- Рассмотрим произвольное натуральное число представим его всеми возможными способами
- Решение
- Ответ
- Замечания
- Источники и прецеденты использования
- Рассмотрим произвольное натуральное число представим его всеми возможными способами
- Презентация по информатике «Решение задач ЕГЭ линии 24-25 на языке Python»
- Описание презентации по отдельным слайдам:
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Методическая работа в онлайн-образовании
- Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
- Общая информация
- Похожие материалы
- Создание программ на языке программирования Python
- Презентация по информатике «Аппаратное обеспечение»
- Информационные технологии в транспортной логистике
- Тема урока № 2 Портал электронного правительства.
- Сабақтың тақырыбы: «Үш өлшемді графика»
- Сабақтың тақырыбы «CorelDraw-да объектілермен, контурлармен жұмыс істеу»
- Тема урока «Триггеры и хранимые процедуры» Хранимая процедура (Stored Procedure) – это именованный набор команд языка Transact-SQL, хранящийся на сервере в качестве самостоятельного объекта БД
- Тема урока «СУБД InterBase. Манипулирование данными. Триггеры, генераторы, представления»
- Вам будут интересны эти курсы:
- Оставьте свой комментарий
- Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
- Подарочные сертификаты
- Рассмотрим произвольное натуральное число представим его всеми возможными способами
Рассмотрим произвольное натуральное число представим его всеми возможными способами
Можно ли, применяя к числу 2 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в любом количестве и в любом порядке, получить число 2010?
Решение
Первый способ. При sin t > 0 и s ≠ 0 выполнены тождества Подставляя в эти тождества t = arcctg 2, получаем:
Аналогично и через 2010² – 2² повторений этой операции мы из числа 2 получим число
Итак, или, короче,
Ответ
Замечания
1. Второй способ получается из первого, если поменять местами синус с косинусом, а тангенс с котангенсом.
2. Прошедшая в 1935 году московская олимпиада школьников по математике была первой не только в нашей стране. Она вызвала большое обсуждение педагогической и научной общественности в разных странах. На вторую олимпиаду предложил свою задачу известный английский физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии по физике 1933 года Поль Дирак. Задача формулировалась так:
Представить произвольное натуральное число в виде выражения, в запись которого входят только три двойки и произвольные математические знаки.
Решение просто и элегантно:
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 73 |
| Год | 2010 |
| класс | |
| Класс | 10 |
| задача | |
| Номер | 2010.10.3 |
Проект осуществляется при поддержке и .
Источник
Рассмотрим произвольное натуральное число представим его всеми возможными способами
Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [35 000 000; 40 000 000], у которых ровно пять различных нечётных делителей (количество чётных делителей может быть любым). В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания.
Решим задачу перебором. Находя очередной делитель числа, будем проверять, является ли этот делитель нечётным, и, если является, будем прибавлять к переменной count единицу. Также заметим, что у каждого делителя числа есть парный делитель — если он нечётный, будем прибавлять к переменой count единицу. Также учтём то, что у числа может быть 2 одинаковых делителя (например, у числа 9 два одинаковых делителя — числа 3 и 3).
Приведём решение на языке Pascal.
В результате работы программа должна вывести следующее:
Приведем другое решение.
Число имеет ровно пять нечетных делителей, если оно имеет вид 2 n · p 4 , где p — простое число, n — произвольное натуральное число. Следовательно, можно искать корень четвертой степени из числа, деленного на максимально возможную степень двойки. Если этот корень четвертой степени является простым числом, то само число имеет ровно пять нечетных делителей.
Приведем программу на языке Pascal, реализующую этот способ.
Приведем математическое обоснование данного способа.
Пусть разложение числа m на простые множители имеет вид 
тогда количество делителей числа m равно 
В частности, четное число раскладывается на множители как 
где множители ai — нечетные числа. Тогда число имеет 
четных делителей и 
нечетных.
По условию задачи требуется, чтобы число имело 5 нечетных делителей. Число 5 можно представить в виде произведения единственным способом 1 · (4 + 1), следовательно, разложение искомого числа на простые множители должно иметь вид 2 n · p 4 .
Примечание Никиты Степанова.
Второй способ решения будет давать неверный результат, если в заданном диапазоне есть число, являющееся степенью двойки. В этом случае получим sqrtI = c = 1, цикл проверки делимости числа не выполнится ни разу, и переменная simple останется равной 1. Предоставляем читателям возможность найти способ устранения этого недостатка.
Приведем решение Даниила Воротынцева.
i, a, j, count: integer;
for i := 35000000 to 40000000 do
while a mod 2 = 0 do
if frac(sqrt(a)) = 0 then for j := 2 to round(sqrt(a)) — 1 do
Источник
Презентация по информатике «Решение задач ЕГЭ линии 24-25 на языке Python»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
решение задач компьютерного егэ НА ЯЗЫКЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ PYTHON3
Задачи № 24, № 25
Сабитова Д.А.
Методист отдела дистанционного образования
Описание слайда:
Описание слайда:
= [элемент1, элемент2, элемент3]
Пример:
a1 = [‘a’, ‘b’, ‘c’]
b1 = [1, 2, 3, 4, 5]
c = a + b # c=[‘a’, ‘b’, ‘c’,1, 2, 3, 4, 5]
d = [] #пустой список
Описание слайда:
Доступ к элементам списка
Длина списка: Len(список) – возвращает количество элементов списка
Пример:
a1 = [‘a’, ‘b’, ‘c’]
b1 = [1, 2, 3, 4, 5]
c1 = len(a1) # c1 = 3
print (a1[0]) # ‘a’
print (b1[4]) # 5
print (a1[-1]) # ‘c’
print (a1[-2]) # ‘b’
Описание слайда:
Доступ к элементам списка
Пример:
a1 = [‘a’, ‘b’, ‘c’]
b1 = [1, 2, 3, 4, 5]
print(b1[:3]) # начиная с 0 по 2: [1, 2, 3]
print (a1[::-1]) #все элементы в противоположном порядке: [‘c’, ‘b’, ‘a’]
Описание слайда:
Доступ к элементам списка
Пример:
a1 = [‘a’, ‘b’, ‘c’]
b1 = [1, 2, 3, 4, 5]
for i in a1:
print(i)# все элементы списка в столбец
a
b
c
Описание слайда:
Доступ к элементам списка
Пример:
a1 = [‘a’, ‘b’, ‘c’]
b1 = [1, 2, 3, 4, 5]
for i in b1:
print(i, end = ‘ ‘)
# все элементы списка в строку через пробел:
1 2 3 4 5
Описание слайда:
Доступ к элементам списка
Пример:
b1 = [1, 2, 3, 4, 5]
for i in range(len(b1)):
print(b1[i] * 2, end = ‘ ‘)
Описание слайда:
Пример:
N = int(input())
b1 = []
for i in range(n):
b1.append(int(input()))
#заполнение списка с клавиатуры
Описание слайда:
Операции со списками
Сложение списков
Пример:
a1 = [‘a’, ‘b’, ‘c’]
b1 = [1, 2, 3, 4, 5]
a1 += [13, 14]
print (a1)
Описание слайда:
Операции со списками
Умножение списка на число
Пример:
a1 = [‘a’, ‘b’, ‘c’]
a1 *= 3
print (a1)
Описание слайда:
Обработка символьных строк
108) (В.Н. Шубинкин, г. Казань) Текстовый файл 24.txt содержит последовательность из строчных и заглавных букв английского алфавита и цифр, всего не более 106 символов. Определите длину наибольшей убывающей подпоследовательности.
Описание слайда:
Обработка символьных строк
113) (В.Н. Шубинкин, г. Казань) Текстовый файл 24.txt содержит последовательность из строчных и заглавных букв английского алфавита и цифр, всего не более 106 символов. Запишите в ответе наибольшую убывающую подпоследовательность.
