Получение простых чисел
По мере того как мы будем изучать курс «Математические основы криптологии» мы будем возвращаться к этой теме.
Задача получение простых чисел во многом зависит от того как ставить эту задачу.
1)Разложение. Самый древний способ получения простых чисел, как мы уже знаем, — решето Эратосфена. но максимум получение чисел на современной вычислительной технике по этому способу, это N=10 12 .
2) Формульный метод. С помощью формул можно получить некоторое множество чисел, но оно ограниченно. Простейшие:
а) целочисленные полиномы (в общем случае не решают задачу получение бесконечного множества простых чисел.)
б) экспоненциальная функция. (множество получаемое на основе данного способа, как мы уже говорили, ограничено по мощности.
этот способ имеет больший интерес для анализа криптошифра.
в) прамориальная формула. Пока не известно можно ли по этой формуле получить бесконечное число простых чисел.
Задано некоторое число m и проверяется по определенному алгоритму, является ли оно простым. Так называемое тестирование на простоту. Этот способ используется в современных криптографических системах с открытым ключём. Берется некоторое большое число (сотни десятичных знаков) и по отношению к этому числу начинается тестирование.
Существует 2 метода тестирования на простоту:
отвечают на вопрос простое или составное однозначно.
2)вероятностные тесты. С помощью них мы можем говорить только с некоторой вероятностью, что данное число простое. При этом вероятность может быть сколь угодна близка к единице. Но эти методы гораздо быстрее, нежели строгие, по отношению к большим числам. Т.е. когда информация не столь важна(для шифрование) мы можем рискнуть, и с некоторой вероятностью, использовать вместо простого числа составное.
Метод, объединяющий в себе как вероятностные, так и детерминированные методы называется комбинированным методом. Т.е. сначала мы выясняем, с некоторой вероятностью, что число m простое и потом по отношению к нему применяем строгий метод и в итоге это более оптимально чем сразу применять к некоторому большому числу строгий тест.
С понятием «строгие тесты» связанно такое понятие как «факторизация».
Факторизация – разложение заданного числа на простые сомножители.
Одним из первых методов факторизации является метод разложение чисел Мерсена [M(p)]. Еще в 19 веке был предложен тест проверки чисел Мерсена на простоту. Это был один из первых строгих тестов.
Так как же определить является ли число Мерсена простым или составным? Существует метод, причем достаточно эффективный для больших чисел.
Тестирование чисел Мерсена М(р)
Дано число Мерсена. М(р)
1. Получаем последовательность определенных целых чисел S1,S2,…Sp-2 Получаем ее по правилу Si+1=Si 2 -2. Т.е. каждый последующий член последовательности равен квадрату предыдущего минус 2.
Но при этом задается S0=4. Тогда при р=5:М(р)=31S0=4 S1=14, S2=(14 2 -2) 2 -2. Казалось бы идет быстрое нарастание чисел, что представляет определенную сложность для дальнейших вычислений, но в Теории чисел есть определенные «хитрости» которые мы рассмотрим в дальнейшем.
, если 
то число простое (т.е. без остатка)
если в остатке есть некоторое число , то число составное. Причем остаток меньше чем М(р).
Вопрос заключается в том, как можно эффективно реализовать эту операцию при больших числах Мерсена. Ответ на этот вопрос существует , но сейчас нам сложно его объяснить , рассмотрим эту модульную операцию в последующих лекциях. На этой операции буквально и держится вся криптография. Она применяется по отношению к определенным функциям. Почти все известные методы тестирования тоже основаны на этой операции. Как современные так и древние. Какими свойствами обладает эта операция и ее приложение , мы посветим этому несколько лекций позднее.
Рассмотрим алгоритм факторизации (алгоритм Ферма).
Задано число, мы пытаемся его разложить. Если раскладывается, то составное, если нет, то простое.
Тоже определенная форма строгого теста.
1) Задано число m, причем 
Возникает вопрос: Бесконечно ли можно продолжать этот ряд. Ответ: Нет.
С каждым членом (mi) проводим следующую операцию. Можно ли его представить в виде квадрата некоторого числа.
Если можно то мы останавливаем процесс и
m= (t-i)(t+i) и причем (t-i) – это p1 ,а p2= (t+i) , где p1 и p2 — простые сомножители.
Но этот алгоритм действует только до определенных границ:
Ограничение 
Если исходное число велико, то это сокращает число членов в 6 раз. Если рассмотреть на оси точки которые является квадратами некоторых чисел, то число квадратов гораздо больше чем число простых чисел и на квадраты мы натыкаемся гораздо быстрее.
