Расстояние между прямыми координатно векторным способом

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Координатным и векторным способом. Задача С2 ЕГЭ.

Скачать:

Вложение	Размер
rasstoyanie_mezhdu_skreshchiv.ppt	239 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Координатным и векторным способом Алферова Наталья Васильевна, учитель математики МКОУ «Горячеключевская СОШ» Омского района Омской области

Основные понятия Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к данным прямым Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от точки одной прямой до плоскости параллельной данной прямой и содержащей вторую прямую.

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 . х y z Точки A 1 (1;0;1) , B (1;1;0) Вектор A 1 B <0;1;-1>Точки D (0;0;0) , B 1 (1;1;1) Вектор DB 1 <1;1;1>Пусть КМ ┴А 1 В и КМ┴ D В 1 , значит КМ – искомое расстояние. Пусть точка К лежит на прямой A 1 B, а точка М на прямой DB 1 . Рассмотрим векторы А 1 К и DM , сонаправленные с направляющими векторами данных прямых . По лемме о коллинеарных векторах вектор А 1 К = а · А 1 В, т.е. вектор А 1 К <0;a;-a>, вектор DM = b · DB 1 , т.е. вектор DM . Тогда К(1;а;1-а), М( b;b;b) и вектор КМ . К М

Решим систему из условия перпендикулярности двух векторов KM·A 1 B=0 0·(b-1)+1·(b-a)-1·(b-1+a) = 0 , KM·DB 1 =0 1·(b-1)+1·(b-a)+1·(b-1+a) = 0 Решив систему получаем a=1/2, b=-2/3 , подставим эти значения в координаты вектора КМ: КМ < -1/3; 5/6; -1/2>. Найдём длину вектора |КМ| =√х²+ y²+z², |КМ| =√1/9+1/36+1/36=√6/6 . Ответ: √6/6 a·b = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 = 0

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 . K M x y z KM=MB 1 +BB 1 +BK=a·DB 1 +B 1 B+b·BA 1 DB 1 <1;1;1>, BA 1 <0;-1;1>, B 1 B <0;0;1>KM = + <0; 0; 1>+ <0; -b ; b>= = KM·BA 1 =0 0·a-1·(a-b) +1·(a+1+b)=0 , KM·DB 1 =0 1·a+1·(a-b)+1·(a+1+b) = 0 b= -½, a= -⅓ KM <-1/3; 1/6;1/6>|KM|= √1/9+1/36+1/36 =√6/6

В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВ 1 z y x Рассмотрим плоскость (А 1 В 1 С), содержащую прямую В 1 С и параллельную прямой АВ. Расстоянием между скрещивающимися прямыми будет расстояние от точки прямой АВ, например от А, до плоскости (А 1 В 1 С). Введём прямоугольную систему координат ОХУ Z так, чтобы ось ОХ была параллельна высоте ВН основания, ось ОУ совпадала с АС, ось О Z совпадала с АА 1. Н

Рассмотрим ∆АВС в плоскости ОХУ x y A C B H ∆ ABC – правильный, АВ=ВС=АС=1, ВН=√3/2. Составим уравнение плоскости (А 1 В 1 С): Ax+By+Cz+D=0. A 1 (0;0;1), B 1 ( √3/2 ; 1/2 ;1), C(0;1;0) , подставляем координаты точек в уравнение плоскости, получим систему: 0A+0B+ 1 C+D=0, ( √3/2 )A+(1/2)B+1C+D=0, 0A+1B+0C+D=0. Получаем C=-D, B=-D, A= ( √3/ 3)D . Уравнение плоскости (А 1 В 1 С 1 ): ( √3/3 )Dx-Dy-Dz+D=0, ( √3/3 )x-1y-1z+1=0, Формула расстояния от точки до плоскости: d= где (х 0 ;у 0 ; z 0 )- координаты точки A , d = |√3/3· 0-1·0-1·0 +1| / √ ( √3/3 )²+1+1 =√21/7. Ответ: √21/7. х у z H

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, сторона основания 3√2, боковые ребра 5 ,точка М – середина ребра AS . Найдите расстояние между прямыми М D и SB. M K Из точки М проведён прямую MK параллельную SB , очевидно, что МК — средняя линия ∆ ASB, SB ‖ (KMD). Расстояние между прямыми MD и SB – это расстояние от точки прямой SB до плоскости ( MDK ) . Введём прямоугольную систему координат ОХУ Z с началом в точке пересечения диагоналей О, так чтобы ось ОХ совпадала с ОА, ось ОУ с ОВ, ось О Z с высотой OS. Сторона квадрата 3√2, =>, диагональ АС=6. В прямоугольном ∆ АО S : AO=3 , SO=4 . Составим уравнение плоскости ( MKD): Ax+By+Cz+D=0, A(3;0;0),D(0;-3;0), S(0;0;4), M(3/2;0;2) 3A+D=0 3B+D=0 (3/2)A+2C+D=0 y x z

M K A= (- 1/3)D, B=(1/3)D, C=(-1/4)D . Уравнение плоскости (МК D): (-1/3)Dx+(1/3)Dy+(-1/4)Dz+D=0, (-1/3)x+(1/3)y+(-1/4)z+1=0. Определим расстояние от точки В(0;3;0) до плоскости (МК D) по формуле d= d= | 1+1|/√1/9+1/9+1/16=√41/12 Ответ: √41/12 z x y Спасибо за внимание.