Описание слайда:
Обработка символьных строк
118) (В.Н. Шубинкин, г. Казань) Текстовый файл 24.txt содержит последовательность из строчных и заглавных букв английского алфавита и цифр, всего не более 106 символов. Запишите в ответе номер символа, с которого начинается наибольшая убывающая подпоследовательность. Нумерация символов начинается с 1.
Описание слайда:
Обработка целочисленных данных. Поиск делителей
№ 3780) Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [63 000 000; 75 000 000], у которых ровно пять различных нечётных делителей (количество чётных делителей может быть любым). В ответе перечислите найденные числа, справа от каждого числа запишите его наибольший нечётный делитель.
Описание слайда:
Обработка целочисленных данных. Поиск делителей
№ 3752) Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [103 000 000; 104 000 000], у которых ровно три различных чётных делителя. В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого числа запишите его второй по величине нетривиальный делитель (не равный 1 и самому числу).
Описание слайда:
Обработка целочисленных данных. Поиск делителей
№ 3161) Рассмотрим произвольное натуральное число, представим его всеми возможными способами в виде произведения двух натуральных чисел и найдём для каждого такого произведения разность сомножителей. Например, для числа 18 получим: 18 = 18*1 = 9*2 = 6*3, множество разностей содержит числа 17, 7 и 3. Подходящей будем называть пару сомножителей, разность между которыми не превышает 120. Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [2000000; 3000000], у которых есть не менее трёх подходящих пар сомножителей. В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите наибольший из всех сомножителей, образующих подходящие пары.
Описание слайда:
Обработка целочисленных данных. Поиск делителей
№ 2901) Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [4671032; 4671106], простые числа. Выведите все найденные простые числа в порядке возрастания, слева от каждого числа выведите его номер по порядку.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 801 человек из 76 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 598 человек из 76 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Методическая работа в онлайн-образовании
- Сейчас обучается 24 человека из 13 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Похожие материалы
Создание программ на языке программирования Python
Презентация по информатике «Аппаратное обеспечение»
Информационные технологии в транспортной логистике
Тема урока № 2 Портал электронного правительства.
Сабақтың тақырыбы: «Үш өлшемді графика»
Сабақтың тақырыбы «CorelDraw-да объектілермен, контурлармен жұмыс істеу»
Тема урока «Триггеры и хранимые процедуры» Хранимая процедура (Stored Procedure) – это именованный набор команд языка Transact-SQL, хранящийся на сервере в качестве самостоятельного объекта БД
Тема урока «СУБД InterBase. Манипулирование данными. Триггеры, генераторы, представления»
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5310827 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Вопрос о QR-кодах для сотрудников школ пока не обсуждается
Время чтения: 2 минуты
В МГУ разрабатывают школьные учебники с дополненной реальностью
Время чтения: 2 минуты
Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Источник
Рассмотрим произвольное натуральное число представим его всеми возможными способами
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
На рисунке схема дорог изображена в виде графа, в таблице содержатся сведения о длине этих дорог в километрах.
| П1 | П2 | П3 | П4 | П5 | П6 | П7 |
| П1 | 7 | 13 | 12 | |||
| П2 | 5 | 10 | ||||
| П3 | 7 | 15 | 6 | 11 | ||
| П4 | 10 | |||||
| П5 | 13 | 5 | 15 | 8 | ||
| П6 | 12 | 6 | 10 | |||
| П7 | 10 | 11 | 8 |
Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Укажите кратчайший путь из пункта А в пункт К. В ответе перечислите все населённые пункты, через которые проходит путь. Например, путь из Г в Д через Е и К записывается как ГЕКД.