Если до величины мы не нашли квадрата, то мы останавливаемся.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
Алгоритм нахождения простых чисел
Оптимизация алгоритма нахождения простых чисел
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31… $250.000…
Дело было давно, в университете, когда мы начали изучать язык программирования Pascal и домашним заданием стало создание алгоритма нахождения простых чисел.
Алгоритм был придуман и тутже реализован на изучаемом языке. Программа запрашивала у пользователя число N и искала все простые числа до N включительно. После первого успешного теста сразу же возникло непреодолимое желание ввести N = «много». Программа работала, но не так быстро как хотелось бы. Естественно, дело было в многочисленных проверках (порядка N*N/2), поэтому пришлось избавиться от лишних. В итоге получилось 5 похожих алгоритмов каждый из которых работал быстре предыдущего. Недавно захотелось их вспомнить и реализовать, но на этот раз на Python.
Итак, поехали. Первый алгоритм, ударивший в студенческую голову, продемонстрирован в Листинге 1.
Очень быстро понимаешь, что в подсчете делителей каждого числа нет никакой надобности и поэтому переменную k можно освободить от своих обязанностей. Действительно, если хотябы один делитель имеется, то число уже не простое. Смотрим Листинг 2.
Конструкция break позволяет нам завершить выполнение внутреннего цикла и перейти к следующей итерации внешнего.
Далее возникает вопрос: «а зачем делить на 4, если на 2 число не делится?». Приходим к выводу, что искать делители нужно только среди простых чисел не превышающих делимое. Наш алгоритм превращается в… см. Листинг 3.
А потом вспоминаем теорию чисел и понимаем, что переберать надо только числа, не превосходящие корня из искомого. К примеру, если число M имеет делитель pi, то имеется делитель qi, такой, что pi * qi = M. То есть, чтобы найти пару, достаточно найти меньшее. Среди всех пар, предполагаемая пара с максимальным наименьшим — это пара с равными pi и qi, то есть pi * pi = M => pi = sqrt(M). Смотрим Листинг 4.
Код из Листинга 4 при N=10000 выполняется примерно в 1000 раз быстрее, чем самый первый вариант. Есть еще один «ускоритель», проверять только те числа, которые заканчиваются на 1, 3, 7 или 9 (так как остальные очевидно делятся на 2 или 5). Наблюдаем Листинг 5.
В следствии незначительного изменения Листинга 5 получаем небольшую прибавку в скорости:
Итого: Программа из последнего листинга выполняется, примерно, в 1300 раз быстрее первоначального варианта.
Я не ставил перед собой задачи написать программу максимально быстро решающую данную задачу, это скорее демонстрация начинающим программистам того, что правильно составленный алгоритм играет далеко не последнюю роль в оптимизации Ваших программ.
P.S.
Благодаря замечаниям получаем Листинг 7:
при N=10000, поучаем время:
time 1 = 26.24
time 2 = 3.113
time 3 = 0.413
time 4 = 0.096
time 5 = 0.087
time 6 = 0.083
time 7 = 0.053
Результаты при n = 1 000 000:
time 7 = 7.088
time 8 = 1.143
Источник
Еще раз о поиске простых чисел
В заметке обсуждаются алгоритмы решета для поиска простых чисел. Мы подробно рассмотрим классическое решето Эратосфена, особенности его реализации на популярных языках программирования, параллелизацию и оптимизацию, а затем опишем более современное и быстрое решето Аткина. Если материал о решете Эратосфена предназначен в первую очередь уберечь новичков от регулярного хождения по граблям, то алгоритм решета Аткина ранее на Хабрахабре не описывался.
На снимке — скульптура абстрактного экспрессиониста Марка Ди Суверо «Решето Эратосфена», установленная в кампусе Стэнфорского университета
Введение
Напомним, что число называется простым, если оно имеет ровно два различных делителя: единицу и самого себя. Числа, имеющие большее число делителей, называются составными. Таким образом, если мы умеем раскладывать числа на множители, то мы умеем и проверять числа на простоту. Например, как-то так:
(Здесь и далее, если не оговорено иное, приводится JavaScript-подобный псевдокод)
Время работы такого теста, очевидно, есть O(n ½ ), т. е. растет экспоненциально относительно битовой длины n. Этот тест называется проверкой перебором делителей.
