися таблиц сложения и умножения однозначных чисел – одна из основных задач начального обучения. Существует очень много способов по запоминанию таблиц сложения и умножения.
Способы запоминания таблицы умножения . Таблица Пифагора
Общие приемы устного счета могут быть применимы к любым числам. Они основываются на свойствах десятичной формы записи числа и применения законов и свойств арифметических действий. При сложении двух и более чисел часто используются такие приёмы: Разложение каждого слагаемого на разряды – единицы, десятки, сотни, тысячи, сотни тысяч и т.д. Использование сочетательного и переместительного свойств . Выполнить сложение каждой из полученных групп. Пример : Требуется сложить 28, 47, 32, и 13. Пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды – десятки и единицы. 28=20+8 47=40+7 32=30+2 13=10+3 Воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами: 20+30+8+2+40+10+7+3 – (переместительный закон) ( 20+30)+(8+2)+( 40+0 )+(7+3) – (сочетательный закон) Выполняем сложение каждой группы 50+10+50+10 50+50+10+10 (переместительный закон) 100+10+10=120 (выполняем сложение)
Очень эффективный и часто употребляемый прием устного счета. Этот прием можно использовать во всех четырех арифметических действиях. Прием заключается в следующем : К одному из слагаемых ( уменьшаемому, вычитаемому, множителю, делимому, делителю) добавляем столько единиц, сколько не хватает до нужного нам «круглого числа ». Затем из результата вычитаем столько же единиц, сколько прибавляли . Примеры : 399+473=400+473=873 – 1=872 (399 округляем до 400, т.е. прибавляем 1, а затем из результата вычитаем 1 ) 399+473=(399+1)+(473-1)= 400+472=872 56-38=(56+4-38)-4=(60-38)-4=22-4=18 (если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность необходимо увеличить на соответствующее количество единиц) 72-15 =((72-2)-15)+2=(70-15)+2=57 (если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшается на соответствующее количество единиц. Следовательно, это количество надо прибавить ) 752-298=(752-(298+2))+2=(752-300)+2=452+2=454 (если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшаются на соответствующее количество единиц. Чтобы этого не произошло к полученному результату необходимо прибавить вычтенное число ) 93-22=(93-(22-2))-2=(93-20)-2=73-2=71 Приём округления
Чтобы любое число умножить на 5 , достаточно разделить его на 2 и умножить на 10 (т.к. 5-половина 10) 124 х 5 = 124 : 2 х 10 = 620 Чтобы умножить на 50 , достаточно число разделить на 2 и умножить на 100 ( т.к 50 –половина 100). 36 х 50 = 36 : 2 х 100 = 1800 Чтобы умножить на 25, достаточно число разделить на 4 и умножить на 100 (т.к. 25- четвёртая часть от 100) или наоборот. Если в остатке получится1, то вместо двух нулей поставим 25, если в остатке 2, то – 50,если 3, то – 75. 14 х 25 = 14 : 4 = 3(ост.2), значит 300 + 50 = 350 Чтобы умножить на 125, достаточно число разделить на 8 и умножить на1000(т.к. 125 – восьмая часть от1000) 48 х 125 = 48 : 8 х 1000 = 6000 Устные приёмы умножения
Нестандартные способы умножения и деления 3.1 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10. 53 • 11 = 583 Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8 Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами данного двузначного числа: 583. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше или равна 10. 86 • 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946. 3.2 Умножение чисел на 111 ,1111 , 11111 и т. д. Кто знает, как умножать на 11, может легко умножать на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д. Примеры : 32 • 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552; 52 • 1111 = 5 (5+2) (5+2) (5+2) 2 = 57 772. Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми числами. 42 • 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. Раздвинуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д. Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10. Пример : 86 • 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546. В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546. 76 • 1 111 111 = 7(13)(13)(13)(13)(13)(13)6 = (7+1)(3+1)(3+1)(3+1) (3+1) (3+1)36 = 84444436
Некоторые способы вычислений могут показаться сложными, но при правильной организации работы на уроке и внеклассных занятиях учащиеся осваивают их и с удовольствием используют в вычислительной деятельности. Привычка выполнять подобные вычисления устно формирует устойчивый навык, который не раз сыграет добрую службу при изучении более сложного материала. Овладение некоторыми приемами тождественных преобразований и рациональных вычислений готовит детей к успешному изучению математики в средней школе, а кроме того, перед учениками открывается совсем другая математика: живая, полезная и понятная. И очень жаль, если непонимание математических связей начинается в начальной школе. Как правило, к сожалению, такие дети не могут предложить нестандартное решение. Им трудно объяснить свой выбор, потому что они бояться ошибиться .
