Проценты способы решения задач

Различные методы решения задач на проценты
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Методическая разработка по решению задач на прценты разного типа и различными способами.

Скачать:

Вложение	Размер
razlichnye_tipy_zadach_na_protsenty_i_metody_ikh_resheniya.doc	313 КБ

Предварительный просмотр:

Актуальность данной темы.

Готовясь к государственной итоговой аттестации, мы столкнулись с необходимостью уметь решать задачи на проценты. При повторении этой темы вспомнили, как решаются задачи разного типа на проценты, и рассмотрели некоторые методы их решения. На элективном курсе «Решение задач с экономическим содержанием» мы узнали о широком применении процентов в жизни человека и общества в целом. А также узнали некоторые новые методы решения задач на проценты, среди них геометрический метод, а также понятие «сложного процента». Появилась идея обобщить известные нам данные о решении таких задач, классифицировать типичные задачи на проценты и методы их решения, чтобы в дальнейшем использовать собранный материал для подготовки к ГИА и ЕГЭ.

1. Классифицировать типичные задачи на проценты.
2. Рассмотреть различные методы решения задач на проценты.
3. Рассмотреть применение процентов в повседневной и деловой жизни человека.

1. Познакомиться с историей возникновения понятия «процент» и его последующем развитием.
2. Классифицировать типы задач на проценты:

а) нахождение нескольких процентов от числа,

б) нахождение числа по значению его процентов,

в) нахождение процентного отношения чисел, на сколько процентов одна величина больше другой..

3. Разобрать различные методы решения типичных задач:

а) используя определение понятия процента,

б) правило нахождения дроби от числа,

в) правило нахождения числа по значению его дроби,

г) пропорциональность величин,

4. Применение алгебраического и геометрического метода.

5. Рассмотреть применение процентов в повседневной и деловой жизни человека:

1) в химии при решении задач на концентрацию веществ, смеси и сплавы, рассмотреть разные методы их решения:

2) в статистике при обработке статистических данных:

а) круговые диаграммы,

3) при покупке и продаже товаров,

4) в банковском деле:

а) применение «сложных процентов».

1. История возникновения процентов.

Слово «процент» происходит от латинского «procentum», что буквально означает «на сотню». В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Однако, уже в «Дигестах Юстиниана», датируемых V в., мы находим вполне современное употребление процентов. «Фиск (императорская казна) не уплачивает проценты по заключенным им договорам, но сам получает проценты: например со съемщиков публичных поборов, если эти съемщики слишком поздно вносят деньги; также при просрочке уплаты налогов. Когда же фиск является приемником частного лица, то обычно он уплачивает проценты.

Несли должники, платившие проценты в размере меньше, чем 6 процентов в год, стали должниками фиска, то они обязаны уплачивать 6 процентов годовых с того времени, как требование против них перешло к фиску».

По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством как предтеча десятичной системы счисления.

Употребление термина «процент» в качестве нормы русского языка начинается, вероятно, с конца XVIII в. Об этом свидетельствует сравнительный анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима Войтяховского (первое издание 1795г.) и Т.Ф. Осиповского (первое издание 1802 г.). В обоих учебниках имеется по нескольку задач «на проценты по вкладу», но Е. Войтяховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как Т.Ф. Осиповский уже употребляет термин «процент».

Привычка к употреблению процентов в сфере денежных отношений благоприятствовала быстрому их внедрению в развивающиеся технологии XIX в. Так, в словаре Брокгауза и Эфрона читаем следующее:

«По предварительным данным переписи 1897 г., население Петербурга оказалось возросшим за 6 лет на 178 тысяч, из которых 150 тысяч приходится на прилив извне; из всего прироста 85% падает на крестьян, составляющих теперь до 59% всего петербургского населения»

Как видно из отрывка, уже на рубеже IX и XX вв. русскоязычное контекстное понимание процентов максимально локонизируется. В одном предложении фигурируют две различные стопроцентные базы. В последующем это становится нормой деловой речи и литературы.

Для удовлетворения возрастающих требований к точности исчисления малых долей вместо 1% вводится квант 1/1000 – так называемое промилле . Промилле можно часто встретить на страницах книг по медицине и фармакологии, обозначают 0 / 00 .

В операциях с ценными металлами используется другое название кванта 1/1000 – проба. Так, золото 750-й пробы – это сплав с 75 – процентным содержанием золота.

Знак % произошел, как предполагается, благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом «cento» (сто) и писали сокращенно – cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %.

