Проверьте правильность умозаключения табличным способом

Прямые умозаключения логики высказываний

Умозаключения логики высказываний основаны на структуре сложных суждений (на смысле логических связок, объединяющих простые суждения в сложные) и не учитывают внутреннюю структуру простых суждений, входящих в посылки.

Умозаключения логики высказываний бывают прямые и непрямые. Прямыми называются умозаключения, в которых заключение выводится из некоторого множества суждений. Непрямыми являются умозаключения, которые получаются путём преобразования других умозаключений.

Виды простых[2] форм прямых умозаключений логики суждений:

1. Условно-категорические – это умозаключения, в которых одна посылка – условное суждение, а вторая посылка и заключение – суждения категорические. Условно-категорические умозаключения бывают двух разновидностей:

а) утверждающий модус: А®В, А В

б) отрицающий модус: А®В, щВ щА

(В схемах умозаключений над чертой записываются посылки, под чертой – заключение, черта означает «следовательно»; А и В – простые суждения).

Пример 1. Если человек простужен (А), то он болен (В).

Пример 2. Если человек простужен (А), то он болен (В).

Он не простужен (ùА).

Сходные схемы

А®В, В А

А®В, ùА ùВ

не являются правильными.

Пример 3. Из посылок «Если человек простужен (А), то он болен (В)» и «Человек болен (В)» вовсе не обязательно следует «Он простужен (А)». «Человек болен» может означать, что у него сломана нога, поднялось давление и т. п. И только с определенной долей вероятности может оказаться, что он болен, потому что простужен. Аналогично вероятным получится заключение и для отрицающего модуса.

2. Разделительно-категорические – это умозаключения, в которых одна посылка – разделительное суждение, а другая посылка и заключение – суждения категорические. Разделительно-категорические умозаключения также бывают двух разновидностей:

а) утверждающе-отрицающая схема:	б) отрицающе-утверждающая схема:
АЪВ, В щА	АЪВ, А щВ	АЪ (Ъ) В, щА В	АЪ (Ъ) В, щВ А

Пример. Отрицающе-утверждающая схема:

Либо мы уходим (А), либо мы остаемся (В).

3. Дилеммы (условно-разделительные силлогизмы) – это умозаключения, в которых две посылки – условные суждения, одна – разделительное, а заключение — либо простое суждение (в простой дилемме), либо сложное разделительное (дизъюнктивное) суждение (в сложной дилемме).

а) простая конструктивная дилемма:	б) простая деструктивная дилемма:
А®С, В®С АЪВ С	А®В, А®С щВЪщС щА
в) сложная конструктивная дилемма:	г) сложная деструктивная дилемма:
А®В, С®D AЪC BЪD	A®B, C®D щBЪщD щAЪщC

Пример. «Если вы будете говорить правду (А), люди проклянут вас (В), а если будете лгать (С), то вас проклянут боги (D). Но вы можете только говорить правду (A) или лгать (C). Значит, вас проклянут боги (D) или люди (B)». Если мы выпишем из этого рассуждения только буквенные обозначения простых суждений, соединив их соответствующими логическими связками, то получим форму сложной конструктивной дилеммы.

Имеется и еще одна форма дилемм – конструктивно-деструктивные, или деструктивно-конструктивные. В этих умозаключениях некоторые из членов разделительной посылки указывают на наличие оснований условных посылок, а некоторые – отрицают следствия (консеквенты) других условных посылок. Например, конструктивно-деструктивной является дилемма вида:

4. Чисто условные умозаключения – это вывод из любого количества посылок, которые представляют собой условные суждения и заключения которых также являются условными суждениями. К этим умозаключениям, в частности, относятся транзитивность импликации и правило контрапозиции.

а) транзитивность импликации:

Пример. «Если лобная кора головного мозга повреждена (A), то взаимодействие личности с внешней средой нарушается (B). В этом случае (B) человек утрачивает реальное восприятие действительности (C), а значит (C), превращается в раба ситуации (D)». Это умозаключение имеет форму транзитивности импликации с тремя посылками:

б) правило контрапозиции:

Пример. «Если человек знает геометрию (А), то он знает теорему Пифагора (В). Следовательно, если он не знает теоремы Пифагора (ùВ), то он не знает геометрии (ùА).

Все приведённые выше формы умозаключений являются правильными, то есть их соблюдение гарантирует правильность заключения при истинности посылок. Иногда эти формы называют правилами соответствующих умозаключений.

Для проверки правильности умозаключений, не сводимых к этим типам, используется, прежде всего, табличный метод. Он основан на том, что между посылками и заключением дедуктивного умозаключения должно существовать отношение логического следования, означающее, что заключение не может быть ложным, если все посылки истинны.

Чтобы проверить правильность умозаключения табличным способом, нужно составить формулу этого умозаключения. Для этого следует:

1) записать посылки и заключение на языке логики суждений;

2) соединить между собой посылки с помощью конъюнкции;

3) присоединить заключение к посылкам с помощью импликации;

4) для полученной формулы составить таблицу истинности.

