- Свойства умножения и деления
- Свойства умножения
- Переместительное свойство умножения
- Сочетательное свойство умножения
- Распределительное свойство умножения относительно сложения
- Распределительное свойство умножения относительно вычитания
- Свойство нуля при умножении
- Свойство единицы при умножении
- Свойства деления
- Урок математики по теме «Распределительный закон умножения относительно сложения»
- Презентация к уроку
Свойства умножения и деления
О чем эта статья:
Свойства умножения
Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.
Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.
Переместительное свойство умножения
От перестановки мест множителей произведение не меняется.
То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.
Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.
- 6 * 5 = 5 * 6 = 30;
- 4 * 2 * 3 = 3 * 2 * 4 = 24.
Сочетательное свойство умножения
Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).
- 3 * 2 * 5 = 3 * (2 * 5) = 3 * 10 = 30
Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.
Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.
Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.
В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно сложения звучит так:
Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.
В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно вычитания звучит так:
Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Свойство нуля при умножении
Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство:
0 * a * b * c = 0.
Свойство единицы при умножении
Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число.
То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.
Свойства деления
Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.
Основные свойства деления целых чисел
- Деление на нуль невозможно.
- Деление нуля на число: 0 : a = 0.
- Деление равных чисел: a : a = 1.
- Деление на единицу: a : 1 = a.
- Для деления переместительное свойства не выполняется: a : b ≠ b : a.
- Деление суммы и разности на число: (a ± b) : c = (a : c) ± (b : c).
- Деление произведения на число:
(a * b) : c = (a : c) * b, если a делится на c;
(a * b) : c = a * (b : с), если b делится на c;
(a * b) : c = a * (b : с) = (a : c) * b, если a и b делятся на c. - Деление числа на произведение:
a : (b * c) = (a : b) * (1 : c) = (a : c) * (1 : b).
И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:
Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.
В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.
Применим свойства деления на практике.
Пример 1
Мама купила 6 кг конфет и разложила их в три пакета. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?
Так как в каждом пакете одинаковое количество конфет, разделим 6 кг на три равные части: 6 : 3 = 2. Значит в каждом пакете по 2 кг конфет.
Пример 2
Вычислить: 500 * (100 : 5).
Как решаем: 500 * (100 : 5) = (500 * 100) : 5 = 50000 : 5 = 10000.
Ответ: 500 * (100 : 5) = 10000.
Пример 3
Упростить выражение: 27a – 16a.
Как решаем: 27a – 16a = a * 27 – a * 16 = a * (27 — 16) = a * 11 = 11a.
Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.
Источник
Урок математики по теме «Распределительный закон умножения относительно сложения»
Презентация к уроку
Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Цель: способствовать созданию условий для самостоятельного открытия учащимися распределительного закона умножения относительно сложения.
Задачи:
- Формировать представление о формулировке и записи распределительного закона умножения относительно сложения через формулу; умение по применению на практике распределительного закона умножения относительно сложения и записи его в общем виде, используя буквы.
- Развивать математическую речь, логическое мышление, умения сравнивать, наблюдать, анализировать, выдвигать гипотезы, размышлять, отыскивать разные решения, классифицировать, обобщать, формулировать выводы и отстаивать свою точку зрения.
- Продолжить работу по воспитанию любви к предмету, любознательности, чувства сопереживания и уважительного отношения к мнению одноклассников, культуры общения.
Методы и приёмы: словесный, наглядный, исследовательский, проблемно-поисковый.
Формы организации познавательной деятельности: индивидуальная, групповая, работа в парах.
Средства обучения: учебник, карточки, пословица, мультимедийная доска (проектор), смайлики.
Используемая литература:
- Аргинская И. И., Ивановская Е. И., Кормишина С.Н. Математика: Учебник для 3 класса: В 2 частях. — Самара: Издательство “Учебная литература”:Издательский дом “Фёдоров”,2008. Часть I.
- И.И.Аргинская “Сборник заданий по математике для самостоятельных, проверочных и контрольных работ в начальной школе”, издательство “Учебная литература”, 2006г.
| Этапы урока | Ход урока |
| 1. Психологический настрой детей на урок | Учитель: |
— Сегодня очень хороший солнечный день.
— Давайте мы улыбнёмся друг другу.