Источник
Презентация на тему: Рациональные способы вычислений
Формирование вычислительных навыков. Рациональные способы вычислений. Автор: Карпенко Л.П., учитель школы 175 г.Зеленогорск 9.01.2009г.
Что мы знаем о способах?
Одной из важнейших задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительных навыков, основу которых составляет осознанное и прочное усвоение приёмов устных и письменных вычислений.Вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, являясь фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин. Её основы закладываются в начальной школе.
Остановимся более подробно на таком качестве вычислительного навыка как рациональность, которая напрямую связана с вариативностью. Рациональность вычислений – это выбор тех вычислительных операций из возможных. «выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия».Знакомство с рационализацией вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Применение свойств арифметических действий позволяет учителю воспитывать интерес к математике, вызвать у детей желание научиться вычислять наиболее быстрыми и удобными способами. Такой подход позволит поддерживать стремление к использованию математических знаний в повседневной жизни.Остановлюсь на некоторых из способов вычислений, которые используются на уроках и таких, которые, посильны учащимся , но не всегда используются.
Рациональные способы вычислений
В основе всех вычислительных приёмов, как устных, так и письменных , лежит твёрдое знание таблиц сложения и умножения. Добиться прочного запоминания учащимися таблиц сложения и умножения однозначных чисел – одна из основных задач начального обучения. Закрепить состав десятка помогают простые пособия:«Числа, бегущие навстречу друг другу»;Счётное пособие –абак.
Учись считать с помощью простой линейки или полосок с числами двигая их относительно друг друга.
Таблица сложения и вычитания. Таблицаумножения и деления.
Табличное деление и умножение
Совершенствование навыков устных вычислений зависит не только от методики организации урока, но и во многом от того, насколько дети проявляют интерес к предложенным знаниям. Этот интерес можно вызвать и разнообразными учебными пособиями:На уроках математики, по теме «Сложение однозначных чисел с переходами через десяток», старые счеты превратила в практическое пособие для детей (на толстую проволоку поместила 10 косточек одного цвета и 10 другого. Дети четко видят десяток.
Мы сами составили таблицу таким образом, что включили в неё все случаи, где ответ (сумма) будет двузначным числом. Сделали заготовку для ответов (заготовили место для каждой из двух цифр).
После практической деятельности по прибавлению к 9 любого однозначного числа, дети пришли к выводу: «Чтобы к 9 прибавить любое однозначное число достаточно от этого числа отнять 1 и к полученному десятку прибавить остаток». Важно, что ребенок сам осознал, что в ответе число единиц получается на один меньше того числа, которое прибавляешь. Дети испытывают радость открытия, общения друг с другом, радость взаимопонимания.Новый прием развивает воображение, логическое мышление, умение рассуждать.Этот же принцип действует при сложении 8,7,6 с любым однозначным числом.На этом пособии удобно прийти к выводу о вычитании из любого двузначного числа (меньше 20)- 9,8,7,6.
Например: 14 – 9 достаточно к единицам прибавить 1 (4+1). Значит 14 – 9 =514 – 8 достаточно к единицам прибавить 2 (4+2). Значит 14 — 8= 6.Так дети легче запоминают таблицу сложения и вычитания.Чтобы превратить знакомство с таблицей умножения в увлекательное занятие, где ребенок не только исполнитель, но и автор, использую следующий прием. Начинаем с составления подробнейшего анализа таблицы умножения на 9.
ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ на 91)Определение количества цифр в произведениях от 9х2 до 9х9.«Прикидка» — во всех произведениях будет по 2 цифры.Делается заготовка: 9 х 2 = . . . . . 9 х 9 = . .2)Используя несколько способов нахождения произведения: через сумму одинаковых слагаемых, через предыдущее произведение, через представление 9 как 10 – 1, заполняют заготовленные для цифр места.3)Дети усматривают связь между произведениями: число десятков от произведения к произведению увеличивается на единицу, в то время как число единиц уменьшается: 10 9 х 4 = 36 9 х 2 = 18 9 +1 -1 . . . . . . . 9 х 3 = 27 9 х 9 = 81Обнаруживают, что сумма цифр произведения при этом равна 9, позже это открытие превращается в признак делимости.
На следующем этапе они начинают исследовать связь между множителем (отличным от 9) и цифрой десятков, а затем цифрой единиц.Замечают следующее: число десятков всегда на 1 меньше множителя, т.е. при умножении 9 на 7 в разряде десятков будет 6. 9 х 7 = 63 9 х 8 = 72 -1 -1А число в разряде единиц дополняет множитель до 10 10 10 9 х 7 = 63 9 х 8 = 72 9 9(или число десятков до девяти ).
Вывод: чтобы 9 умножить на однозначное число, достаточно от этого числа отнять один и получить десятки, а от 9 отнять количество десятков- получим единицы.Знакомлю детей также с пальцевым счетом. Располагаем две руки рядом, ладонями к себе. Например: 9×3- загибаем третий палец слева, до согнутого пальца 2 — это десятки, 7 — единицы — получили 27.
Устные приёмы умножения.Чтобы любое число умножить на 5,достаточно разделить его на 2 и умножить на 10 (т.к. 5-половина 10) 124 х 5 = 124 : 2 х 10 = 620Чтобы умножить на 50,достаточно число разделить на 2 и умножить на 100 (т.к 50 –половина 100).36 х 50 = 36 : 2 х 100 = 1800Чтобы умножить на 25, достаточно число разделить на 4 и умножить на 100 (т.к. 25- четвёртая часть от 100) или наоборот. Если в остатке получится1, то вместо двух нулей поставим 25, если в остатке 2, то – 50,если 3, то – 75.14 х 25 = 14 : 4 = 3(ост.2), значит 300 + 50 = 350Чтобы умножить на 125, достаточно число разделить на 8 и умножить на1000(т.к. 125 – восьмая часть от1000)48 х 125 = 48 : 8 х 1000 = 6000
Чтобы перемножить два одинаковых числа, оканчивающихся на 5, достаточно к первой цифре одного из множителей прибавить 1. Получившееся число умножить на первую цифру второго множителя. Получим число сотен и припишем справа число 25.75 х 75 = 5625 35 х 35 = 1225 +1 +1—————- ———— 8 4Чтобы умножить на 11, можно умножить на10 и прибавить это же число.23 х 11 = 23 х 10 + 23 =253Или: записать последнюю цифру числа в конце произведения, затем сумму последней и предыдущей (и т.д., если цифр в числе несколько), а затем первую цифру числа.23 х 11 = 2(2+3)3 = 253243 х 11 = 2(2+4)(4+3)3 =26732543 х11 = 2(2+5)(5+4)(4+3)3 = 27973
Умножение на 9, 99, 999Чтобы умножить число на 9,( 99, 999)достаточно умножить его на 10 (100, 1000) и отнять это же число.57 х 9 = 57 х 10 – 57 = 570 – 57 = 51368 х 99 = 68 х (100 – 1) =68 х 100 – 68 = 6800 – 68 = 673247 х 999 = 47 х (1000 – 1) = 47 х 1000 – 47=47000 – 47 = 46953Но ещё проще ознакомить детей с правилом – « чтобы умножить число на 9 (99, 999) достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (дополнение до 100 (1000) числа, образованного двумя (тремя) последними цифрами этого числа):154 х 9 = (154 – 16) х 10 + (10 – 4) = 138 х 10 + 6 = 1380 + 6 = 1386