Умозаключение будет правильным (гарантирующим истинность заключения при истинности посылок) только в том случае, если его формула является тождественно истинной (в последнем столбце таблицы все значения – «истина»).

Пример. «Если философ – дуалист, то он не материалист. Если он не материалист, то он диалектик или метафизик. Он не метафизик. Следовательно, он диалектик или дуалист».

Данное умозаключение довольно сложно привести к какому-либо традиционному типу, поэтому проверим его правильность табличным способом.

Запишем посылки и заключение нашего суждения на языке логики суждений. Обозначим: р – философ – дуалист; q – философ – материалист; r – философ – метафизик; s – философ – диалектик.

Тогда первая посылка – «Если философ – дуалист (р), то он не материалист (ùq)» – на языке логики суждений имеет вид:

Вторая посылка – «Если он не материалист (ùq), то он диалектик (s) или метафизик (r)» – запишется так:

Третья посылка – «Он не метафизик»:

Заключение – «Он диалектик (s) или дуалист (р)»:

Соединяя посылки конъюнкцией (Ù) и присоединяя к ним заключение импликацией (É), получаем формулу:

Для этой формулы составляем таблицу истинности:

ùq

ùr

(р®ùq)

sÚr

ùq®B

AÙC

DÙùr

sÚр

D®F

Получилась выполнимая формула, так как последний столбец таблицы истинности содержит и значения «истина», и значения «ложь». Это говорит о том, что умозаключение вероятное.

При проверке правильности умозаключений можно не строить таблицу полностью, а, получив значения истинности посылок и заключения, ограничиваться рассмотрением только тех строк, в которых все посылки принимают значения «истина». Так, в данном примере, получив значения в столбцах 6 (третья посылка), 7 (первая посылка), 9 (вторая посылка) и 12 (заключение), мы могли бы исследовать только строки 6, 7, 8, 14.

Дело в том, что, с одной стороны, вести речь об истинности заключения имеет смысл только при условии истинности посылок. При ложных посылках даже правильное по форме умозаключение не может гарантировать истинности заключения. А, с другой стороны, проверяя правильность умозаключения, мы, по существу, проверяем, соблюдается ли в нем отношение логического следования между посылками и заключением. Оно как раз и состоит в том, что во всех случаях, когда посылки — истинные суждения, заключение — также истинное суждение, и ни в одной строке таблицы не наблюдается случая, когда все посылки истинны, а заключение ложно. При ложной же посылке мы вообще не можем говорить об отношении логического следования.

Источник

Табличный метод проверки умозаключений. Основные способы правильных умозаключений в логике высказываний.

Табличный способ проверки умозаключений подразумевает выяснение, с помощью таблиц, находится ли заключение в отношении логического следования к посылкам

Если на улице день, то за окном светло. Сейчас день, следовательно, сейчас светло.

p	q	(p q)	p	q
И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	И
Л	Л	И	Л	И

Отсутствует строка в таблице, где истинным посылкам соответствовало бы ложное заключение, следовательно, данные формулы находятся в отношении логического следования и данное умозаключение верно.

Краткий способ проверки умозаключений состоит в том, чтобы, допустив возможность существования строки, где истинным посылкам соответствует ложное заключение, постепенно заполнять эту строку исходя из возможных значений переменных ив конце концов прийти к противоречию, доказав таким образом, что подобной строки нет, и умозаключение верно.

Подобным же образом доказывается тождественная истинность или тождественная ложность формулы

Основные способы (модусы) правильных умозаключений в логике высказываний

2ух посылочное умозаключение, которое содержит импликативную посылку, другая посылка может быть антецедентом (А), либо консеквентом (В) первой посылки, либо отрицанием того или другого:

условное суждение (А В)

(А В), А — MODUS PONNENS “утверждающий способ рассуждения” В

(А В), B — MODUS TOLLENS “отрицающий способ рассуждения” A

Пример 1: Если отмечаем спад производства, то растет число безработных. Спад производства отмечается. Следовательно, число безработных растет.

Пример 2: Если благородная цель оправдывает любые средства, то можно лишить человека жизни, если он смертельно болен, и вы хотите ускорить его срадания. Нельзя лишить человека жизни, если он смертельно болен, вы хотите ускорить его страдания. Поэтому неверно, что благародная цель оправдывает средства.

2 посылки, дизъюнктивная или строго дизъюнктивная. Другая посылка – какой-то из дизъюнктивных членов или его отрицание:

_ (А В), А — MODUS TOLLENDO-PONNENS “отрицающе-утверждающий”

_ (А —В), А — MODUS PONENDO-TOLLENS “утверждающе-отрицающий”

3 посылки (несколько импликативных, одна дизъюнктивная):

Два условных суждения

_А C, B C, А В — простая конструктивная

_А B, C D, А С — сложная конструктивная

B D

_А B, A C, B C — простая деструктивная

19)Взаимная выразимость функций истинности. Функционально полные системы связок.

