Прямая общего положения замена способом замену плоскостей

Метод замены плоскостей проекций

Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.

Замена одной плоскости проекции

Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.

Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П₁, П₂. Введем дополнительную горизонтальную пл. П₄. Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П₂ и пересечет её по оси x₁. Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.

В новой системе плоскостей положение точки A» не изменится. Чтобы найти точку A’₁, которая является проекцией т. А на плоскость П₄, проведем из A» перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок A_x1А’₁, равный отрезку A_xA’.

Данные построения основаны на равенстве ординат точек A’ и А’₁. Действительно, в системе плоскостей П₁, П₂ и в системе П₂, П₄ точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П₂ на одно и то же расстояние.

Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П₁, П₄ (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П₄, которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁ и пересечет её по оси x₁.

В системе П₁, П₄ положение точки B’ останется неизменным. Чтобы найти точку B»₁, проведем из B’ перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок B_x1B»₁ равный отрезку B_xB». Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B» и B»₁.

Замена двух плоскостей проекций

Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A’ и A» – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П₁, П₂. Введем первую дополнительную плоскость П₄ и определим новую горизонтальную проекцию A’₁ точки A, как это было описано ранее.

Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П₂, П₄ в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П₅ перпендикулярно горизонтальной пл. П₄. Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x₂ = П₄ ∩ П₅. Из точки A’₁, положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x₂. На нем от точки A_x2 отложим отрезок A_x2A»₁ равный отрезку A»A_x1.

Использование метода замены при решении задач

Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П₄ проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.

На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П₁, П₄ так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h_0α введем дополнительную фронтальную плоскость П₄.

Новый фронтальный след f_0α1 строится по двум точкам. Одна из них, X_α1, лежит на пересечении h_0α с осью x₁. Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N»₁ на плоскости П₄.

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.

Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f_0β1 и f_0α1, параллельных друг другу.

Источник

58. Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций.

1. Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня.

Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П₄, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П₁_|_П₂ перейти к системе П₄ _|_ П₁ или П₄ _|_ П₂. На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рис. 108 построено изображение прямой l (А, В) общего положения в системе плоскостей П₁ _|_ П₄, причем П₄ || l. Новые линии связи A₁A₄ и В₁В₄проведены

перпендикулярно новой оси —П₁/П₄ параллельной горизонтальной проекции l₁.

Новая проекция прямой дает истинную величину А₄В₄отрезка АВ (см. § 11) и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L₁П₁). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L₁П₂) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П4_|_П₂ (рис. 109).

2. Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение.

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой (см. § 10), новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости П₄_|_ П₁. (рис. 110), а фронталь f— на П₄_|_ П₂

Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоскостей проекций. На рис. 111 исходный чертеж прямой l (А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости П₄_|_ П₂, расположенной параллельно самой прямой l. В системе плоскостей П₂_|_ П₄, прямая заняла положение линии l уровня (А₂А₄ _|_П₂/П₁;

П₄ _|_П₅, причем вторая новая плоскость проекций П₅ перпендикулярна самой прямой l. Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П₄, то на плоскости П₅ получаем изображение прямой в виде точки (А₅ = B₅ = l₅).

3. Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение.

Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, если учесть, что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной плоскости общего положения. Тогда все линии этого уровня на новой плоскости проекций изобразятся точками, которые и дадут «вырожденную» в прямую проекцию плоскости (см. § 47).

На рис. 112 дано построение нового изображения плоскости 0 (ABC) в системе плоскостей П₄ _|_П₁. Для этого в плоскости 0 построена горизонталь h(A, 1), и новая плоскость проекций П₄ расположена перпендикулярно горизонтали h. Графическое решение третьей исходной задачи приводят к построению изображения плоскости в виде прямой линии, угол наклона которой к новой оси проекции П₁/П₄, определяет угол наклона а плоскости Q(ABC) к горизонтальной плоскости проекций (а = Q ^ П₁).

Построив изображение плоскости общего положения в системе П₂ _|_П₄, (П₄ расположить перпендикулярно фронтали плоскости),

можно определить угол наклона Р этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.

4. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.