Умножение на 15, 150При умножении на 15,если число нечётное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения:23 х 15 = 23 х ( 10 + 5 ) = 230 + 115 = 345;Если же число чётное , то поступаем ещё проще – к числу прибавляем его половину и результат умножаем на 10:18 х 15 =( 18 + 9) х 10 = 17 х 10 = 270При умножении числа на 150 пользуемся тем же приёмом и умножаем результат на 10, т.к. 150 = 15 х 10:24 х 150 = ( (24 + 12) х 10 ) х 10= (36 х 10) х 10 = 3600Интересно, что 7 х 11 х 13 = 1001 (число Шехерезады) 7 х 143 = 1001 11 х 91 = 1001 77 х 13 = 1001
Признаки делимости.: на 2 – чётные числа, круглые.: на 3 – сумма цифр которых делится на 3.: на 4 – две последние цифры составляют число, которое делится на 4 и числа, у которых два нуля на конце.: на 5 числа, у которых на конце 5 или 0.: на 6 числа, которые делятся и на 2 и на 3.: на 8 числа, в записи которых три последние цифры образуют число ,делящееся на8.: на 9 числа, сумма цифр которых делится на 9.: на 10 числа, которые оканчиваются на 0.: на 11 числа, если из суммы цифр, стоящих на нечётных местах вычесть сумму цифр на чётных местах получится 0 или число кратное 11. 87635064 8+6+5+6=25 7+3+0+4=14 25-14=11,значит всё число делится.
Для малых чисел: число справа налево делят по 2 цифры и складывают. Если сумма делится на11, то всё число делится.528 5 + 28 =33, значит делится.: на12 числа, которые делятся и на 4, и на 3.: на14 числа, которые делятся и на 7, и на 2.: на 15 числа, которые делятся и на 3, и на 5.
Рационализация вычислений:1) за счёт тождественного преобразования:7584 : 6 -1584 : 6 = (7584 – 1584) : 61476 + 65 + 24 + 35 = ( 1476 +24) + (65 +35)=2) за счёт возможности не выполнять некоторые арифметические действия:104482 : 6 – 104482 : 6 = 0(75840 : 20) х 20 = 75840Свойства арифметических действий и конкретный смысл умножения1) 120: ( 5 х 3) = 120 : 5 : 32) 630: 2 : 5 = 630 : (2 х 5)3) 57 х 9 + 57 =57 х (9 + 1)4) 4 х 35 х 25 х 2 = (4 х 25) х (35 х 2)
5300 : 2 : 5 = 5300 : (2 х 5)Выполнять меньшее количество действий30452 х 3 х 2 =30452 х (3 х 2)6532 х 3 + 3645 х 3 = (6532 + 3645) х 3Проще вычислять70 : 2 + 80 : 2 = (70 + 80) : 2Связь результатов и компонентов действий(91010 – 57654) + 57654 = 91010 –увеличили и уменьшили на столько жеКонкретный смысл выполнения вычитания и деления над одинаковыми компонентамиа – а = 0 а : а = 0(304 + 629) – (304 + 629) = 0 -одинаковые суммыУмножение на нуль , случаи умножения и деления 0.а х 0 = 0 0 х а = 0 0 : а = 0283 х (4704 — 676) х 0 = 0
Представление некоторых одинаковых чисел одинаковыми выражениями(12004 – 4 х 19 ) + 4 х 19 = 12004Представление нуля или одного из одинаковых чисел выражением:( 12004 – 4 х 19 ) + 17= (12004 – 76 ) + 76 = 12004( 100 – 99 – 1) х (1723 – 23 х 13) = 0 х (1723 – 23 х 17) = 0Возможность применения знаний не ко всему выражению, а к его части:2380 + 2527 : 7 + 273 : 7 = 2380 + (2527 + 273) : 7 = 2380 + 2800 : 7 ==2380 + 400 = 2780Возможность применять одновременно несколько знаний к разным частям выражения:5 х 23 х 2 + 98 + 102 = (5 х 2) Х 23 + (98 + 102) = 230 + 200 = 430783 х 4 + 783 х 6 – 703 х 8 х 0 = 783 х ( 4 + 6) – 0 = 7830Возможность применения к одному выражению нескольких знаний – одного после другого.5 х ( 300 + 65) – 5 х 65 =5 х 300 + 5 х 65 – 5 х 65 = 5 х 300 =150065277 : 3 : 3 – 65277 : 9 =65277 : ( 3 х 3) – 65277 : 9 = 65277 : 9 -65277 : 9 = 0