— Пусть наш урок будет интересным и даст нам возможность открыть новые знания.
— Желаю всем нам успеха! В путь!
— Один мудрец однажды сказал: “Не для школы, а для жизни мы учимся!”
— В чём заключается смысл данной пословицы? (Слайд 1)
— А для чего же мы изучаем такую сложную науку, как математика? (Высказывания детей )
— Предлагаю решить логические задачи в группах. (деление класса на 3 группы)
1 группа. Валя и Наташа учатся в одном классе.“Я всегда захожу в четвёртый кабинет от начала коридора”, — сказала Наташа. “А я захожу в четвёртый кабинет от его конца”, — сказала Валя. Ск. кл. комнат на этом этаже? (7 комнат.)
2 группа. Васиного отца зовут Иван Николаевич, а дедушку – Семён Петрович. Каково отчество Васиной мамы? (Семёновна)
3 группа. Ребята пилят брёвна на метровые куски. Отпиливание одного такого куска занимает одну минуту. За сколько минут они распилят бревно длиной 5 метров? (за 4 минуты)
— Слово предоставляется представителям от каждой группы.
(выслушивается и оценивается работа всех групп)
— Молодцы! Все хорошо потрудились!.
— Посмотрите на следующее задание.
— Что можете сказать про эту запись? 20, 12, 11. (Слайд 2)
— Это числа. Их три. Все они натуральные.
Здесь есть чётные и нечётные числа. Они двузначные. Числа записаны в порядке убывания.
— Какое задание вы бы предложили своим одноклассникам, используя данные числа?
— Найти лишнее число.
— Разделить числа на группы и дополнить эти группы своими числами.
— Расположить числа в порядке возрастания.
— Найти сумму (разность) этих чисел.
— Представить числа в виде суммы разрядных слагаемых. . и т.д.
— А кто из вас внимательный? Есть ли какая-то связь этих чисел с сегодняшним днём?
— Это дата: 20 декабря 2011 год.
Учитель: — Молодцы! Вы очень наблюдательны.
— А сейчас проведём зарядку для ума – математический диктант. В тетрадях записываем только значение выражений. (диктант)
— Обменяемся тетрадями и проверим друг друга по образцу. (Слайд №3.)
15, 56, 54, 2, 49, 74, 79, 6, 100, 66
— Встаньте те ребята, которые не допустили ни одной ошибки. — Молодцы.
— Какие знания вам были нужны при выполнении диктанта?
— Знание компонентов сложения, вычитания, умножения и деления, таблицы умножения, деления, сложения, вычитания.Умение понимать задание и правильно выполнять действия с числами. . и т.д.
Учитель: — Молодцы! Спасибо за старание.
— Представьте три наименьших числа, из записанных нами чисел в виде суммы одинаковых слагаемых. Запишите результаты в тетради.
— Представьте каждое из этих чисел в виде произведения двух множителей.
— Как вы думаете, для чего нам нужны знания таблицы умножения?
— Когда ею можно заменить сложение?
(о связи сложения с умножением)
— Да, сегодня нам эти знания очень пригодятся.
— Мы для себя откроем ещё одну связь между сложением и умножением.
- (3+5)*3.
- 3*3+5*3
- (4+2)*2.
- 4*2+2*2
— Сравните выражения каждой пары.
— Чем похожи выражения каждой пары?
— Использованы одни и те же числа.
— И там, и там встречается умножение и сложение.
— Выражение решается в несколько действий.
— Чем они отличаются?
— Наличием скобок. Количеством действий.
— Попробуйте, опираясь на свои знания, найти значения выражений.
— Что интересного заметили?
— В чём особенность получившихся значений?
— Попытайтесь сформулировать вывод, почему значения записанных выражений одинаковы?
— Вывод: в первой паре мы сумму чисел умножали на число, во второй паре мы находили значение суммы, где каждое слагаемое дано в виде произведения чисел. Найдя значения выражений, мы увидели, что они равны между собой.
-Давайте сформулируем наше новое знание.
— Вывод: при умножении суммы на число значение выражения не изменится, если умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
— Где мы можем проверить нашу гипотезу?
