Для измерения расстояний в пределах Солнечной системы используют астрономическую единицу (а. е.), которая равна среднему расстоянию от Земли до Солнца.
1 а.е. = 149 600 000 км
Расстояние до объекта по времени прохождения радиолокационного сигнала можно определить по формуле , где S = 1/2·ct, где S — расстояние до объекта, c — скорость света, t — время прохождения светила.
Параллакс — угол p, под которым из недоступного места (точка C) будет виден отрезок AB, называемый базисом.
Базис — тщательно измеренное расстояние от точки A (наблюдатель) до какой-либо достигнутой для наблюдения точки B.
По величине базиса и прилегающим к нему углам треугольника ABC найти расстояние AC. При измерениях на Земле этот метод называют триангуляцией.
r = D · sin(ρ); R = D · sin(ρ)/sin(p) · R; r = ρ/p · R.
1. Радиолокатор зафиксировал отраженный сигнал от пролетающего вблизи Земли астероида через t — 0,667 с. На каком расстоянии от Земли находился в это время астероид?
2. Определите расстояние от Земли до Марса во время великого противостояния, когда его горизонтальный параллакс p = 23,2″.
3. При наблюдении прохождения Меркурия по диску Солнца определили, что его угловой радиус p = 5,5″, а горизонтальный параллакс p = 14,4″. Определите линейный радиус Меркурия.
1. Сигнал, посланный радиолокатором к Венере, возвратился назад через t — 4 мин 36 с. На каком расстоянии в это время находилась Венера в своем нижнем соединении?
Ответ: 41 млн км.
2. На какое расстояние к Земле подлетал астероид Икар, если его горизонтальный параллакс в это время был p = 18,0″?
Ответ: 1,22 млн км.
3. С помощью наблюдений определили, что угловой радиус Марса p = 9,0″, а горизонтальный параллакс p = 16,9″. Определите линейный радиус Марса.
Источник
Радиолокационный способ определения расстояния до небесных тел
§ 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ ДО ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ И РАЗМЕРОВ ЭТИХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
1. Определение расстояний по параллаксам светил. Допустим, что из точки А нужно определить расстояние до недоступной точки С (рис. 24). Для этого прежде всего тщательно измеряется расстояние до какой-нибудь доступной точки В. Отрезок АВ называется базисом. Далее из точек А и В угломерным геодезическим инструментом измеряют CAB и АВС. Таким образом, в треугольнике ABC известны углы и сторона АВ = с. Остальные элементы косоугольного треугольника ABC можно вычислить по формулам тригонометрии.
Рис. 24. Определение расстояния до недоступного предмета
Рис. 25. Горизонтальный параллакс светила.
УголАСВ, под которым из недоступного места виден базис, называется параллаксом . При данном расстоянии до предмета параллакс тем больше, чем больше базис.
В пределах Солнечной системы в качестве базиса используют экваториальный радиус Земли. Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 25), вершинами которого являются центр светила О1, центр Земли О и точка, изображающая местоположение наблюдателя К. Как следует из чертежа, наблюдатель видит светило на горизонте. Угол р0, под которым со светила, находящегося на горизонте, был бы виден экваториальный радиус Земли, называется горизонтальным экваториальным параллаксом светила. Конечно, со светила никто не наблюдает радиус Земли, а горизонтальный параллакс определяют по измерениям высоты светила в момент верхней кульминации из двух точек земной поверхности, находящихся на одном географическом меридиане и имеющих известные географические широты.
Если горизонтальный параллакс ( р0) найден, то расстояние до светила вычисляется по формуле:
(19)
где D — расстояние от центра Земли до центра какого-нибудь тела Солнечной системы; — экваториальный радиус Земли (сущность способа определения радиуса Земли будет изложена в § 12); р0— горизонтальный параллакс светила.