2. Понятие процента.

С этим понятием мы познакомились в 5 классе, изучая математику по учебнику «Математика, 5», В.Я Виленкин.

Процентом называют одну сотую часть.

Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна 100%.

1% = 1/100. Соответственно, р% = р/100.

Процент некоторых величин имеет название:

1кг – один процент центнера, 1см – один процент метра, 1а – один процент гектара и т.д.

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо её умножить на 100.

1% = 1/100 = 0,01; 2% = 2/100 = 0,02; 20% = 1/10 = 0,1; 100% = 1; 120% = 1,2.

0,03 = 3%; 0,25 = 25%; 0,5 = 50%; 1,2 = 120%.

3. Типичные задачи на проценты и методы их решения.

Различают основные типы задач на проценты.

• Нахождение нескольких процентов числа.

• Нахождение числа по значению его процентов.

• Нахождение сколько процентов одно число составляет от другого.

Решение типичных задач на проценты связано с применением различных методов:

• 1 метод: по определению процента.
• 2 метод: правила нахождения дроби от числа или нахождения числа по значению дроби.
• 3 метод: пропорциональность величин.

1) 1 тип задач: нахождение нескольких процентов числа

Первый тип задач относится к той ситуации, когда даны количество А и некоторый процент р, а требуется найти количество, которое этот процент выражает.

Эта задача сводится к ответу на вопрос К1 : каково количество, составляющее р% от А? Здесь ключевое слово от . То, что стоит за ним принимается за 100%. Этот вопрос может задаваться и в несколько иной форме, например, так: найти р% от А.

Аналогичен вопросу К1 вопрос по нахождению дроби от числа.

При ответе на вопрос К1 можно использовать 1 метод.

а) 1 метод: по определению процента.

Для нахождения дроби от А используют смысл знаменателя дроби, который показывает на сколько долей делят А, и смысл числителя, показывающий сколько долей надо взять. Для ответа на поставленный вопрос используют формулу: .

По аналогии отвечаем на вопрос К1.

Зная, что р% = р/100, находим р% от А, используя формулу

Если на количество А приходится 100%, то А : 100 показывает сколько приходится на 1%, тогда на р% приходится А :100 * р .

Рассмотрим это на примере решения задачи 1:

В классе 20 учеников. За контрольную работу по математике отметку «5» получили 20% всех учеников. Сколько учеников в классе получили отметку «5»?

1. 20 : 100 = 0,2 (уч.) – 1%
2. 0,2 * 20 = 4 (уч.) – получили отметку «5».

Ответ: 4 ученика.

б) 2 метод: правило нахождения дроби от числа.

При ответе на вопрос К1 можно использовать изученное нами в 6 классе правило нахождения дроби от числа, в котором также встречается ключевое слова от .

Чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.

Найдем от А по формуле: А * .

Так как р% = р/100, то р% от А найдем по формуле:

Формула р/100 переводит % в десятичную дробь, поэтому при решении задачи этим методом % переводят в десятичную дробь.

Решение задачи 1 методом 2.

20 * 0,2 = 4 (уч.) — имеют отметку «5».

Ответ: 4 ученика.

в) 3 метод: пропорциональность величин.

При решении задач на проценты можно использовать изученные в 6 классе понятия прямо пропорциональных и обратно пропорциональных величин, пропорции и ее основное свойство.

• Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
• Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
• Пропорцией называется равенство двух отношений.
• Основное свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению крайних членов пропорции.

При ответе на вопрос К1 используют прямо пропорциональную зависимость между количественным выражением величины и ее процентным выражением.

Источник

Задачи на проценты: 3 способа решения с примерами

Как решать задачи на проценты? Есть 3 способа, выбирай тот, который для тебя проще и понятнее.

Умение быстро и правильно решать задачи на проценты важно, как для успешной сдачи ЕГЭ, так и для повседневной жизни. И если в ЕГЭ вы можете встретить такую задачу в задании 11, то в повседневной жизни такие задачи повсюду.

Зарплату повысили на 15%, а потом оштрафовали на 10%, после этого из зарплаты удержали налог 13% — сколько же мы получим в конце месяца? Коммунальные услуги повысили на 15%, сколько они теперь будут стоить? При возврате ж/д билета вернут только 20% стоимости, какую сумму мы получим? Все это задачи на проценты, которые нам приходится решать каждый день.

Поэтому умение быстро и правильно решать задачи на проценты – это полезно.