Высказывания детей:
— Откройте учебник на стр.93. (Слайд 5)
— Прочитаем утверждение, которое здесь записано.
— Сравните данное утверждение с тем, которое мы сделали сами. (Высказывания детей)
— Какое открытие сделали?
— Узнали новое свойство действий – распределительное свойство умножения относительно сложения.
— Давайте отдохнём и будем дальше на примерах использовать свойство умножения относительно сложения, с которым познакомились. (Слайд 6)
— Вы думаете, что всё самое интересное уже позади?
— Нет, всё ещё впереди.
— Выполним пункт 3, №168. Работать будем в парах.
(Составь ещё три пары похожих выражений и найди их значение)
— Проверим варианты решений на доске.
— С каким свойством умножения познакомились?
— Как звучит новое математическое свойство?
(воспроизводят переместительное свойство умножения относительно сложения)
— Какова наша задача на уроке?
— Применять новые знания при решении задач и примеров.
— Предлагаю записать формулу в общем виде, используя буквы а,в,с, опираясь на выполненные выражения в предыдущих заданиях.
— Сравните нашу формулу с формулой в учебнике на стр.93, пункт 6, №168.
— Почему разные записи?
— Вывод: это одинаковые формулы. Можно использовать разные буквы. А вместо переменных можно поставить любое натуральное число.
Вам предлагается решить 2 выражения по выбору.
— При выполнении каких заданий мы можем применить этот закон?
— При решении задач, примеров, .
— На следующих уроках вам предстоит узнать, где ещё применяется распределительное свойство умножения относительно сложения.
— Как называется фигура, которая изображена на стр.95, №171?
— Можем ли мы найти площадь этой фигуры?
— Как это сделать?
— Разбить фигуру на прямоугольники, найти их площади и полученные площади сложить.
— Представить визуально прямоугольники.
2). Нахождение площади фигуры.
-Сам-но найдите S фигуры любым способом.
Высказывания детей: (Слайд 9)
- 1 способ: 6*6=36(см 2 )
- 2 способ: 6*3+4*3+2*3=36(см 2 )
- 3 способ: 9*4=36(см 2 )
- 4 способ: 3*2+6*2+9*2=36(см 2 )
(После выполнения №171 проводится проверка, во время которой выявляются рациональные способы нахождения площади данной фигуры).
— Какие способы нахождения площади на ваш взгляд самые рациональные? Почему?
— Требуют меньше всего выполнения действий и вычислений.
— Достраиваем до прямоугольника и находим его S.
— Учебник стр.94 №170. Прочитайте 1, а затем 2 задачи. (Слайд 10)
— Предлагаю составить краткую запись к задаче, пользуясь таблицей.
— Сравните задачи. Чем они похожи?
Высказывания детей : (По содержанию и сюжету. Встречаются одинаковые числа.)
Учитель: — В чём их основное различие?
— Количество детских и женских платье в 1 задаче различно, а во 2-й — одинаково.
— Реши обе задачи по действиям или выражением.
Высказывания детей:
- 1 задача: 3*5+2*4=23(м)
- 2 задача: 3*5+2*5=25(м)
— Для какой задачи можно составить более короткое числовое выражение?
— Запись 3*5+2*5 можно заменить записью (3+2)*5
Учитель: — Какое свойство умножения применяется при его решении?
(распределительное свойство умножения относительно сложения)
Учитель: — Проверим версию, выполнив вычисления.
— Мне сегодня было очень комфортно с вами на уроке. Спасибо вам. Продолжи фразу: (Слайд 12)
- Я узнал (а) .
- Я повторил (а) .
- Я научился (лась) .
— Какое вы сегодня сделали открытие?
— Как формулируется распределительный закон умножения относительно сложения?
— Где мы можем его использовать?
— Кому вы скажите спасибо за работу на уроке?
— У каждого из вас, на парте, лежит смайлик. Выберите тот смайлик, который соответствует вашему настроению от сегодняшнего урока.
— Вспомните слова мудреца, сказанные в начале урока: “Не для школы, а для жизни мы учимся!”
— Как вы их понимаете сейчас?
-А теперь крепко потрите свои ладошки, так, чтобы стало жарко. Быстро передайте тепло другу, соединив свои ладошки с ладошками соседа.
Источник