Довольно неожиданно, что существует ряд способов проверить простоту числа, не находя его делителей. Если полиномиальный алгоритм разложения на множители пока остается недостижимой мечтой (на чем и основана стойкость шифрования RSA), то разработанный в 2004 году тест на простоту AKS [1] отрабатывает за полиномиальное время. С различными эффективными тестами на простоту можно ознакомиться по [2].
Если теперь нам нужно найти все простые на достаточно широком интервале, то первым побуждением, наверное, будет протестировать каждое число из интервала индивидуально. К счастью, если у нас достаточно памяти, можно использовать более быстрые (и простые) алгоритмы решета. В этой статье мы обсудим два из них: классическое решето Эратосфена, известное еще древним грекам, и решето Аткина, наиболее совершенный современный алгоритм этого семейства.
Решето Эратосфена
Древнегреческий математик Эратосфен предложил следующий алгоритм для нахождения всех простых, не превосходящих данного числа n. Возьмем массив S длины n и заполним его единицами (пометим как невычеркнутые). Теперь будем последовательно просматривать элементы S[k], начиная с k = 2. Если S[k] = 1, то заполним нулями (вычеркнем или высеем) все последующие ячейки, номера которых кратны k. В результате получим массив, в котором ячейки содержат 1 тогда и только тогда, когда номер ячейки — простое число.
Много времени можно сэкономить, если заметить, что, поскольку у составного числа, меньшего n, по крайней мере один из делителей не превосходит , процесс высевания достаточно закончить на 
. Вот анимация решета Эратосфена, взятая с Википедии:
Еще немного операций можно сэкономить, если — по той же причине — начинать вычеркивать кратные k, начиная не с 2k, а с номера k 2 .
Реализация примет следующий вид:
Эффективность решета Эратосфена вызвана крайней простотой внутреннего цикла: он не содержит условных переходов, а также «тяжелых» операций вроде деления и умножения.
Оценим сложность алгоритма. Первое вычеркивание требует n/2 действий, второе — n/3, третье — n/5 и т. д. По формуле Мертенса
так что для решета Эратосфена потребуется O(n log log n) операций. Потребление памяти же составит O(n).
Оптимизация и параллелизация
Первую оптимизацию решета предложил сам Эратосфен: раз из всех четных чисел простым является только 2, то давайте сэкономим половину памяти и времени и будем выписывать и высеивать только нечетные числа. Реализация такой модификации алгоритма потребует лишь косметических изменений (код).
Более развитая оптимизация (т. н. wheel factorization) опирается на то, что все простые, кроме 2, 3 и 5, лежат в одной из восьми следующих арифметических прогрессий: 30k+1, 30k+7, 30k+11, 30k+13, 30k+17, 30k+19, 30k+23 и 30k+29. Чтобы найти все простые числа до n, вычислим предварительно (опять же при помощи решета) все простые до . Теперь составим восемь решет, в каждое из которых будут входить элементы соответствующей арифметической прогрессии, меньшие n, и высеем каждое из них в отдельном потоке. Все, можно пожинать плоды: мы не только понизили потребление памяти и нагрузку на процессор (в четыре раза по сравнению с базовым алгоритмом), но и распараллелили работу алгоритма.
Наращивая шаг прогрессии и количество решет (например, при шаге прогрессии 210 нам понадобится 48 решет, что сэкономит еще 4% ресурсов) параллельно росту n, удается увеличить скорость алгоритма в log log n раз.
Сегментация
Что же делать, если, несмотря на все наши ухищрения, оперативной памяти не хватает и алгоритм безбожно «свопится»? Можно заменить одно большое решето на последовательность маленьких ситечек и высевать каждое в отдельности. Как и выше, нам придется предварительно подготовить список простых до , что займет O(n ½-ε ) дополнительной памяти. Простые же, найденные в процессе высевание ситечек, нам хранить не нужно — будем сразу отдавать их в выходной поток.
Не надо делать ситечки слишком маленькими, меньше тех же O(n ½-ε ) элементов. Так вы ничего не выиграете в асимптотике потребления памяти, но из-за накладных расходов начнете все сильнее терять в производительности.
Решето Эратосфена и однострочники
На Хабрахабре ранее публиковалась большая подборка алгоритмов Эратосфена в одну строчку на разных языках программирования (однострочники №10). Интересно, что все они на самом деле решетом Эратосфена не являются и реализуют намного более медленные алгоритмы.