Задачи на проценты: вся суть

Задачи на проценты, как правило, описывают жизненную ситуацию. В ней присутствует какая-то величина, которая увеличивается или уменьшается на сколько-то процентов. Таким образом, в задаче на проценты упоминается такие данные, как первоначальная величина, конечная величина и процент, на который эта величина изменилась. Чаще всего в задаче требуется найти либо первоначальную величину, либо конечную величину, реже – процент, на который эта величина изменилась.

Решение задач на проценты с помощью формулы простого процента

Формула, которой мы пользуемся при решении задач на проценты, называется формула простого процента:

Х_{конечное} – конечная величина

Х_{первоначальное} – первоначальная величина

k – процент, на который первоначальная величина изменилась

Из этой формулы всегда можно найти первоначальную величину или процент, на который происходит изменение.

Знак стоящий перед k зависит от того, увеличивается первоначальная величина или уменьшается. Так, если величина увеличивается на сколько-то процентов, то ставим знак плюс. Если уменьшается – минус.

Для наглядности приведем несколько простых примеров.

Задача 1

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Очевидно, что в этой задаче нам известна первоначальная величина – 30 000 человек и процент, на который она увеличилась +6% Нужно найти конечную величину.

30 000 * ((100 + 6)/100) = х

х = 31 800 человек

Ответ: 31 800 человек

Задача 2

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

Решение: В этой задаче нам известна конечная величина – 5 килограмм и процент, на который происходит изменение -90%. Нужно найти первоначальную величину:

5 = х * ((100 – 90) / 100)

Задача 3

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: В данной задаче нам известна первоначальная (20 000 рублей) и конечная величина (22 000 рублей), а найти нужно процент, на который данная величина изменилась.

22 000 = 20 000 * ((100 + х) / 100)

22 000 / 20 000 = 1 + х/100

Решение задач на проценты: метод пропорции

Еще один способ решения задач на проценты – это метод пропорции. Это наиболее простой способ решения таких задач.

Напомним, что пропорция – это равенство двух отношений:

Для нас важно основное свойство пропорции, которое заключается в том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. Проще запомнить, что мы можем перемножить члены пропорции крест-накрест:

При решении задач на проценты с помощью метода пропорции необходимо руководствоваться следующим правилом:

Далее записываем пропорцию:

Давайте решим приведенные выше примеры задач на проценты с помощью метода пропорции.

Задача 4

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Итак, в городе проживало 30 000 человек и это всё его население, т.е. 100%. Так и запишем:

Далее население выросло на 6%, т.е. всё его население стало составлять 100% + 6% = 106% и нам неизвестно, сколько это человек, т.е. Х человек. Запишем:

Таким образом, получаем:

Составим пропорцию: Правую дробь пропорции можно сократить на 2, получим: Теперь воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

30 000 * 53 = 50х

Далее обе части полученного уравнения мы можем разделить на 50, получим:

Ответ: 31 800 человек

Задача 5

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

Решение: Нам неизвестно первоначальное количество всех яблок (всё количество), т.е. это Х, которое составляет 100%. Количество сушеных яблок (часть от первоначального количества яблок) составляет 5 кг. Причем известно, что количество сушеных яблок на 90% меньше от первоначального количества яблок (т.к. 90% — это вода, которая из них испарилась). Следовательно, количество сушеных яблок составит 100% — 90% = 10%. Запишем наши рассуждения:

Запишем наши рассуждения: Сократим правую дробь на 10, получим:Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

Задача 6

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: Нам известно, что исходная цена – 20 000 рублей, следовательно, 20 000 рублей – это 100%. Тогда конечная цена 22 000 рублей – это неизвестное количество процентов, т.е. Х%. Так и запишем:

Теперь запишем пропорцию: Сократим левую дробь на 2 000, получим: Воспользуемся основным свойством пропорции, то есть перемножим ее члены крест-накрест:

В результате решения мы получили результат 110%, но он не является ответом! Ведь нам нужно найти, на сколько процентов изменилась стоимость холодильника. Чтобы это узнать, нужно из полученного числа процентов отнять 100%:

Решение задач на проценты методом коэффициентов

Можно назвать еще один метод решения задач на проценты, который является следствием из формулы простого процента. Так, формулу простого процента можно переписать следующим образом:

Таким образом, мы получили формулу для решения задач на проценты методом коэффициентов. Полученная формула удобна тем, что при достаточной практике простые задачи на проценты можно решать в уме, даже не задумываясь.