Приём замены множителя разностьюПриём замены второго множителя, если этот множитель на 1-2единицы меньше двузначного или трёхзначного разрядного числа:68 х 5 = (70 -2) х 5 = 70 х 5 – 2 х 5 = 350 -10 = 340599 х 8 = (600- 1) х 8 =600 х 8 – 8 = 4800 – 8 = 4792Приём замены множителя произведением:35 х 6= 35 х ( 2 х 3) = (35 х 2) х 3 = 70 х 3 = 210125 х 48 = 125 х (8 х 6) = ( 125 х 8) х 6 = 1000 х 6 = 6000
Умножение двузначных чисел.Основой умножения двузначных чисел является правило умножения суммы на число. 18 х 16 . Сначала число 18 представим в виде «суммы удобных (разрядных) слагаемых ,затем используем распределительный закон умножения относительно сложения:18 х 16 =(10 + 8) х 16=10 х 16 + 8 х 16 = 160 + 128 = 288Устно можно проще: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел:18 х 16 = (18 + 6) х 10 + 8 х 6 = 240 + 48 =288Таким способом можно умножать двузначные числа , меньше 20, а также числа ,в которых одинаковое количество десятков:23 х 24 = (23 + 4) х 20 + 4 х 3 = 27 х 20 + 12 =540 + 12 = 562
Приём округления, основанный на изменении результата вычисления при изменении одного или нескольких компонентов.1. Сложение. Для нахождения значения суммы используется приём округления одного или нескольких слагаемых.При увеличении (уменьшении) слагаемого на несколько единиц, сумму уменьшаем (увеличиваем) соответственно на столько же единиц:324 + 48 = 324 + (48 + 2) – 2= (324 + 50) -2 = 374– 2 = 372 или324 + 48 = (320+ 50) + 4 – 2 = 370 + 4 – 2 = 3722. Вычитание. 1) при увеличении (уменьшении) уменьшаемого на несколько единиц разность уменьшаем (увеличиваем) на столько же единиц:497 – 36 = (500 – 36) – 3 =464 – 3=461;2) при увеличении (уменьшении) вычитаемого на несколько единиц разность увеличиваем (уменьшаем) на столько же единиц:534 – 98 = (534 – 100) + 2 = 434 + 2 = 436
3)При увеличении ( уменьшении) уменьшаемого и вычитаемого на несколько единиц разность не изменяется:231 – 96 = (231 + 4) – (96 +4) = 235 – 100 = 1353. Умножение.При увеличении ( уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем).97 х 6 = (100 – 3 ) х 6 = 100 х 6 – 3 х 6 = 600 – 18 = 582
Некоторые способы вычислений могут показаться сложными, но при правильной организации работы на уроке и внеклассных занятиях учащиеся осваивают их и с удовольствием используют в вычислительной деятельности. Привычка выполнять подобные вычисления устно формирует устойчивый навык, который не раз сыграет добрую службу при изучении более сложного материала. Вариативность вычислительных навыков учащихся формирует интерес, положительную мотивацию к вычислительной деятельности, даёт возможность знакомить школьников с известными вычислительными секретами, показать практическую значимость математики, тогда перед детьми откроется совсем другая математика – живая, полезная и понятная.
Ведь уроки математики должны учить считать, тренировать мышление ,разум, волю. И тогда наши ученики будут способными, уверенными и культурными. Ведь своя голова надёжней, чем самые современные вычислительные средства.
Источник
