Рациональные способы сложения дробей

Сложение рациональных чисел, правила и примеры.

Сложение рациональных чисел происходит по правилам сложения дробей. В этой теме рассмотрим подробно как складывать положительные и отрицательные рациональные числа, а также рациональные числа с одинаковыми и разными знаменателями.

Тема. Сложение рациональных чисел с одинаковыми знаменателями.

Определение:
Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями, есть дробь с тем же знаменателем и суммой их числителей.

Правила сложения рациональных чисел.

1. Если у дробей одинаковый знаменатель, записываем его в знаменатель итоговой дроби.
2. Числители складываем по правилам сложения и результат записываем в числитель итоговой дроби.
3. Если требуется итоговую дробь сокращаем и преобразовываем.

Пример:
Выполните сложение рациональных чисел с одинаковыми знаменателями: а) \(\frac<-3><4>+\frac<1><4>\) б) \(\frac<-6><13>+\frac<-2><13>\) в) \(\frac<17><47>+\frac<12><47>\) г) \(\frac<32><15>+\frac<-12><15>\)

Решение:
а) Так как знаменатели у дробей одинаковые, записываем знаменатель тот же. Числители складываем по правилу сложения целых чисел. Итоговую дробь \(\frac<-2><4>\) сокращаем на 2.

Урок. Сложение рациональных чисел с разными знаменателями.

Определение:
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями необходимо сначала найти общий знаменатель, а потом сложить их числители.

Формула сложение рациональных чисел с разными знаменателями:

Алгоритм действия при сложении рациональных чисел с разными знаменателями.

1. Найти общий знаменатель. (Как находить общий знаменатель можете узнать, нажав на ссылку)
2. Найти сумму дробей по правилам сложения рациональных чисел с одинаковыми знаменателями.

Пример:
Выполните сложение рациональных чисел с разными знаменателями: а) \(\frac<-4><7>+\frac<5><8>\) б) \(\frac<-3><11>+\frac<-7><22>\) в) \(\frac<11><15>+\frac<9><25>\) г) \(\frac<8><3>+\frac<-1><13>\)

Решение:
а) Дроби \(\frac<-4><7>+\frac<5><8>\) имеют разные знаменатели, поэтому нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен 56, поэтому первую дробь \(\frac<-4><7>\) умножаем на 8, а вторую дробь \(\frac<5><8>\) на 7

б) Так как у дробей разные знаменатели, находим общий знаменатель. Общий знаменатель равен 22.

в) У дробей \(\frac<11><15>\) и \(\frac<9><25>\) разные знаменатели. Находим общий знаменатель, он равен 75. Первую дробь умножаем на 5, а вторую дробь умножаем на 3.

г) Общий знаменатель этих дробей \(\frac<8><3>\) и \(\frac<-1><13>\) равен 39.

Сложение противоположных рациональных чисел.

Правило сложения противоположных рациональных чисел.
Результатом сложения противоположных рациональных чисел будет нуль.

Пример:
Выполните сложение дробей \(\frac<-5><18>+\frac<5><18>\) .

Сложение положительных рациональных чисел.

Сложение положительных рациональных чисел сводится к сложение обыкновенных дробей. Может быть два варианта:

1. Если у положительных рациональных чисел разные знаменатели, то ищем общий знаменатель.
2. Если у положительных рациональных чисел одинаковые знаменатели, то переходим к сложению числителей, а знаменатель переписываем.

Примеры:
Выполните сложение положительных рациональных дробей: а) \(\frac<4><15>+\frac<7><15>\) б) \(\frac<3><8>+\frac<5><12>\).

б) У дробей разные знаменатели нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель равен 24.

Сложение отрицательных рациональных чисел.

Складываем отрицательные рациональные числа по этим правилам:

1. Если знаменатели разные, то приводим к общему знаменателю.
2. Если знаменатели одинаковые складываем числители по правилу сложения отрицательных целых чисел.

Пример:
Сложите отрицательные рациональные числа: а) \(-\frac<13><19>+(-\frac<1><19>)\) б) \(-\frac<1><49>+(-\frac<5><14>)\).

б) Для начала найдем общий знаменатель. Общий знаменатель у дробей равен 98.

Сложение рациональных чисел с разными знаками, примеры.