Решение этой задачи позволяет определить величину плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим, то новое изображение строят в системе и П₂ _|_П₄, а если горизонтально проецирующим, то в системе П₁ _|_П₄. Новая ось проекций будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости (см. § 47). На рис. 113 построена новая проекция А₄В₄С₄горизонтально проецирующей плоскости Sum (ABC) на плоскости П₄ _|_П₁

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно задачу 3; а затем задачу 4. При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй — плоскостью уровня (рис. 114).

В плоскости А(DEF) проведена горизонталь h (D — 1). По отношению к горизонтали проведена первая ось П₁ / П₄ _|_h₁. Вторая новая ось

проекций параллельна вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи — перпендикулярны вырожденной проекции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на плоскости П₅ нужно замерить на плоскости П₁от оси П₁ / П₂и откладывать по новым линиям связи от новой оси П₄ /П₅. Проекция D₅E₅F₅треугольника DEF конгруэнтна самому треугольнику ABC.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.

Источник

Прямая общего положения замена способом замену плоскостей

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Во многих случаях трудоемкость решения задачи зависит не столько от сложности ее условия, сколько от положения заданных геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Во всех случаях, когда заданные геометрические фигуры являются проецирующими, решение задачи, как правило, упрощается, Такое положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций, при котором мы непосредственно по чертежу получаем ответ на поставленный в задаче вопрос, называется наивыгоднейшим. Например, по рис. 3.1, б можно сразу определить расстояние между параллельными прямыми а и б, а по рис. 3.1, а, этого сделать нельзя.
Рис. 3.1

Таким образом, при решении той или иной задачи бывает целесообразно преобразовать чертеж так, чтобы заданные геометрические фигуры оказались бы в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов:

1) на изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур;

2) на изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций;

3) на изменении направления проецирования, т. е. на замене ортогонального проецирования косоугольным или центральным на одну из старых плоскостей проекций или на какую-нибудь новую. Рассмотрим некоторые из них.

Читайте также:  Способ уменьшаемого остатка может применяться

Сущность способа состоит в том, что одну из заданных плоскостей проекций (П₁ или П₂) заменяют новой плоскостью П₄. При этом положение второй плоскости проекций и заданных геометрических фигур остается неизменным. Новая плоскость проекций П₄ выбирается с таким расчетом, чтобы она занимала частное положение по отношению к рассматриваемой геометрической фигуре и была при этом перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Таким образом, исходная (старая) система плоскостей проекций П₂/П₁ может быть преобразована в новую систему П₂/ П₄ при замене плоскости П₁ плоскостью П₄ П₂ или в систему П₄/П₁ при замене плоскости П₂ плоскостью П₄П₁. Каждая из этих полученных систем может быть преобразована в новую путем замены плоскости проекций, не заменявшейся в предыдущем преобразовании. Таким образом, система П₂/ П₄ может быть преобразована в систему П₅/П₄ при замене плоскости П₂ плоскостью П₅ П₄, а система П₄/П₁ — в систему П₄/П₅ — при замене плоскости П₁ плоскостью
П₅П₄ и т. д.
Такое последовательное преобразование исходной системы плоскостей проекций позволяет получить новую систему, в которой рассматриваемые геометрические фигуры окажутся в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций П₁ (или П₂), другая плоскость П₂ (или П₁) должна оставаться неизменной.
Все свойства геометрических фигур и их изображений, ранее рассмотренные в исходной П₂/П₁ системе, справедливы и для новой системы плоскостей проекций.
Каждая новая плоскость проекций П₄, П₅, . условно называется так же, как та из основных, которую она заменяет. Так, например, плоскость П₄, заменяющая горизонтальную плоскость П₁, условно называется также «горизонтальной», хотя она не занимает горизонтального положения в пространстве.
Рассмотрим инварианты преобразования, позволяющие по чертежу объекта, выполненному в старой системе, построить чертеж в новой системе плоскостей проекций.

