Рациональные способы решения выражений 4 класс

Рациональные приёмы вычислений на уроках математики

Разделы: Математика

Класс: 4

Ключевые слова: математика

«Мозг хорошо устроенный ценится больше,
чем мозг хорошо наполненный.»

Умения рационально производить вычисления характеризуют довольно высокий уровень математического развития. Знакомство и применение рациональных способов вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Эти умения чрезвычайно сложны, формируются они медленно и за время обучения в начальной школе далеко не у всех детей могут быть достаточно сформированы.

Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро. Считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировки. И тогда перед вами откроется совсем другая математика: живая, полезная, понятная.

Скажите, пожалуйста, как рациональнее сложить 1+ 7, 4 * 8? Какие законы применили?

27 + 46+13? 27 – 19 – 7? Какие свойства, законы? Т.е основы рациональных приёмов вычислений основаны на чём?

Методика преподавания математики в начальных классах раскрывает основы рациональных приёмов вычислений, связанных с выполнением разных математических действий с натуральными числами.

Рациональные приёмы сложения основываются

1. Коммуникативный закон сложения а +в =в +а

2. Ассоциативный закон сложения а+в+с = а+ (в+с)

на коммуникативном и ассоциативном приёмах сложения, а так же свойствах изменения суммы. Рассмотрим некоторые из них.

Свойства сложения.

1.1

а+в+с =У, то (а – к) +с+в = У –к

38+24+15 = 77, то 36+ 24+ 15 = ?

а+в+с=У, то (а+ к) +в +с = У+к

38 + 24+15 = 77, то 40+ 24 + 15 =?

1.2.

а+ в =С , то (а +к ) + (в – к) = С

56 + 27 = 83, то (56 + 4) + (27 – 4) = ?

Какие ещё рациональные приёмы сложения можно применить на уроке математики?

Округление одного из слагаемых; поразрядного сложения; приём группировки вокруг одного и того же «корневого» числа.

Рассмотрим эти приёмы:

13 + 49 + 76 + 61 = (поразрядное сложение)

38 + 59 = 38 + (…округление слагаемого)

26 + 24 + 23 +25 + 24 = (группировка вокруг одного и того же «корневого» числа

Все приёмы рациональных вычислений, связанных с вычитанием, основываются на законах вычитания.

Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на число, то соответственно разность увеличится или уменьшится на это же самое число

а – в = С, то (а +к) — в = С +к

74 – 28 = 46, то 77 – 28 = 49

а-в = С , то (а – к ) — в = С-к

74 – 28 = 46, то 71 – 28 = 43

Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность измениться в противоположную сторону.

Если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить или увеличить на одно и тоже число, то разность не измениться.

Найди верные равенства.

229 – 36 = (229 – 9 ) – ( 36 – 6)

174 – 58 = (174 – 4) – ( 58 – 4)

358 – 39 = ( 358 – 8 ) – (39 – 8)

617 – 48 = ( 617 – 7 ) – (48 – 8)

Для рациональных вычислений используют частичные приёмы умножения и деления.

Приём замены множителя или делителя на произведение.

75 * 8 = 75 * 2*2*2=

960 : 15 = 960 : 3 : 5 =

Приём умножения на 9, 99,999, 11 …

87 * 99 = 87 * 100- 87 = 8700 – 87 = 8613

87 * 11 = 87 *10 + 87 = 870+ 87 = 957

Успешное применение различных приёмов зависит от умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Например, познакомив детей в первом классе с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав числа.

0 1 2 3 4 5 6 7

Отработав, таким образом, состав чисел в пределах 10 и познакомившись с переместительным законом сложения, дети легко справляются с заданием найти сумму чисел в пределах 10, а в дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойство сложения, легко можно найти сумму других чисел. Например:

48 +14 +22 +36 =120

Существуют приёмы на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Легко находить сумму последовательных нечётных чисел, начиная с 1.