1. Если у дробей разные знаменатели, нужно привести их к общему знаменателю.
2. Если у дробей одинаковые знаменатели, нужно в итоговую дробь переписать знаменатель, а числители сложить по правилам сложения целых чисел с разными знаками.

Пример:
Выполните сложение рациональных чисел с разными знаками: а) \(-\frac<2><5>+\frac<1><5>\) б) \(\frac<1><27>+(-\frac<5><9>)\)

Решение:
а) У дробей общий знаменатель, переходим к сложению числителей. Определим какой знак будет в результате. Для этого посмотри модуль какого числа больше |-2|=2 и |1|=1. Получаем 2>1, то есть модуль отрицательного числа больше модуля положительного, поэтому в ответе будет стоять знак минус. Если сказать проще, у нас два минуса и один плюс. Минусов больше поэтому в результате поставим знак минус.

б) Сначала приведем к общему знаменателю, он равен 27, а потом сложим числители. Определим знак ответа. Найдем модули чисел |-15|=15 и |1|=1. Модуль отрицательного числа больше положительного 15>1, поэтому в ответе будет знак минус.

Источник

Математика. 6 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

• правила сложения рациональных чисел с одинаковыми знаками, разными знаками;
• свойства сложения рациональных чисел, свойство нуля при сложении.

Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями есть дробь с тем же знаменателем и суммой их числителей.

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, необходимо сначала привести их к общему положительному знаменателю, а потом сложить числители получившихся дробей.

Сумма противоположных дробей равна нулю.

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Продолжаем изучать тему «Рациональные числа». Сегодня узнаем правила, с помощью которых мы будем складывать дроби любого знака.

Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями есть дробь с тем же знаменателем и суммой их числителей.

Правила сложения рациональных чисел, записанных в виде дробей.

1. Если у дробей общий знаменатель, записываем его в знаменатель результата.
2. Числители складываем по правилам сложения целых чисел и записываем в числитель результата.

Если требуется, результат сокращаем и преобразовываем в смешанную дробь.

Выполните сложение рациональных чисел, записанных в виде дробей с одинаковыми знаменателями.

Так как знаменатели у дробей одинаковые, записываем знаменатель тот же. Числители складываем по правилу сложения целых чисел с разными знаками. Результат сокращаем на два.

Выполните сложение рациональных чисел, записанных в виде дробей с одинаковыми знаменателями.

Так как знаменатели у дробей одинаковые, записываем знаменатель тот же. Числители складываем по правилу сложения целых отрицательных чисел.

Сложение рациональных чисел, записанных в виде дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями необходимо сначала привести их к общему положительному знаменателю, а потом сложить их числители.

Алгоритм действия при сложении рациональных чисел, записанных в виде дробей с разными знаменателями:

найти общий положительный знаменатель;

найти сумму дробей по правилам сложения рациональных чисел, записанных в виде дробей с одинаковыми знаменателями.

Допустим, у нас есть две дроби с разными знаменателями. Необходимо, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Используем основное свойство дроби.

Дробь не изменится, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же число.

Значит, если правильно подобрать множители, то знаменатели уравняются. Этот процесс называется приведением к общему знаменателю. А числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями.

Рассмотрим способы нахождения чисел, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными.

Самый простой способ: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, вторую — на знаменатель первой дроби. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей.

При этом способе нахождения общего знаменателя могут получиться большие числа.

Этот способ используется в случае, если знаменатели дробей – взаимно простые числа.

Метод общих делителей

Этот приём помогает сократить вычисления.

Метод заключается в следующем:

если больший знаменатель делится на меньший, то число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем; дробь с большим знаменателем остаётся прежней.

Метод наименьшего общего кратного

Наименьший общий положительный знаменатель – это наименьшее положительное число кратное знаменателям данных дробей.

Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему положительному знаменателю:

1. разложить на простые множители знаменатели дробей;
2. найти наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей данных дробей;
3. Привести дроби к общему положительному знаменателю, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующие дробям дополнительные множители.

Найдём сумму дробей

ко второй дроби

Сложение противоположных рациональных чисел

Правило сложения противоположных рациональных чисел:

результатом сложения противоположных рациональных чисел будет ноль.

Выполним сложение дробей.

Найдём, сколько Кощей израсходовал сам за второй век.

Дроби с разными знаменателями. Общий знаменатель 10, тогда дополнительный множитель к первой дроби 2. Перемножим и получим:

Перемножим и получим:

Общий знаменатель 8. Дополнительный множитель к первой дроби 4.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

Какие действия изображены?