20)Логические исчисления, их способы построения и виды.

Логика – наука о рассуждениях. Два подвида рассуждений: дедуктивные и правдоподобные. Дедуктивные – рассуждения, в которых между высказываниями, принятыми в качестве исходных (посылок), и заключениями существует отношение логического следования. Каждый шаг рассуждения осуществляется на основе правила, называемого правилом вывода. Дедукция нужна и в обыденной жизни, и в научном познании. Существует несколько типов дедуктивной теории:

Дедуктивно организованная систему: каждое утверждение теории дедуктивно выводится из первоначально принятых исходных утверждений, аксиомы. Например, геометрия Евклида. Аксиомы являются истинными высказываниями, выводимые из них умозаключения тоже являются истинными. Но есть недостаток: специально не выделяются средства дедукции, много дедуктивных шагов происходит на интуитивном уровне, что приводит к пропуску шагов в рассуждении.

Оформляется не только само знание, но и средства получения – логические законы и способы дедуктивного рассуждения. Фиксируются на специально созданном языке символическом, а рассуждения строятся в преобразовании одних последовательностей в другие. Такого рода теории называются исчислениями.

Логические исчисления — формальная теория, особенность которых состоит в том, что утверждениями указанных теорий являются логические законы. Рассуждения, которые строятся в рамках исчисления, не будут содержательными, а будут формальными. В логических исчислениях осуществляется формализация содержательных логических теория.

1. Задается формализованный язык.

2. Задаются дедуктивные постулаты, принципы вычисления высказываний

(а) аксиома — формула языка, которая является законом изначально.

(б) Утверждения выводимости одних формул из других: A1, A2. An |— B

(в) Прямые правила вывода — правила перехода от одной (или нескольких) формул к другой.

(г) непрямые правила вывода — на основании других правил.

(д) Правило редукции — один список формул заменяется другим.

3. Определяется правило обоснования логических законов – дать опр. доказуемой формулы.

4. Вводятся теоремы (синтаксический аналог логического закона)

5. Определяется процедура обоснования перехода от одних формул к другим (понятие вывода)

6. Определяются отношение выводимости (аналог логического следования)

Типы логических исчислений: (отличаются характером дедуктивных постулатов, спецификой построения доказательства)

1. Аксиоматические исчисления. Дедуктивный постулат — аксиомы, правила вывода (обычно прямые). Последовательность формул (аналог высказывания)

2. Натуральное исчисление. Задача — построить логическую систему, где будут отражаться естественные способы естественные способы рассуждения. Особенность — первый дедуктивный постулат — правило вывода.

3. Сиквенциальное исчисления. Дедуктивный постулат — утверждение о выводимости, непрямые правила.

4. Аналитико-табличное исчисление. Дедуктивный постулат — правило редукции. Процедура доказательства и вывода максимально упрощена.

21)Аксиоматическое исчисление высказываний со схемами аксиом.

Достоинства аксиоматического исчисления — способ доказательства аналогичен доказательствам в научных дисциплинах. Постулаты — логически простые исходные понятия доказательства.

Недостаток — практически доказать очень сложно.

Классическое аксиоматическое высказываний.

Все строится так, чтобы класс теорем исчисления совпадал с классом тождественно-истинных формул.

A1, A2. An |— B тогда и только тогда A1, A2. An|=B

1. Язык(тот же самый, что в логике высказываний)_

Исходные логические связки: отрицание, &, V, импликация.

Остальные могут быть введены по определению.

2. Дедуктивные постулаты:

а. с конечным числом аксиом.

б. с бесконечным числом аксиом

Число типов аксиом конечно. Схема аксиом — выражение метаязыка, который соответствует бесконечному количеству аксиом одного типа.

А1. Закон утверждения консиквента

А2. Закон самодистрибутивности импликации.

А3. Закон введения конъюнкции.

А4. Схемы удаления конъюнкции.

А6.Схемы введения дизъюнкции

А8. Схема исключения дизъюнкции.

А9. Схемы введения отрицания.

Доказательство — непустая, конечная последовательность формул.

Каждая формула: либо аксиома, либо формула, полученная по модус поненс из предыдущих формул последовательностей. Доказательство – частный случай вывода.

Теорема — Доказательство формулы А — доказательство, последней формулой которого является формула А. Формула А называется теоремой или доказуемой формулой, если и только если существует доказательство.

Вывод из множества допущений Y — непустая конечная последовательность формул, таких, что любая формула этой последовательности либо допущение из Y, либо аксиома, либо формула полученная по модус поненс из предыдущих формул.

22)Аксиоматическое исчисление высказываний с конечным числом аксиом и правилом подстановки.

Понятие зависимости формулы вывода от допущения:

1. Допущение зависимо от себя самого.

2. Аксиома независима от допущений.

3. Если формула B получена по modus ponens

4. Если формула получена по правилу подстановки

5.Правило подстановки нельзя применять к формуле B, которая зависит от множества допущений D по переменной, входящих хотя бы в одну формулу из D.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник