Расчет средних показателей способом моментов

Расчет средних показателей способом моментов.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случаев процедуру расчетов средней можно упростить и облегчить, если воспользоваться ее свойствами:

1. если все индивидуальные значения признака (все вварианты) уменьшить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличитсяв i раз.

2. Если вес варианты осредняемого признака уменьшить на число А, то средняя арифметическая соответственно увеличится на это же число А.

3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в К раз, то средняя арифметическая не изменится.

В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге (доли или проценты). Тем самым достигается упрощение расчетов средней.

Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значений вариантов и частот. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение одного из центральных вариантов, обладающего наибольшей частотой, в качестве i – величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отчета, поэтому такой метод вычисления средней называется “способом отчета от условного нуля” или “способом моментов”.

Допустим, что все варианты X сначала уменьшены на одно и то же чило А, а затем уменьшены в i раз. Получим новый вариационный ряд распределения новых вариантов x.

Тогда новые варианты будут выражаться ,

а их новая средняя арифметическая

m ₁ – момент первого порядка- формулой и будет равна средней из первоначальных вариантов, уменьшенной сначала на А, а затем в i раз, т.е.

Для получения действительной средней надо момент первого порядка m ₁ умножить на i и прибавить А.

Данный способ вычисления средней арифметической из вариционного ряда называют «способом моментов». Применяется этот способ в рядах с равными интервалами.

Источник

Вычисление средней арифметической по способу моментов

При большом числе наблюдений или при большом числовом значении вариант применяют

упрощенный способ вычисления средней арифметической- способ моментов.

где М — средняя арифметическая; А — условная средняя; i — интервал между группами вариант;

S — знак суммирования.; а- условное отклонение каждой варианты от условной средней;

р — частота встречаемости вариант; n — число наблюдений.

Пример вычисления средней арифметической по способу моментов (средней массы тела

юношей в возрасте 18 лет)

V(n в кг)	Р	а (V-А)	а . Р
+2	+4
+1	+3
Мо=62
-1	-6
-2	-8
-3	-3
п = 25	Sар = — 10кг

Этапы расчета средней по способу моментов:

1) за условную среднюю А рекомендуется принять Моду или Медиану, например А = 62кг, так как 62 кг было у 9 юношей из 25;

2) определяем «а» — условное отклонение варианты от условной средней, для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю: а = V — А, ( например, а = 64 — 62 = +2 и т.д.).

3) умножаем условное отклонение «а» на частоту «р» каждой варианты и получаем произведение а р;

4) находим сумму Sа . р = — 10кг

5) рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:

М = А + i SаР = 62 — 1×0,4 = 61,6кг

Таким образом, можно сделать вывод, что в изучаемой нами группе юношей средняя масса тела

Средняя арифметическая сама по себе ничего не говорит о том вариационном ряде, из которого

она была вычислена. На ее типичность (достоверность) влияет однородность рассматриваемого

материала и колеблемость ряда.

Пример: даны два одинаковых по числу наблюдений вариационных ряда, в которых

представлены данные измерений окружности головы детей в возрасте от 1 года до 2-х лет

Ряд 1	Ряд 2
Окружность головы(в см) Частота	41, 45, 46, 47, 48 7, 8, 25, 6, 2	42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 1, 2, 4, 6, 14, 10, 3, 0, 2

Имея одинаковое число наблюдений и одинаковые средние арифметические (М= 46 см), ряды

имеют различия в распределении внутри. Так варианты первого ряда отклоняются в целом от

средней арифметической с меньшим значением, чем варианты второго ряда, что дает

возможность предположить, что средняя арифметическая (46 см) более типична для первого

ряда, чем для второго.

В статистике для характеристики разнообразия вариационного ряда употребляют среднее

квадратическое отклонение (s)

Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический

способ и способ моментов. При среднеарифметическом способе расчета применяют формулу:

где d истинное отклонение каждой варианты от истиной средней М. Формула используется при

Источник

Способ моментов

Применяя этот способ, среднюю ариф­метическую рассчитывают по формуле:

Эта формула технически упрощает расчеты, особенно в тех случаях, когда варианты состоят из многозначных чисел, а совокупность — из большого числа наблюдений.