сложение дробей с нулём

сложение дробей с разными знаменателями

сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Для выполнения задания обратимся к теоретическому материалу урока.

№ 2. Вставьте в текст нужные слова.

Сумма … дробей равна нулю.

Варианты слов для вставки:

положительных и отрицательных

Для выполнения задания обратимся к теоретическому материалу урока.

Сумма противоположных дробей равна нулю.

Источник

Математика. 6 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

• правила сложения рациональных чисел с одинаковыми знаками, разными знаками;
• свойства сложения рациональных чисел, свойство нуля при сложении.

Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями есть дробь с тем же знаменателем и суммой их числителей.

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, необходимо сначала привести их к общему положительному знаменателю, а потом сложить числители получившихся дробей.

Сумма противоположных дробей равна нулю.

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Продолжаем изучать тему «Рациональные числа». Сегодня узнаем правила, с помощью которых мы будем складывать дроби любого знака.

Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями есть дробь с тем же знаменателем и суммой их числителей.

Правила сложения рациональных чисел, записанных в виде дробей.

1. Если у дробей общий знаменатель, записываем его в знаменатель результата.
2. Числители складываем по правилам сложения целых чисел и записываем в числитель результата.

Если требуется, результат сокращаем и преобразовываем в смешанную дробь.

Выполните сложение рациональных чисел, записанных в виде дробей с одинаковыми знаменателями.

Так как знаменатели у дробей одинаковые, записываем знаменатель тот же. Числители складываем по правилу сложения целых чисел с разными знаками. Результат сокращаем на два.

Выполните сложение рациональных чисел, записанных в виде дробей с одинаковыми знаменателями.

Так как знаменатели у дробей одинаковые, записываем знаменатель тот же. Числители складываем по правилу сложения целых отрицательных чисел.

Сложение рациональных чисел, записанных в виде дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями необходимо сначала привести их к общему положительному знаменателю, а потом сложить их числители.

Алгоритм действия при сложении рациональных чисел, записанных в виде дробей с разными знаменателями:

найти общий положительный знаменатель;

найти сумму дробей по правилам сложения рациональных чисел, записанных в виде дробей с одинаковыми знаменателями.

Допустим, у нас есть две дроби с разными знаменателями. Необходимо, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Используем основное свойство дроби.

Дробь не изменится, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же число.

Значит, если правильно подобрать множители, то знаменатели уравняются. Этот процесс называется приведением к общему знаменателю. А числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями.

Рассмотрим способы нахождения чисел, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными.

Самый простой способ: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, вторую — на знаменатель первой дроби. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей.

При этом способе нахождения общего знаменателя могут получиться большие числа.

Этот способ используется в случае, если знаменатели дробей – взаимно простые числа.

Метод общих делителей

Этот приём помогает сократить вычисления.

Метод заключается в следующем:

если больший знаменатель делится на меньший, то число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем; дробь с большим знаменателем остаётся прежней.

Метод наименьшего общего кратного

Наименьший общий положительный знаменатель – это наименьшее положительное число кратное знаменателям данных дробей.

Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему положительному знаменателю:

1. разложить на простые множители знаменатели дробей;
2. найти наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей данных дробей;
3. Привести дроби к общему положительному знаменателю, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующие дробям дополнительные множители.

Найдём сумму дробей

ко второй дроби

Сложение противоположных рациональных чисел

Правило сложения противоположных рациональных чисел:

результатом сложения противоположных рациональных чисел будет ноль.

Выполним сложение дробей.

Найдём, сколько Кощей израсходовал сам за второй век.

Дроби с разными знаменателями. Общий знаменатель 10, тогда дополнительный множитель к первой дроби 2. Перемножим и получим:

Перемножим и получим:

Общий знаменатель 8. Дополнительный множитель к первой дроби 4.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

Какие действия изображены?

сложение дробей с нулём

сложение дробей с разными знаменателями

сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Для выполнения задания обратимся к теоретическому материалу урока.

№ 2. Вставьте в текст нужные слова.

Сумма … дробей равна нулю.

Варианты слов для вставки:

положительных и отрицательных

Для выполнения задания обратимся к теоретическому материалу урока.

Сумма противоположных дробей равна нулю.

Источник