Дело в том, что фильтрация множества по условию (например, на Ruby) или использование генераторных списков aka list comprehensions (например, на Haskell) вызывают как раз то, избежать чего призван алгоритм решета, а именно поэлементную проверку делимости. В результате сложность алгоритма возрастает по крайней мере до (это число фильтраций), умноженного на (минимальное число элементов фильтруемого множества), где — число простых, не превосходящих n, т. е. до O(n 3/2-ε ) действий.
Однострочник на Scala ближе к алгоритму Эратосфена тем, что избегает проверки на делимость. Однако сложность построения разности множеств пропорциональна размеру большего из них, так что в результате получаются те же O(n 3/2-ε ) операций.
Вообще решето Эратосфена тяжело эффективно реализовать в рамках функциональной парадигмы неизменяемых переменных. В случае, если функциональный язык (например, OСaml) позволяет, стоит нарушить нормы и завести изменяемый массив. В [3] обсуждается, как грамотно реализовать решето Эратосфена на Haskell при помощи техники ленивых вычеркиваний.
Решето Эратосфена и PHP
Запишем алгоритм Эратосфена на PHP. Получится примерно следующее:
Вторая проблема: массивы в PHP ужасны по накладным расходам памяти. У меня на 64-битной системе каждый элемент $S из кода выше съедает по 128 байт. Как обсуждалось выше, необязательно держать сразу все решето в памяти, можно обрабатывать его порционно, но все равно такие расходы дóлжно признать недопустимыми.
Для решения этих проблем достаточно выбрать более подходящий тип данных — строку!
Теперь каждый элемент занимает ровно 1 байт, а время работы уменьшилось примерно втрое. Скрипт для измерения скорости.
Решето Аткина
В 1999 году Аткин и Бернштейн предложили новый метод высеивания составных чисел, получивший название решета Аткина. Он основан на следующей теореме.
Теорема. Пусть n — натуральное число, которое не делится ни на какой полный квадрат. Тогда
- если n представимо в виде 4k+1, то оно просто тогда и только тогда, когда число натуральных решений уравнения 4x 2 +y 2 = n нечетно.
- если n представимо в виде 6k+1, то оно просто тогда и только тогда, когда число натуральных решений уравнения 3x 2 +y 2 = n нечетно.
- если n представимо в виде 12k-1, то оно просто тогда и только тогда, когда число натуральных решений уравнения 3x 2 −y 2 = n, для которых x >y, нечетно.
C доказательством можно ознакомиться в [4].
Из элементарной теории чисел следует, что все простые, большие 3, имеют вид 12k+1 (случай 1), 12k+5 (снова 1), 12k+7 (случай 2) или 12k+11 (случай 3).
Для инициализации алгоритма заполним решето S нулями. Теперь для каждой пары (x, y), где , инкрементируем значения в ячейках S[4x 2 +y 2 ], S[3x 2 +y 2 ], а также, если x > y, то и в S[3x 2 −y 2 ]. В конце вычислений номера ячеек вида 6k±1, содержащие нечетные числа, — это или простые, или делятся на квадраты простых.
В качестве заключительного этапа пройдемся по предположительно простым номерам последовательно и вычеркнем кратные их квадратам.
Из описания видно, что сложность решета Аткина пропорциональна n, а не n log log n как у алгоритма Эратосфена.
Авторская, оптимизированная реализация на Си представлена в виде primegen, упрощенная версия — в Википедии. На Хабрахабре публиковалось решето Аткина на C#.
Как и в решете Эратосфена, при помощи wheel factorization и сегментации, можно снизить асимптотическую сложность в log log n раз, а потребление памяти — до O(n ½+o(1) ).
О логарифме логарифма
На самом деле множитель log log n растет крайне. медленно. Например, log log 10 10000 ≈ 10. Поэтому с практической точки зрения его можно полагать константой, а сложность алгоритма Эратосфена — линейной. Если только поиск простых не является ключевой функцией в вашем проекте, можно использовать базовый вариант решета Эратосфена (разве что сэкономьте на четных числах) и не комплексовать по этому поводу. Однако при поиске простых на больших интервалах (от 2 32 ) игра стоит свеч, оптимизации и решето Аткина могут ощутимо повысить производительность.
P. S. В комментариях напомнили про решето Сундарама. К сожалению, оно является лишь математической диковинкой и всегда уступает либо решетам Эратосфена и Аткина, либо проверке перебором делителей.
Источник