Она равна произведению количества слагаемых на самого себя. (проверить)

Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия. Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условия задания, суметь подметить все его особенности. Такие задания, как поставь нужный знак действия16 … 17 = 33 ( рассуждать), далее подобные задания усложняются. 8…6…33 = 15

Сравни, не вычисляя

51 : 3 … 30 : 3 + 21 :5

636 :6 … 600 : 6+ 30 : 6+ 6 :6

Задания могут даваться в занимательной форме: Математический лабиринт, составь слово, найди пару , расшифруй пословицу и т.д.

Используй рациональные приёмы вычисления, разгадай слово

Какие приёмы использовали?

Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приёмы, помогающие значительно облегчить процесс вычисления.

СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ: способ быстрого умножения чисел первого десятка на 9. Допустим нам надо умножить 7 на 9. Повернём ладошки к себе, загнём седьмой палец, число пальцев слева от загнутого пальца – это число десятков, а число – справа, количество единиц.

Все задания, которые рассматривались, воспитывают интерес к математике, развивают их математические способности. Такую работу можно продолжать на математическом кружке.

Источник

Презентация «Рациональные способы вычислений и их значение в начальном образовании».
презентация к уроку по математике (2, 3, 4 класс)

Одной из важнейших задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительных навыков, основу которых составляет осознанное и прочное усвоение приёмов устных и письменных вычислений.

В школьной практике мы постоянно сталкиваемся с тем, что ребенок использует привычные, во многом навязанные ему способы решения. Так, например, некоторые дети, после того как изучены приемы письменных вычислений, начинают применять эти способы и при устном решении примеров. Это заставляет задуматься, что же побуждает детей обращаться к такому нерациональному приему решения? Вероятно, стремление действовать в соответствии с определенными алгоритмами, избегая при этом активных усилий мысли.

Скачать:

Вложение	Размер
Презентация «Рациональные способы вычислений и их значение в начальном образовании».	1.45 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Рациональные способы вычислений Автор: Шакула А.С. Учитель начальных классов МАОУ лицея №64 г .Краснодар

Одной из важнейших задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительных навыков, основу которых составляет осознанное и прочное усвоение приёмов устных и письменных вычислений. Формирование вычислительных умений и навыков – сложный длительный процесс, его эффективность во многом зависит от организации вычислительной деятельности. Вычислительная культура является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин. Её основы закладываются в начальной школе . Характеристики вычислительного навыка: Осознанность Правильность Рациональность Обобщенность Автоматизм прочность 2

Остановимся более подробно на таком качестве вычислительного навыка как рациональность , которая напрямую связана с вариативностью . Рациональность вычислений – это выбор тех вычислительных операций из возможных, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Применение свойств арифметических действий позволяет учителю воспитывать интерес к математике, вызвать у детей желание научиться вычислять наиболее быстрыми и удобными способами. Знакомство с рационализацией вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Такой подход позволит поддерживать стремление к использованию математических знаний в повседневной жизни.

Основные способы рациональных вычислений .

Изучение всех вычислительных приёмов, как устных, так и письменных будет успешным, если ребёнок прочно овладел знаниями таблиц сложения и умножения. Добиться прочного запоминания учащимися таблиц сложения и умножения однозначных чисел – одна из основных задач начального обучения. Существует очень много способов по запоминанию таблиц сложения и умножения.

Способы запоминания таблицы умножения . Таблица Пифагора

Общие приемы устного счета могут быть применимы к любым числам. Они основываются на свойствах десятичной формы записи числа и применения законов и свойств арифметических действий. При сложении двух и более чисел часто используются такие приёмы: Разложение каждого слагаемого на разряды – единицы, десятки, сотни, тысячи, сотни тысяч и т.д. Использование сочетательного и переместительного свойств . Выполнить сложение каждой из полученных групп. Пример : Требуется сложить 28, 47, 32, и 13. Пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды – десятки и единицы. 28=20+8 47=40+7 32=30+2 13=10+3 Воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами: 20+30+8+2+40+10+7+3 – (переместительный закон) ( 20+30)+(8+2)+( 40+0 )+(7+3) – (сочетательный закон) Выполняем сложение каждой группы 50+10+50+10 50+50+10+10 (переместительный закон) 100+10+10=120 (выполняем сложение)