Наибольший горизонтальный параллакс имеет ближайшее к Земле небесное тело — Луна ( p ( = 57’02′). Параллаксы планет и Солнца составляют всего лишь несколько секунд дуги (= 8,79′). Поскольку углы р0малы, то их синусы можно заменить самими углами, т.е. sin р0 ≈ р0, если величина угла выражена в радианах. Но р0обычно выражено в секундах дуги, поэтому так как 1 радиан = 57,3° = 3438′ = 206265′. Учитывая это, формулу (19) можно записать в виде:
(20)
здесь р0выражено в секундах дуги, а D в зависимости от — либо в километрах (если — в километрах), либо в радиусах Земли.
Пример 6. Зная горизонтальный параллакс Луны и экваториальный радиус Земли ( 6378 км ), найти расстояние от Земли до Луны.
2. Радиолокационный метод. Он заключается в том, что на небесное тело посылают мощный кратковременный импульс, а затем принимают отраженный сигнал. Скорость распространения радиоволн равна скорости света в вакууме: с = 299792458 м/с. Поэтому если точно измерить время, которое потребовалось сигналу, чтобы дойти до небесного тела и возвратиться обратно, то легко вычислить искомое расстояние. Идея непосредственного метода определения расстояния до небесных тел (в частности, расстояния между Землей и Луной) была обоснована отечественными физиками Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси.
Радиолокационные наблюдения позволяют с большой точностью определять расстояния до небесных тел Солнечной системы. Этим методом уточнены расстояния до Луны, Венеры, Меркурия, Марса, Юпитера.
Для космических полетов необходимо с большой точностью определять значение астрономической единицы. Еще сравнительно недавно астрономическая единица была известна с точностью до нескольких десятков тысяч километров. Из радиолокационных наблюдений Венеры получено следующее значение астрономической единицы:
1 а. е. = (149 597 868 ± 0,7) км.
Округленному значению астрономической единицы ( 149600 000 км ) соответствует параллакс Солнца = 8,7940′.
3*. Лазерная локация Луны. Вскоре после изобретения мощных источников светового излучения — оптических квантовых генераторов (лазеров) — стали проводиться опыты по лазерной локации Луны. Метод лазерной локации аналогичен радиолокации, однако точность измерения значительно выше. Оптическая локация дает возможность определить расстояние между выбранными точками лунной и земной поверхности с точностью до сантиметров. Такая высокая точность нужна для решения ряда задач космической геодезии, выяснения вопросов о движении земных континентов, дальнейшего развития космических исследований.
Рис. 26. Вычисление радиуса Земли.
4. Определение размеров тел Солнечной системы. Прежде всего познакомимся с методом определения радиуса Земли. Принимая Землю за шар радиуса , измеряют линейное ( l , например, в километрах) и угловое ( n , например, в градусах) расстояния между двумя пунктами земной поверхности, расположенными на одном географическом меридиане (рис. 26). Затем вычисляют длину дуги, соответствующую 1° этого меридиана, а потом и радиус Земли. Пусть l — длина дуги АВ, а центральный угол, опирающийся на эту дугу и равный разности географических широт точек А и В,AOB= п (О — центр Земли), тогда длина дуги 1° меридиана будет равна а значит,
(21)
При наблюдениях небесных тел Солнечной системы можно измерить угол, под которым они видны земному наблюдателю. Зная этот угловой радиус светила ρ и расстояние до светила D, можно вычислить линейный радиус R (рис. 27):
Рис. 27. Определение линейных размеров тел Солнечной системы.
(22)
Учитывая формулу (19), получим:
(22′)
А так как углы и малы, то
(23)
Источник
CheckTests
Создай свой урок с применением ПК
§ 10. Определение размеров небесных тел и расстояний до них в Солнечной системе
1. Определение размеров Земли. Первый известный науке метод определения размеров Земли применил греческий учёный Эратосфен. Он выбрал два города, лежащих на одном и том же географическом меридиане земного шара, — Александрию (01) и Сиену (02) (рис. 41). Из рисунка видно, что если обозначить длину дуги меридиана 0102 через l, а её угловое значение через n (в градусах), то длина дуги 1° меридиана l0 будет равна:
а длина всей окружности меридиана:
где R — радиус земного шара. Отсюда
Длина дуги меридиана между выбранными на земной поверхности точками 01 и 02 в градусах равна разности географических широт этих точек, т. е. n = Δφ= φ1— φ2.