Например, яблоки стоили 150 рублей, затем они подорожали на 20%. Найдите новую стоимость яблок.

Применим полученную формулу и получим:

150 * 1,2 = 180 рублей

То есть мы интуитивно 20% превращаем в 0,2 прибавляем единицу, так как происходит увеличение на данное количество процентов, и умножаем на первоначальную стоимость.

Или другой пример. Зарплата работника составляла 25 000 рублей в месяц, в результате применения штрафа за опоздания зарплата сократилась на 10%. Найти сумму зарплаты, которую получит оштрафованный работник.

25 000 * 0,9 = 22 500 рублей

Опять же мы сразу понимаем, что 10% — это 0,1. Т.к. происходит уменьшение первоначальной величины на это количество процентов, то мы вычитаем из единицы этот процент и получаем 0,9. Затем умножаем полученное значение на первоначальную величину. Готово!

Давайте решим этим методом задачу про зарплату и налоги.

Задача 7

В России налог на доходы физических лиц составляет 13%. Зарплата Марии Ивановны после удержания налога на доходы составила 60 900 рублей. Найти сумму зарплаты Марии Ивановны до удержания налога.

Решение: Итак, 13% — это 0,13. Первоначальная зарплата уменьшилась на этот процент, значит, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,13 = 0,87. Подставляем в формулу:

Ответ: 70 000 рублей

Задача 8

В школе 1000 учеников, из них 20% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 30% изучают французский язык. Сколько учеников в школе изучают французский язык, если в начальной школе французский язык не изучают?

Решение: Для начала из общего количества учеников исключим тех, кто французский язык точно не изучает, т.е. учеников начальной школы. Ученики начальной школы – это 20%, т.е. 0,2, мы уменьшаем на этот процент, следовательно, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,2 = 0,8.

Из 800 полученных учеников французский язык изучают только 30%.

Обратите внимание, что здесь идет речь о проценте от числа. Т.е. мы не уменьшаем на 30% (в этом случае мы вычитаем значение процента в долях из единицы) и не увеличиваем на 30% (в этом случае мы прибавляем к значению процента в долях к единице), а берем 30% от заданного числа (в этом случае мы умножаем заданное число на значение процента в долях). Всегда внимательно читайте условия задачи!

В нашем случае нам нужно найти 30% от 800:

Это и есть ответ. 240 учеников изучают французский язык в школе.

Ответ: 240 учеников.

Задача 9

Разберем еще одну задачу на проценты, которая часто встречается на ЕГЭ и в которой легко можно допустить ошибку.

Задача: Зарплата рабочего составляла 30 000 рублей, затем зарплату повысили на 30%, а потом понизили на 30%. Какую зарплату стал получать рабочий?

Решение: быстро прочитав условие задачи, сходу хочется дать ответ – зарплата останется прежней, ее размер не изменился. Но это не так! Давайте разбираться.

Будем решать по формуле простого процента.

Первое событие – зарплату повысили на 30%. Следовательно, первоначальную сумму мы увеличиваем на 30%:Второе событие – зарплату понизили на 30%. Следовательно, нашу увеличенную зарплату мы теперь уменьшаем на 30%:Таким образом, рабочий теперь будет получать зарплату 27 300 рублей.

Данную задачу мы могли бы решить в одно действие, применяя формулу для вычисления сложного процента. Напомним ее:

S = P (1 + i) n , где

S – это конечная сумма;

P – это первоначальная сумма;

i – это процент/100;

n – количество периодов.

Т.к. 30% — это 0,3, то, применяя формулу для вычисления сложного процента к нашей задаче, мы получим:

30 000 * (1 + 0,3) 1 (1 – 0,3) 1 = 27 300 рублей

Результат получился тот же.

Ответ: 27 300 рублей

В этой статье были разобраны достаточно простые примеры задач на проценты, чтобы максимально доступно продемонстрировать методы решения задач на проценты. В профильном ЕГЭ с процентами вы можете столкнуться в задаче с экономическим содержанием по вкладам и кредитам. Такие задачи гораздо сложнее и подробное их решение вы можете посмотреть на нашем сайте.

Итак, надеюсь, что данная статья помогла вам понять, как решать задачи на проценты. Мы увидели, что задачи на проценты можно решать тремя способами – с помощью формулы простого процента, методом пропорции и методом коэффициентов. Выбирайте тот, который вам наиболее понятен, и которым вам решать такие задачи проще.

Источник