Замена фронтальной плоскости проекций
(преобразование системы П₂/П₁ в систему П₄/П₁)

Заменим фронтальную плоскость проекций П₂, новой плоскостью П₄ (которую условно будем называть тоже фронтальной), перпендикулярной к П₁, и образующей с плоскостью П₂ некоторый угол (в случае проецирования точки этот угол произволен). В результате получим новую систему плоскостей проекций П₄/П₁. Плоскость П₁ является общей для старой и новой систем плоскостей проекций.
В новой системе П₄/П₁ имеем: X₁₄ = П₁П₄ — новая ось проекций, А₁ и А₄ — ортогональные проекции точки А.
При переходе от старой системы П₂/П₁ к новой П₄/П₁ остаются неизменными (являются инвариантами преобразования):

1) плоскость П₁ и точка А;

2) горизонтальная проекция А₁, точки А;

3) расстояние точки А до плоскости П₁, т. е. &#124 AA₁ &#124 = &#124 A₂A₁₂ &#124 = &#124 A₄A₁₄ &#124.
На динамическом рисунке 3.3 показан механизм рассмотренного проекционного преобразования.
Рис. 3.3 (анимационный)

Выявленные инварианты преобразования позволяют построить по комплексному чертежу точки в старой системе плоскостей проекций ее комплексный чертеж в повой системе. Для этого на комплексном чертеже точки А (А₁,А₂) проводим новую ось проекций х₁₄ (рис. 3.2), положение которой определяется положением новой фронтальной плоскости проекций П₄. Из точки А₁ проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х₁₄. На линии связи от точки А₁₄ откладываем отрезок
&#124 А₁₄А₄ &#124 = &#124 А₁₂А₂ &#124. Полученная таким образом точка А₄ является проекцией точки А на плоскость П₄. В новой системе плоскостей проекций П₄/П₁ положение точки А определяется проекциями А₁ и А₄.

Замена горизонтальной плоскости проекций
(преобразование системы П₂/П₁ в систему П₂/П₄)

Заменим горизонтальную плоскость проекций П₁, новой плоскостью П₄ (которую условно будем называть тоже горизонтальной), перпендикулярной к П₂, и образующей с плоскостью П₁ некоторый угол (в случае проецирования точки величина угла произвольна). В результате получим новую систему плоскостей проекций
П₂/П₄. Плоскость П₂, является общей для старой и новой систем плоскостей проекций. В новой системе П₂/П₄ имеем: X₂₄ = П₂П₄ — новая ось проекций, А₂ и А₄ — ортогональные проекции точки А.
При переходе от старой системы П₂/П₁ к новой П₂/П₄ остаются неизменными (являются инвариантами преобразования):

1) плоскость П₂ и точка А;

2) фронтальная проекция А₂, точки А;

3) расстояние точки А до плоскости П₂, т. е. &#124 AA₂ &#124 = &#124 A₁A₁₂ &#124 = &#124 A₄A₂₄ &#124.
Динамический рисунок 3.5 демонстрирует механизм рассмотренного проекционного преобразования.
Рис. 3.5 (анимационный)

Выявленные инварианты преобразования позволяют построить по комплексному чертежу точки в старой системе плоскостей проекций ее комплексный чертеж в повой системе. Для этого на комплексном чертеже точки А (А₁,А₂) проводим новую ось проекций х₂₄ (рис. 3.4), положение которой определяется положением новой горизонтальной плоскости проекций П₄. Из точки А₂ проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х₂₄. На линии связи от точки А₂₄ откладываем отрезок &#124 А₂₄А₄ &#124 = &#124 А₁₂А₁ &#124. Полученная точка А₄ является проекцией точки А на плоскость П₄. В новой системе плоскостей проекций П₂/П₄ положение точки А определяется проекциями А₂ и А₄.
При необходимости выполнить две последовательные замены плоскостей проекций преобразование выполняется так, как показано на рис. 3.6. Подумайте и выполните преобразование комплексного чертежа точки А в системе П₂/П₁ в комплексный чертеж в системе П₂/П₄, а затем в системе П₄/П₅.
Рис. 3.6

Читайте также:  Что означает способ образования объекта 5

При решении задач с применением способа замены плоскостей проекций удобнее исходный комплексный чертеж задавать в осной системе изображения. Если же исходный чертеж выполнен в безосной системе, то можно зафиксировать плоскости проекций П₁ и П₂ в каком-либо удобном положении. Эта пространственная операция отражается на комплексном чертеже проведением оси проекций между горизонтальной и фронтальной проекциями объекта.

Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения (рис. 3.7) в линию уровня (горизонталь или фронталь).