Рисунок 41 — Вычисление радиуса Земли
Длина дуги l — расстояние между Александрией и Сиеной — была хорошо известна. Угол n Эратосфен измерил, используя то обстоятельство, что Сиена лежит на тропике Рака и в день летнего солнцестояния Солнце в полдень здесь наблюдалось в зените. А в Александрии Солнце до зенита не доходило и шест, врытый перпендикулярно в землю, отбрасывал тень. Измерив длину этой тени, Эратосфен получил значение n = 7,2° и длину окружности L примерно 45 тыс. км (современное значение 40 тыс. км).
Современная геодезия располагает точными методами для измерения расстояний на земной поверхности. Определение расстояния l между точками01 и 02 (см. рис. 41) затруднено из-за естественных препятствий (гор, рек, лесов и т. п.).
Рисунок 42 — Метод триангуляции
Поэтому длина дуги l определяется путём вычислений, требующих измерения только сравнительно небольшого расстояния — базиса и ряда углов.
Этот метод разработан в геодезии и называется триангуляцией (лат. triangulum — треугольник).
Суть его состоит в следующем. По обе стороны дуги O1О2, длину которой необходимо определить, выбирается несколько точек А, В, С, … на взаимных расстояниях до 50 км с таким расчётом, чтобы из каждой точки были видны по меньшей мере две другие точки (рис. 42).
Геодезическая вышка. На ее вершине укреплен цилиндр, на который при измерениях наводят теодолит для измерения углов.
Длину базиса очень тщательно измеряют специальными мерными лентами. Измеренные углы в треугольниках и длина базиса позволяют по тригонометрическим формулам вычислить стороны треугольников, а по ним — длину дуги O1О2 с учётом её кривизны.
В России с 1816 по 1855 г. под руководством В. Я. Струве была измерена дуга меридиана длиной 2800 км. В 30-е гг. ХХ в. высокоточные градусные измерения были проведены в СССР под руководством профессора Ф. Н. Красовского.
Триангуляционные измерения показали, что длина дуги 1° меридиана не одинакова под разными широтами: около экватора она равна 110,6 км, а около полюсов — 111,7 км, т. е. увеличивается к полюсам. Истинная форма Земли не может быть представлена ни одним из известных геометрических тел. Поэтому в геодезии и гравиметрии форму Земли считают геоидом , т. е. телом с поверхностью, близкой к поверхности спокойного океана и продолженной под материками.
В настоящее время созданы триангуляционные сети со сложной радиолокационной аппаратурой, установленной на наземных пунктах, и с отражателями на геодезических искусственных спутниках Земли, что позволяет точно вычислять расстояния между пунктами. Значительный вклад в развитие космической геодезии внёс уроженец Беларуси — известный геодезист, гидрограф и астроном И. Д. Жонголович. На основе изучения динамики движения искусственных спутников Земли он уточнил сжатие нашей планеты и несимметричность Северного и Южного полушарий.
Рисунок 43 — Горизонтальный параллакс светила
2. Определение расстояний методом горизонтального параллакса. Кажущееся смещение светила, обусловленное перемещением наблюдателя, называется параллактическим смещением или параллаксом светила. Параллактические смещения светила тем больше, чем ближе оно к наблюдателю и чем больше перемещение наблюдателя.
Определение расстояний до тел Солнечной системы основано на измерении их горизонтальных параллаксов. Угол р, под которым со светила виден радиус Земли, перпендикулярный к лучу зрения, называется горизонтальным параллаксом (рис. 43). Чем больше расстояние до светила, тем меньше угол р.
Зная горизонтальный параллакс светила, можно определить его расстояние D = SO от центра Земли. Расстояние до светила
\( D=\frac\) , где RЕ — радиус Земли. Приняв RЕ за единицу, можно выразить расстояние до светила в земных радиусах.
Например, параллакс Солнца р ¤ = 8,794″. Параллаксу Солнца соответствует среднее расстояние от Земли до Солнца, примерно равное 149,6 млн км. Это расстояние принимается за одну астрономическую единицу (1 а. е.). В астрономических единицах удобно измерять расстояния между телами Солнечной системы.