Источник

Метод координат

Для решения задачи по стереометрии координатным методом нужно выбрать декартову систему координат. Ее можно выбрать как угодно, главное, чтобы она была удобной. Приведем примеры выбора системы координат в кубе, пирамиде и конусе:

Далее необходимо найти координаты основных точек в выбранной системе координат. Это могут быть вершины объемной фигуры, середины ребер или любые другие точки, указанные в условии задачи. Найдем координаты куба и правильной пирамиды (предположим, что все ребра равны \(4\)):

Куб: Очевидно, что координаты точки \(A\) в начале координат — \((0;0;0)\). т. \(B\) — \((4;0;0)\), т. \(G\) — \((4;4;4)\) и т.д. (Рис. 1).

С кубом все просто, но в других фигурах могут возникнуть трудности с нахождением координат.

Давайте рассмотрим правильную пирамиду \(ABCD\):

У \(т. A\) координаты \((0;0;0)\), потому что она лежит в начале координат.

Координату \(x\) точки \(С\) можно получить, опустив перпендикуляр \(CE\) из \(т.С\) на ось \(OX\). (см. Рис. 2). Получится \(т.E\), указывающая на искомую координату по \(x\) – 2.

Координату \(y\) точки \(С\) тоже получаем, опустив перпендикуляр \(CF\) на ось \(OY\). Координата \(y\) \(т.С\) будет равна длине отрезка \(AF=CE\). Найдем его по теореме Пифагора из треугольника \(AFC\): $$ ^2=^2+^2,$$ $$ 4^2=2^2+^2,$$ $$ CE=\sqrt<12>. $$ Координата \(z\) точки \(C\), очевидно, равна \(0\), потому что \(т.С\) лежит в плоскости \(XOY\). $$ C (2;\sqrt<12>; 0). $$

И найдем координаты вершины пирамиды (\(т.D\)). (Рис. 3) Координаты \(X\) и \(Y\) у точки \(D\) совпадают с координатами \(X\) и \(Y\) у точки \(H\). Напомню, что высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения медиан, биссектрис и высот. Отрезок \(EH=\frac<1><3>*CE=\frac<1><3>*\sqrt<12>\) (медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении как \(\frac<1><3>\)) и равен координате точки \(D\) по \(Y\). Длина отрезка \(IH=2\) будет равна координате точки \(D\) по \(X\). А координата по оси \(Z\) равна высоте пирамиде: $$ ^2=^2+^2, $$ $$ =\sqrt<4^2-<\frac<2><3>*AF>^2>, $$ $$ =\frac<32><3>. $$ $$ D (2, \frac<1><3>*\sqrt<12>, \frac<32><3>). $$

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) : $$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$ $$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$ Тогда координаты вектора \(\vec\) можно определить по формуле: $$ \vec=. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора: $$ a=;$$ $$ b=; $$ тогда угол \(\alpha\) между ними находится по формуле: $$ \cos<\alpha>=\frac<\sqrt<^2+^2+^2>*\sqrt<^2+^2+^2>>. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой: $$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$ где \(A,B,C,D\) – какие-то числа.

Если найти \(A,B,C,D\), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$\begin A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \\ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.\end$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: \(A,B,C,D\). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем \(D\) приравнять \(1\), если же проходит, то \(D=0\). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на \(D\), от этого уравнение не изменится, но вместо \(D\) будет стоять \(1\), а остальные коэффициенты будут в \(D\) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $$ K(1;2;3);\,P(0;1;0);\,L(1;1;1). $$ Подставим координаты точек в уравнение плоскости \(D=1\): $$\begin A*1+B*2+C*3+1=0,\\ A*0+B*1+C*0+1=0, \\ A*1+B*1+C*1+1=0.\end$$ $$\begin A+2*B+3*C+1=0,\\ B+1=0, \\ A+B+C+1=0.\end$$ $$\begin A-2+3*C+1=0,\\ B=-1, \\ A=-C.\end$$ $$\begin A=-0.5,\\ B=-1, \\ C=0.5.\end$$ Получаем искомое уравнение плоскости: $$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки \(M(x_M;y_M;z_M)\), легко найти расстояние до плоскости \(Ax+By+Cz+D=0:\) $$ \rho=\frac<|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|><\sqrt>. $$

Найдите расстояние от т. \(H (1;2;0)\) до плоскости, заданной уравнением $$ 2*x+3*y-\sqrt<2>*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты: $$ A=2,\,B=3,\,C=-\sqrt<2>,\,D=4.$$ Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. $$ \rho=\frac<|2*1+3*2-\sqrt<2>*0+4|><\sqrt<2^2+3^2+<-\sqrt<2>>^2>>. $$ $$ \rho=\frac<12><\sqrt<16>>=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма \(ABCFDE\), ребра которой равны 2. Точка \(G\) — середина ребра \(CE\).

