Рациональные способы решения квадратного уравнения
7.Решение уравнений с использованием свойств коэффициентов
Таким образом, ясно, что при решении квадратных уравнений учащиеся нашей школы используют традиционно формулы дискриминанта и корней уравнения, что требует громоздких вычислений и как следствие больших затрат времени, что непозволительно в процессе сдачи экзаменов.
Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения? Какие существуют рациональные способы решения квадратных уравнений?
Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения.
Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений.
Задачи:
1.Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений
2. Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.
3. Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.
4.Изложить наиболее известные способы решения квадратных уравнений.
3.Показать нестандартные способы решения квадратных уравнений. Сделать выводы.
5. Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой.
Объект исследования: квадратные уравнения
Предмет исследования: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами
Актуальность темы: тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, имеет теоретическую и практическую значимость. Ведь почти все, что окружает человека так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Тема исследования:
Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений.
Методы исследования: анкетирование, сбор статистических данных, обработка собранных сведений и информации, оформление результатов исследования.
Итог работы.
Каждый ученик должен прийти к выводу «Мой способ решения квадратного уравнения – понятный, но я хочу найти для себя самый рациональный»
Глава 1. Историческая справка.
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под редакцией С. А. Теляковского за 8 класс. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме:
1. Определение и виды квадратных уравнений
2. Основные методы решения квадратных уравнений
Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г. Рациональные приемы решения квадратных уравнений в полном объеме освещены на сайтах интернет.
Таким образом, изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию.
Глава 2.Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения
2.1. Определение квадратного уравнения
Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида
аx 2 + bx + c = 0, где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом.
● Пример. 8x 2 – 7x + 3 = 0
В каждом из уравнений вида ax 2 + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.
● Пример. х 2 – 11х+30=0, х 2 – 8х= 0.
2.2. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена
Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.
Пример. Рассмотрим уравнение 7х 2 – 6х – 1= 0.
Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение
Выделим из трехчлена х 2 – x- –квадрат двучлена. Для этого разность
х 2 – х представим в виде х 2 – 2· х, прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим
Отсюда х 2 – 2· х + = + ,
Следовательно, х — = – или х — = , ,
Уравнение имеет два корня: – и 1.
2.3. Решение квадратных уравнений по формуле
Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение
Разделив его обе части на а, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение
Выделим из трехчлена х 2 + х + квадрат двучлена. Для этого сумму
х 2 + х представим в виде х 2 +2х∙ ,прибавим к ней выражение
и вычтем его. Получим
Уравнение = равносильно уравнению ax 2 + bx + c = 0.
Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4a–положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком его числителя, т. е. выражения b 2 – 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Его обозначают буквой D, т.е.
D = b – 4ас. Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0
– выражение b 2 – 4ас= D – по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.
Различные возможные случаи в зависимости от значения D.
1.Если D>0, то уравнение имеет два корня:
Пример. Рассмотрим уравнение 2x 2 –3x + 1= 0.
D= b – 4ас =(–3) – 4ас= 9–8= 1; 2 корня.
2.Если D= 0, то уравнение имеет один корень:
Пример. Рассмотрим уравнение 9х 2 +6х+1= 0.
D= b – 4ас=6 – 4ас=36–36= 0; 1 корень.
3. Если D 0. тогда это уравнение имеет два корня:
Найдем сумму и произведение корней:
Пример. Рассмотрим уравнение х 2 – 3х + 2 = 0.
D =1, уравнение имеет два корня. х1 = 2 и х2 = 1, p= –3; q= 2.
По теореме Виета x1 + x 2 =-p , значит 2 + 1= 3;
Следовательно, х 1 = 2 и х2 = 1 являются корнями уравнения х 2 – 3х + 2 = 0.
При D = 0 корни уравнения можно вычислить по формуле
Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х1 и х 2 равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:
Теорема: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение
равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + px + q = 0.
Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +3х – 40=0.
По формуле корней квадратного уравнения получаем
Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении
х 2 +3х – 40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен –40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения
Итак, квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала некоторые из них, которые сама очень активно применяю.
Глава 3. Рациональные способы решения квадратного уравнения.
3.1.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +4х – 5= 0.
Значит, корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
D= b – 4ас= 4 – 4∙1∙(–5)= 36.
Отсюда следует, что если а+b+c= 0 , то х 1 =1 , х 2 =
Пример. Рассмотрим уравнение 2х 2 +8х +6 = 0.
2) Если b= а+c, то х1 =-1, х 2 = — . 8= 2+6
Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
D= b – 4ас=8 – 4∙2∙6= 16.
Отсюда следует, что если b= а+c , то х1 = -1 , х 2 =
Пример 345х 2 – 137х – 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то
Пример 132х2 – 247х + 115 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то
3). Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней
Пример. Решим уравнение 3х 2 — 14х + 16 = 0.
Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;
D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;
3.2. Способ «переброски».
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:
2х 2 – 11х+5=0 х 2 – 11х+10= 0
х = 10; х =1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.
4х 2 -37 х +9 =0 Ответ: ¼, 9
3.3.Закономерность коэффициентов
1) Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а 2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
ах 2 + (а 2 +1)∙ х+ а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х +6 = 0.
2) Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а 2 +1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
ax 2 – (а 2 +1)∙ х+ а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.
3) Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а 2 –1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
ax 2 + (а 2 –1)∙ х– а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.
4) Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а 2 –1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
ax 2 + (а 2 –1)∙ х– а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 –99х – 10 = 0.
3.4.Графическое решение квадратного уравнения.
Если в уравнении
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
Построим графики зависимости у = х 2 и у = — px — q.
График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости —
прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:
— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,
абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;
— прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
1) Решим графически уравнение х 2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).
Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4.
Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4. Прямую
у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и
N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках
А и В с абсциссами х1 = — 1 и х 2 = 4. Ответ: х1 = — 1;
2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 — 2х + 1 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х — 1.
Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 1.
Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)
и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с
абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.
3) Решим графически уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).
Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 5х — 5. Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.
Ответ. Уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.
Итак, квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0. Квадратные уравнения бывают полными, неполными и приведенными. Способы решений полных уравнений различны: выделение квадрата двучлена, по формуле, по теореме Виета, способ переброски, способы, основанные на свойствах и закономерностях коэффициентов квадратного уравнения. В данной работе я изложила и показала на примерах все эти способы. Проанализировав дополнительный материал, я пришла к выводу, что с помощью рациональных способов решения квадратных уравнений , решать уравнения стало намного намного проще и быстрее.
Предложенные методы решения квадратных уравнений просты в применении, и они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.
Заключение.
Таким образом, я считаю, что тема данного исследования полностью раскрыта. При работе над темой я узнала много нового из истории квадратных уравнений, а также научилась их решать более удобным способом. Полученные знания пригодятся мне в будущем.
В процессе работы мною создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого мною проведена успешная апробация этих приемов. Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще полностью не изучена, она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.
Данный материал можно рекомендовать для внеклассных занятий по математике. Материалом могут воспользоваться те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.
1.Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Авторы: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Издательство «Просвещение», Москва 2009 г.
2.Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: для сред.шк.-57-е изд. – М.: Просвещение, 1990.
3. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
Источник