Очень эффективный и часто употребляемый прием устного счета. Этот прием можно использовать во всех четырех арифметических действиях. Прием заключается в следующем : К одному из слагаемых ( уменьшаемому, вычитаемому, множителю, делимому, делителю) добавляем столько единиц, сколько не хватает до нужного нам «круглого числа ». Затем из результата вычитаем столько же единиц, сколько прибавляли . Примеры : 399+473=400+473=873 – 1=872 (399 округляем до 400, т.е. прибавляем 1, а затем из результата вычитаем 1 ) 399+473=(399+1)+(473-1)= 400+472=872 56-38=(56+4-38)-4=(60-38)-4=22-4=18 (если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность необходимо увеличить на соответствующее количество единиц) 72-15 =((72-2)-15)+2=(70-15)+2=57 (если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшается на соответствующее количество единиц. Следовательно, это количество надо прибавить ) 752-298=(752-(298+2))+2=(752-300)+2=452+2=454 (если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшаются на соответствующее количество единиц. Чтобы этого не произошло к полученному результату необходимо прибавить вычтенное число ) 93-22=(93-(22-2))-2=(93-20)-2=73-2=71 Приём округления

Чтобы любое число умножить на 5 , достаточно разделить его на 2 и умножить на 10 (т.к. 5-половина 10) 124 х 5 = 124 : 2 х 10 = 620 Чтобы умножить на 50 , достаточно число разделить на 2 и умножить на 100 ( т.к 50 –половина 100). 36 х 50 = 36 : 2 х 100 = 1800 Чтобы умножить на 25, достаточно число разделить на 4 и умножить на 100 (т.к. 25- четвёртая часть от 100) или наоборот. Если в остатке получится1, то вместо двух нулей поставим 25, если в остатке 2, то – 50,если 3, то – 75. 14 х 25 = 14 : 4 = 3(ост.2), значит 300 + 50 = 350 Чтобы умножить на 125, достаточно число разделить на 8 и умножить на1000(т.к. 125 – восьмая часть от1000) 48 х 125 = 48 : 8 х 1000 = 6000 Устные приёмы умножения

Нестандартные способы умножения и деления 3.1 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10. 53 • 11 = 583 Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8 Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами данного двузначного числа: 583. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше или равна 10. 86 • 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946. 3.2 Умножение чисел на 111 ,1111 , 11111 и т. д. Кто знает, как умножать на 11, может легко умножать на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д. Примеры : 32 • 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552; 52 • 1111 = 5 (5+2) (5+2) (5+2) 2 = 57 772. Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми числами. 42 • 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. Раздвинуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д. Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10. Пример : 86 • 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546. В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546. 76 • 1 111 111 = 7(13)(13)(13)(13)(13)(13)6 = (7+1)(3+1)(3+1)(3+1) (3+1) (3+1)36 = 84444436

Некоторые способы вычислений могут показаться сложными, но при правильной организации работы на уроке и внеклассных занятиях учащиеся осваивают их и с удовольствием используют в вычислительной деятельности. Привычка выполнять подобные вычисления устно формирует устойчивый навык, который не раз сыграет добрую службу при изучении более сложного материала. Овладение некоторыми приемами тождественных преобразований и рациональных вычислений готовит детей к успешному изучению математики в средней школе, а кроме того, перед учениками открывается совсем другая математика: живая, полезная и понятная. И очень жаль, если непонимание математических связей начинается в начальной школе. Как правило, к сожалению, такие дети не могут предложить нестандартное решение. Им трудно объяснить свой выбор, потому что они бояться ошибиться .

Источник

Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры

Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.

Определение и примеры рациональных выражений

Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.

Для примера имеем, что 5 , 2 3 · x — 5 , — 3 · a · b 3 — 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a : ( 1 — b ) , ( x + 1 ) · ( y — 2 ) x 5 — 5 · x · y · 2 — 1 11 · x 3 .

То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.

Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.

Основные виды преобразований рациональных выражений

Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.

Преобразовать рациональное выражение 3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 .

Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3 · x x · y — 1 и 2 · x x · y — 1 . Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид

3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 = x x · y — 1 · 3 — 2 = x x · y — 1

Ответ: 3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 = x x · y — 1 .

Выполнить преобразование 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : ( 3 · x — x ) .

Первоначально выполняем действия в скобках 3 · x − x = 2 · x . Данное выражение представляем в виде 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : ( 3 · x — x ) = 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : 2 · x . Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.

Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : 2 · x = 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : 2 : x .

Группируем числовые множители с переменной x , после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что

2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : 2 : x = ( 2 · ( — 4 ) : 2 ) · ( x · x 2 : x ) · y 4 = — 4 · x 2 · y 4

Ответ: 2 · x · y 4 · ( — 4 ) · x 2 : ( 3 · x — x ) = — 4 · x 2 · y 4 .

Преобразовать выражение вида x · ( x + 3 ) — ( 3 · x + 1 ) 1 2 · x · 4 + 2 .

Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида ( x · ( x + 3 ) — ( 3 · x + 1 ) ) : 1 2 · x · 4 + 2 , причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x · ( x + 3 ) — ( 3 · x + 1 ) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x — 3 · x — 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 — 1 2 · x + 2 .

Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что

x 2 — 1 2 · x + 2 = ( x — 1 ) · ( x + 1 ) 2 · ( x + 1 ) = x — 1 2

Ответ: x · ( x + 3 ) — ( 3 · x + 1 ) 1 2 · x · 4 + 2 = x — 1 2 .

Представление в виде рациональной дроби

Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.

Представить в виде рациональной дроби a + 5 a · ( a — 3 ) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .

Данное выражение можно представить в виде a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.

Следует начать с умножения, тогда получим, что

a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a — 5 · ( a + 5 ) a + 3 · 1 a · ( a + 5 ) = a — 5 · ( a + 5 ) · 1 ( a + 3 ) · a · ( a + 5 ) = a — 5 ( a + 3 ) · a

Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что

a + 5 a · ( a — 3 ) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a — 3 — a — 5 a + 3 · a

Теперь выполняем вычитание:

a + 5 a · a — 3 — a — 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · ( a — 3 ) · ( a + 3 ) — ( a — 5 ) · ( a — 3 ) ( a + 3 ) · a · ( a — 3 ) = = a + 5 · a + 3 — ( a — 5 ) · ( a — 3 ) a · ( a — 3 ) · ( a + 3 ) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 — ( a 2 — 3 · a — 5 · a + 15 ) a · ( a — 3 ) · ( a + 3 ) = = 16 · a a · ( a — 3 ) · ( a + 3 ) = 16 a — 3 · ( a + 3 ) = 16 a 2 — 9

После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16 a 2 — 9 .

Ответ: a + 5 a · ( a — 3 ) — a 2 — 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 — 9 .

Представить x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x в виде рациональной дроби.

Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется x x + 1 + 1 , а в знаменателе 2 · x — 1 1 + x . Необходимо произвести преобразования x x + 1 + 1 . Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · ( x + 1 ) 1 · ( x + 1 ) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1

Следует, что x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x — 1 1 + x

Получившаяся дробь может быть записана как 2 · x + 1 x + 1 : 2 · x — 1 1 + x .

После деления придем к рациональной дроби вида

2 · x + 1 x + 1 : 2 · x — 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = 2 · x + 1 · ( 1 + x ) ( x + 1 ) · ( 2 · x — 1 ) = 2 · x + 1 2 · x — 1

Можно решить это иначе.

Вместо деления на 2 · x — 1 1 + x производим умножение на обратную ей 1 + x 2 · x — 1 . Применим распределительное свойство и получаем, что

x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x = x x + 1 + 1 : 2 · x — 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x — 1 + 1 · 1 + x 2 · x — 1 = x · 1 + x ( x + 1 ) · 2 · x — 1 + 1 + x 2 · x — 1 = = x 2 · x — 1 + 1 + x 2 · x — 1 = x + 1 + x 2 · x — 1 = 2 · x + 1 2 · x — 1

Ответ: x x + 1 + 1 2 · x — 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x — 1 .

Источник