• Докажите, что прямые \(AD\) и \(BG\) перпендикулярны.
• Найдите расстояние между прямыми \(AD\) и \(BG\).

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Источник

Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула

Вы будете перенаправлены на Автор24

Скрещивающиеся прямые — это прямые, не лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся между собой.

Наименьшим расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является перпендикуляр, опущенный с одной прямой на другую. У каждой пары скрещивающихся прямых при этом есть только один такой общий перпендикуляр.

Рисунок 1. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Через каждую из скрещивающихся прямых возможно провести лишь одну плоскость, параллельную второй скрещивающейся прямой, соответственно, для определения расстояния между скрещивающимися прямыми, достаточно определить расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, на которой лежит вторая прямая.

Соответственно, задачу поиска расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью можно свести к поиску расстояния между любой точкой, лежащей на вышеозначенной прямой, и плоскостью.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми: координатный метод

Рассмотрим методику нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ через координатный метод.

Прежде всего необходимо найти уравнение плоскости $β$, параллельной прямой $L_1$. Для этого необходимо найти векторное произведение направляющих векторов прямых $L_1$ и $L_2$, данное произведение представляет собой координаты нормального вектора плоскости $β$:

При вычислении выражения $(1)$ мы получим коэффициенты для общего уравнения плоскости $β$ — $A, B$ и $C$.

Готовые работы на аналогичную тему

Для того чтобы записать всё общее выражение плоскости, подставим координаты любой точки, лежащей на $L_2$ в общую форму, например, можно подставить точку с координатами $(x_2;y_2; z_2)$, получим следующее:

$A (x-x_2) + B (y – y_2) + C(z- z_2) + D=0$.

Теперь достаточно выбрать любую точку на прямой $L_1$, пусть это будет точка $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$.

Расстояние от плоскости $β$ до точки $M_1$ составит:

где $A, B, C$ и $D$ — коэффициенты уравнения плоскости $β$, а $(x_1;y_1; z_1)$ — координаты точки, лежащей на прямой $L_1$.

Данная формула позволяет высчитать расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Определить расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$.

Найдём нормальный вектор плоскости, в которой лежит прямая $L_2$, для этого выпишем направляющие вектора для каждой из прямых:

$L_1: \vec= \<2;-3;-1\>$, точка на этой прямой — $(2;-1;0)$

$L_2: \vec= \<1;-2;0\>$, точка на этой прямой — $(-1;0;1)$

Теперь найдём векторное произведение векторов $\vec$ и $\vec$, полученный вектор является нормальным вектором плоскости, в которой лежит $L_2 $:

$[\vec\cdot \vec]= \begin <|ccc|>i &j &k \\ 2 &-3 &-1 \\ 1 &-2 &0 \\ \end=((-3) \cdot 0 -2) \cdot \vec + (2 \cdot 0 + 1)\vec + ((-4) + 3) \cdot \vec = -2\vec + \vec -k = \<-2;1;-1\>$

Подставим координаты точки $(-1;0;1)$, принадлежащей прямой $L_2$, в общее уравнение плоскости:

$-2 \cdot (x+1) + (y-0) – 1 \cdot(z-1)=0$

Упрощаем и в конечном итоге имеем следующее уравнение плоскости:

Теперь, используя координаты точки $(2;-1;0)$, лежащей на первой прямой, можно воспользоваться формулой $(2)$ для вычисления расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:

Координатная формула вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми

Также аналогичное уравнение для поиска расстояния между скрещивающимися прямыми можно использовать сразу в полной координатной форме:

$ρ=\frac<\begin <|ccc|>l_1 & m_1 &n_1\\ l_2 &m_2 &n_2\\ (x_2 – x_1) &(y_2-y_1) &(z_2-z_1) \\ \end><\sqrt<\begin <|cc|>m_1 &n_1 \\ m_2 &n_2 \\ \end^2 + \begin <|cc|>l_1 &n_1 \\ l_2 &n_2 \\ \end^2 + \begin <|cc|>l_1 &m_1 \\ l_2 &m_2 \\ \end^2>>\left(3\right)$

Для того чтобы воспользоваться данной формулой, возможно нужно освежить в памяти способы нахождения определителей матриц.

Найти расстояние между вышеприведёнными прямыми с помощью формулы $(3)$.

Выпишем сначала точки, принадлежащие данным прямым и их направляющие векторы:

$L_1$ имеет направляющий вектор $\<2; -3; -1\>$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(2; -1; 0)$.

$L_2$ имеет направляющий вектор $\<1; -2; 0 \>$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(-1; 0; 1)$.

Источник

Читайте также:  Дуал голд способ применения