При малых углах sin p » p, если угол р выражен в радианах. Если угол р выражен в секундах дуги, то вводится множитель
где 206 265 — число секунд в одном радиане. Тогда
Эта формула значительно упрощает вычисление расстояния D до светила по известному параллаксу p .
3. Радиолокационный метод. Для определения расстояний до тел Солнечной системы используются наиболее точные методы измерений — радиолокационные измерения . Измерив время t, необходимое для того, чтобы радиолокационный импульс достиг небесного тела, отразился и вернулся на Землю, вычисляют расстояние D до этого тела по формуле:
где с — скорость света, равная примерно 3·10 8 м/с.
С помощью радиолокации определены наиболее точные значения расстояний до тел Солнечной системы, уточнены расстояния между материками Земли, более точно определена астрономическая единица (1 а. е. = 149 597 870 ± 2 км).
Методы лазерной локации (использующие, например, специальные уголковые отражатели, доставленные на Луну) позволили измерить расстояния от Земли до Луны с точностью до нескольких сантиметров.
Рисунок 44 — Определение линейных размеров тел Солнечной системы
4. Определение размеров тел Солнечной системы. При наблюдениях небесных тел Солнечной системы можно измерить угол, под которым они видны наблюдателю с Земли. Зная угловой радиус светила р (рис. 44) и расстояние D до светила, можно вычислить линейный радиус R этого светила по формуле R = D ⋅ sin ρ.
По определению горизонтального параллакса, радиус Земли RÅ виден со светила под углом р, тогда получим:
Так как значения углов r и р малы, окончательно имеем:
Определение размеров небесных тел таким способом возможно только тогда, когда видны их диски.
Главные выводы
Контрольные вопросы и задания 1. Каким образом греческий ученый Эратосфен определил размеры Земли? 2. Как определяют длину дуги меридиана триангуляционным методом? 3. Что понимают под горизонтальным параллаксом? 4. Как определить расстояние до светила, зная его горизонтальный параллакс? 5. Что такое астрономическая единица? 6. В чем состоит радиолокационный метод определения расстояний до небесных тел? 7. На каком расстоянии от Земли находится небесное тело, если его горизонтальный параллакс равен 1ʹ? 8. Определите линейный радиус Луны, если в ходе наблюдений стало известно, что ее горизонтальный параллакс в это время равен 57’, а угловой радиус — 15,5ʹ. Радиус Земли принять равным 6400 км. 9. Оцените расстояние от Солнца до Меркурия, если его наибольшая элонгация равна 28°. 10. Определите диаметр Меркурия, если при прохождении по диску Солнца его угловой диаметр оказался 11,0″, а горизонтальный параллакс в этот момент равен 14,3″.
CAB и 
АВС. Таким образом, в треугольнике ABC известны углы и сторона АВ = с. Остальные элементы косоугольного треугольника ABC можно вычислить по формулам тригонометрии.
(19)
— экваториальный радиус Земли (сущность способа определения радиуса Земли будет изложена в § 12); р0 — горизонтальный параллакс светила.
= 8,79′). Поскольку углы р0 малы, то их синусы можно заменить самими углами, т.е. sin р0 ≈ р0, если величина угла выражена в радианах. Но р0 обычно выражено в секундах дуги, поэтому 
так как 1 радиан = 57,3° = 3438′ = 206265′. Учитывая это, формулу (19) можно записать в виде:
(20)
— либо в километрах (если 
— в километрах), либо в радиусах Земли.
= 8,7940′.
, измеряют линейное ( l , например, в километрах) и угловое ( n , например, в градусах) расстояния между двумя пунктами земной поверхности, расположенными на одном географическом меридиане (рис. 26). Затем вычисляют длину дуги, соответствующую 1° этого меридиана, а потом и радиус Земли. Пусть l — длина дуги АВ, а центральный угол, опирающийся на эту дугу и равный разности географических широт точек А и В, 
AOB = п (О — центр Земли), тогда длина дуги 1° меридиана будет равна 
а значит,
(21)
(22)
(22′)
и 
малы, то
(23)