Логическая функция F задаётся выражением:
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
| Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
|---|---|---|---|
| . | . | . | F |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу, затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:
| Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
|---|---|---|
| . | . | F |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Тогда 1-му столбцу соответствует переменная y, а 2-му столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Сколько записей удовлетворяют условию «Пол = ‘ж’ или Физика
| Фамилия | Пол | Математика | История | Физика | Химия | Биология |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Андреев | м | 80 | 72 | 68 | 66 | 70 |
| Борисов | м | 75 | 88 | 69 | 61 | 69 |
| Васильева | ж | 85 | 77 | 73 | 79 | 74 |
| Дмитриев | м | 77 | 85 | 81 | 81 | 80 |
| Егорова | ж | 88 | 75 | 79 | 85 | 75 |
| Захарова | ж | 72 | 80 | 66 | 70 | 70 |
По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, Г, И, М, Р, Я. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: А — 010, Б — 00, Г — 101. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова ГРАММ?
Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова.
На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число следующим образом.
1. Строится двоичная запись числа N.
2. К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу: если N чётное, в конец числа (справа) дописываются два нуля, в противном случае справа дописываются две единицы. Например, двоичная запись 1001 числа 9 будет преобразована в 100111.
Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью числа – результата работы данного алгоритма.
Укажите минимальное число N, для которого результат работы алгоритма будет больше 115. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.
Запишите число, которое будет напечатано в результате выполнения программы. Для Вашего удобства программа представлена на пяти языках программирования.
| Бейсик | Python | ||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| вверх | вниз | влево | вправо |
При выполнении любой из этих команд КОРАБЛИК перемещается на одну клетку соответственно (по отношению к наблюдателю): вверх ↑, вниз ↓, влево ←, вправо →. Четыре команды проверяют истинность условия отсутствия стены у каждой стороны той клетки, где находится КОРАБЛИК (также по отношению к наблюдателю):
| сверху свободно | снизу свободно | слева свободно | справа свободно |
выполняется, пока условие истинно, иначе происходит переход на следующую строку.
При попытке передвижения на любую серую клетку КОРАБЛИК разбивается о скалы.
Сколько клеток приведенного лабиринта соответствуют требованию, что, стартовав в ней и выполнив предложенную. ниже программу, КОРАБЛИК не разобьется?
На рисунке — схема дорог, связывающих пункты А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л, М, Н, П. По каждой дороге можно передвигаться только в направлении, указанном стрелкой. Укажите в ответе длину самого длинного пути из пункта А в пункт П. Длиной пути считается количество дорог, составляющих путь.
Значение выражения 3 · 216 4 + 2 · 36 6 − 648 записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр 5 содержится в этой записи?
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
тождественно истинно при любых целых неотрицательных m и n?
Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:
F(n) = F(n–1) * n, при n >1
Чему равно значение функции F(5)? В ответе запишите только натуральное число.
Определите количество принадлежащих отрезку [123 456; 234 567] натуральных чисел, которые делятся без остатка на сумму своих цифр, и наименьшее из таких чисел. В ответе запишите два целых числа: сначала количество, затем наименьшее число. Числа в ответ запишите друг за другом без разделительных знаков.
Квадрат разлинован на N × N клеток (1
Пример входных данных (для таблицы размером 4 × 4):
| 5 | 10 | 7 | 6 |
| 15 | 4 | 15 | 20 |
| 2 | 22 | 5 | 3 |
| 3 | 5 | 7 | 16 |
Для указанных входных данных ответом должна быть пара чисел 78 и 53.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
добавить в одну из куч один камень или
увеличить количество камней в куче в два раза.
Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (7, 9), (12, 9), (6, 10), (6, 18). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 74. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 74 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 12 камней, во второй куче — S камней, 1 ≤ S ≤ 61.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, т. е не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
добавить в одну из куч один камень или
увеличить количество камней в куче в два раза.
Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (7, 9), (12, 9), (6, 10), (6, 18). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 74. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 74 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 12 камней, во второй куче — S камней, 1 ≤ S ≤ 61.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, т. е не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.
Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
добавить в одну из куч один камень или
увеличить количество камней в куче в два раза.
Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (7, 9), (12, 9), (6, 10), (6, 18). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 74. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 74 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 12 камней, во второй куче — S камней, 1 ≤ S ≤ 61.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, т. е не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Источник