Например: Методика расчета средней арифметической величины по способу моментов Таблица 8.

V кг	p	а	а ×р
64	2	+2	+4
63	3	+1	+3
62	9	0	0
61	6	-1	-6
60	4	-2	-8
59	1	-3	-3
n =25	Sа × р = -10 кг

Этапы расчета М по способу моментов:

1) за условную среднюю Ао рекомендуется принять варианту, чаще других повторяющуюся в вариационном ряду. В нашем примере: Ао = М = 62 кг., так как 62 кг было у 9 юношей из 25;

2) определяем а — условное отклонение от условной средней. Для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю а = (V — Ао).

В нашем примере: а = 64 — 62 = + 2 и т. д.;

3) умножаем условное отклонение (а) на частоту (р) каждой варианты и получаем произведения

(а × р).

В нашем примере: 2 ×(+2) = 4 и т.д.

4) получаем сумму S а × р

В нашем примере: — 10кг;

5) определяем интервал между группами вариант ( I)

В нашем примере: i = 1 кг;

6) момент первой степени

В нашем примере: -10 кг / 25× 1 = — 0,4

7)рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:

В нашем примере: М = 62 кг – 0,4 = 61,6 кг

Есливариационный ряд предварительно был сгруппирован, то в качестве ряда(V)используются середины групп.

Средняя арифметическая величина обладает тремя свой­ствами.

1. Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду: М = Мо = Ме.

2. Средняя является обобщающей величиной и за ней не видны колебания, различия индивидуальных данных.

3. Сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю. Sd = S (V-M) = 0

Величина того или иного признака неодинакова у всех членов совокупности, несмотря на ее относительную однородность.

Наиболее полную характеристику разноо­бразию признака в совокупности дает так называемое среднее квадратическое отклоне­ние, обозначаемое греческой буквой «сигма» — s.

Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический и способ моментов. При сред­неарифметическом способе расчета применяют формулу: s =

где d— истинное отклонение вариант от истинной средней (V-М). Эта формула используется при небольшом числе наблюдений (n 1 используют формулу такого вида:

s = ;

При Р>1 и N>30 — s =

Следующая формула предназначена для определения s по способу моментов: s =i×

где а — условное отклонение вариант от условной средней: а =V — А; Sa 2 ×p/n момент второй степени, а (Sa×p/n) 2 — момент первой степени, возведённый в квадрат. Этот способ применяется в тех случаях, когда нет вычислитель­ной техники, а вариационный ряд громоздкий как за счет большого числа наблюдений, так и за счет вариант, выраженных многознач­ными числами. При числе наблюдений, равном 30 и менее, в момен­те второй степени n заменяют на (n-1).

Например: Расчет среднего квадратического отклонения по среднеарифметическому способу. Таблица 9.

Рост мальчиков 12 лет.	Число детей (р)	V • Р	d	d 2	d 2 × Р
155	1	155	+2	4	4
154	4	616	+1	1	4
153	6	918	0	0	0
152	4	608	—1	1	4
151	1	151	—2	4	4
М = 153	n = 16	SV ×p = 1448	S d 2 × Р = 16

Последовательность расчета s.

1.Определить М (по среднеарифметическому способу).

В нашем примере: = 153см.

2.Найти истинное отклонение d =(V-M).

В нашем примере:155-153=+2; 154-153= +1 и т.д.

3.Возвести каждое отклонение в квадрат d 2.

4.Найти произведение (d 2 × р) по всем строкам ряда.

5.Определить сумму (S d 2 ×р).

В нашем примере: 4+4+0+4+4=16

6.Рассчитать s по формуле:

В нашем примере: Ö16/16-1 =1,05 см. =1,05

Например: Расчет среднего квадратического отклоненияпо способу моментов Таблица 10.

Рост, см (V)	Число детей (р)	а	а×р а×р	a 2 ×р
155	1	+2	2	4
154	4	+ 1	4	4
153	6	0	0	0
152	4	-1	-4	4
151	1	-2	-2	4
n = 16	Sар = 0	Sa 2 ×р = 16

Последовательность расчета s по способу моментов.