Ре ш е н и е. Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П₁, или П₂ новой плоскостью проекций П₄, параллельной прямой l и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Для того чтобы прямая l в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, заменяем фронтальную плоскость проекций П₂ новой плоскостью П₄ П₁ и параллельной прямой l. Динамика данного проекционного преобразования показана на рис. 3.8.
Рис. 3.8 (анимационный)

Построение на комплексном чертеже (рис. 3.7).
1) проводим новую ось проекций х₁₄ параллельно l₁ на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х₁₄ обусловливается тем, что П₄ параллельна l. В частном случае, если плоскость П₄ проведена непосредственно через прямую l,
ось х₁₄ = l₁;
2) выберем на прямой l две точки А(А₁А₂) и В(В₁В₂);
3) построим проекции точек А и В на плоскости П₄;
4) прямая l₄ (А₄, В₄) является проекцией прямой l на плоскость П₄. Прямая l(A,B) в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ является фронталью.
Примечания:

1. Отрезок [АВ] прямой l проецируется на плоскость П₄ в истинную величину, т.е. &#124 А₄В₄ &#124 = &#124 АB &#124

2. — величина угла наклона прямой l к плоскости П₁.

Подумайте и решите задачу 1 в безосной системе изображения.
Преобразуйте прямую l так, чтобы она стала в новой системе плоскостей проекций горизонталью.

3адача 2. Преобразовать линию уровня в проецирующую прямую.

Для решения задачи заменяем плоскость П₂ исходной системы П₂/П₁ плоскостью П₄h, при этом плоскость П₄ будет перпендикулярна П₁
так как h П₁ и образует с ней новую систему плоскостей проекций П₁/П₄.
Построения на комплексном чертеже:

1) проводим новую ось проекций х₁₄h;

2) выберем на прямой h две точки А(А₁,А₂) и В(В₁,В₂);

3) построим проекции точек А и В на плоскости П₄; так как расстояния точек А и В до плоскости П₁ одинаковы, то проекции их на плоскости П₄ совпадут, т. е. h₄ = А₄ = В₄. Прямая h(h₁,h₄) в новой системе плоскостей проекций является фронтально проецирующей.

Задайте самостоятельно комплексный чертеж фронтали f и преобразуйте ее в проецирющую прямую.
Подумайте и решите задачу 2 в безосной системе изображений.

Прямую общего положения преобразовать в проецирующую заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П₄ перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций, и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Рис. 3.10

Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале прямую следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую. На рис. 3.10 показано преобразование прямой l общего положения в горизонтально проецирующую.
Прямую l общего положения преобразуйте во фронтально проецирующую (чертеж задайте самостоятельно).

3адача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (рис. 3.11)

На чертеже плоскость (АВС) преобразована во фронтально проецирующую (см. рис. 3.11) путем преобразования горизонтали h(h₁,h₂), принадлежащей плоскости , во фронтально проецирующую прямую (см, задачу 2). Все построения, выполненные на комплексном чертеже, cделаны на основе материала данного параграфа. В новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ плоскость является фронтально проецирующей ( ₄ (С₄, А₄, В₄).
— величина угла наклона плоскости к плоскости П₁.
Преобразуйте плоскость общего положения Г в горизонтально проецирующую (исходный чертеж задайте самостоятельно).

3адача 4. Преобразовать проецирующую плоскость Г в плоскость уровня.

Построения на комплексном чертеже:

1) проводим новую ось проекций х₂₄ параллельно А₂С₂ на произвольном от нее расстоянии; такое положение оси проекций х₂₄ обусловливается тем, что П₄ параллельна Г(АВС). Ось х₂₄ совпадает с прямой
(А₂С₂), если плоскость П₄ совмещается с плоскостью Г(АВС);

2) построим проекции точек А, В и С на плоскость П₄;

3) треугольник А₄В₄С₄ является проекцией треугольника АВС на плоскость П₄.
Примечание.
Так как плоскость треугольника АВС параллельна плоскости П₄, то А₄В₄С₄АВС.
Преобразуйте горизонтально проецирующую плоскость во фронтальную плоскость уровня (исходный чертеж задайте самостоятельно).
Примечание.
Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П₄, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций.
Рис. 3.13

Вначале плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня. На рис. 3.13 показано преобразование плоскости (АВС) в горизонтальную плоскость уровня.
Преобразуйте плоскость общего положения во фронтальную плоскость уровня (исходный чертеж задайте самостоятельно).

Источник