1.Найти условную среднюю А

В нашем примере: А =153 cм.

2.Определить условное отклонение (а) каждой варианты от условной средней: а =V — А.

3.Получить произведения а × р, а затем их просуммировать.

В нашем примере: =0.

4.Рассчитать истинную среднюю арифметическую по формуле

=153 см, так как сумма отклонений равна 0, то поэтому М=А.

5.Получить произведения а 2 ×p по всем строкам вариационного ряда и просуммировать их.

В нашем примере:Sa 2 ×p =16.

6. Рассчитать по способу моментов по формуле: s =i×

В нашем примере:s =1× = 1,05

Ошибка репрезентативности (m) является важнейшей стати­стической величиной, необходимой для оценки достоверности ре­зультатов исследования. Эта ошибка возникает в тех случаях, когда требуется по части охарактеризовать явление в целом. Эти ошибки неизбежны. Они проистекают из сущности выбороч­ного исследования: генеральная совокупность может быть охарак­теризована по выборочной совокупности только с некоторой по­грешностью, измеряемой ошибкой репрезентативности.

По величине ошибки репрезентативности определяют, насколько результаты, полученные при выборочном наблюдении, отличаются от результатов, которые могли бы быть получены при проведении сплошного исследования всех без исключения элементов генераль­ной совокупности.

Ошибки репрезентативности можно свести к достаточно малой величине, т. е. к величине допустимой погрешности. Делается это путем привлечения в выборку достаточ­ного количества наблюдений (n):

· – для выборочного исследования, в котором будут рассчитываться относительные величины.

· – для выборочного исследования, в котором будут рассчитываться средние величины.

p– вероятность наступления явления (выбирается по данным аналогичных исследований)

q— вероятность не наступления явления, q =100-p

t— доверительный критерий – таблица 11.

D— предельная ошибка, вытекает из таблицы 6, исходя из выбранного t.

Степень безошибочного прогноза (Р)	Доверительный критерий (t)	Предельная ошибка (D)
68%	—
95%	5%
99%	1%

Если аналогичных исследований нет, то p и q принимаются как 50% на 50%.

Ошибки репрезентативности рассчитываются по следующим формулам:

· – для относительных величин;

· – для средних величин.

В медицине и здравоохранении по разности параметров оценивают средние и относительные величины, полученные для разных групп населения по полу, возрасту, а также групп больных и здоровых и т. д. Во всех случаях при сопоставлении двух сравниваемых величин возникает необходимость не только определить их раз­ность, но и оценить ее достоверность. Достоверность разности величин, полученных при выборочных исследованиях, означает, что вывод об их различии может быть перенесен на соответствующие генеральные совокупности. Достоверность различия сравниваемых величин измеряется доверительным критерием (критерием точности t), который рассчитывается по специальным формулам для средних и относительных величин.

Формула оценки достоверности разности сравниваемых величин такова:

· — для средних величин;

· — для относительных величин.

Разность величин считается достоверной при значениях, равных или больших 2. Р₁ всегда выбирается больше, чем Р_2.

Например: При изучении влияния анаболических гормонов при инфаркте миокарда на белковый обмен были получены следующие данные: общий белок до лечения (Р) составил 7,14% (m-±0,17%), после лечения (Р) 8,04% (m-±0,12%).

1. Определяем большую величину как Р_1, а меньшую как Р_2.

2.Возводим ошибки репрезентативности в квадраты:

В нашем примере: 0,17 2 =0,0289;0,12 2 = 0,0144.

3.Складываем квадраты и извлекаем квадратный корень.

В нашем примере: Ö0,0289+0,0144=Ö0,0433 = 0,2.

4.Находим разность сравниваемых величин и делим на знаменатель.

В нашем примере:8,04-7,14=0,9/0,2=4,5.

В нашем примере: 4,5>2, значит разность величин достоверна, т.е, анаболические гормоны действительно увеличивают уровень общего белка.

Источник