При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.
Прежде чем записать конечный ответ, проверьте, нельзя ли сократить полученную дробь.
В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями записывают так:
Вычитание правильной дроби из единицы
Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.
Знаменатель вычитаемой дроби равен 7 , значит, единицу представляют как неправильную дробь
7
7
и вычитают по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Вычитание правильной дроби из целого числа
Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде смешанного числа.
Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.
В примере единицу мы заменили неправильной дробью
7
7
и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.
Вычитание смешанных чисел
При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.
При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.
Первый случай вычитания смешанных чисел
У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого (что вычитаем).
Второй случай вычитания смешанных чисел
У дробных частей разные знаменатели.
В этом случае вначале нужно привести к общему знаменателю дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.
Третий случай вычитания смешанных чисел
Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.
Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.
Сложим полученную неправильную дробь
18
18
и дробную часть уменьшаемого и получим:
Все рассмотренные случаи можно описать с помощью правил вычитания смешанных чисел.
Привести дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю.
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то занимаем у целой части уменьшаемого единицу. Эту единицу превращаем в неправильную дробь с одинаковым числителем и знаменателем равными наименьшему общему знаменателю.
Прибавляем полученную неправильную дробь к дробной части уменьшаемого.
Вычитаем из целой части целую, а из дробной — дробную.
Проверяем, нельзя ли сократить и выделить целую часть в конечной дроби.
Источник
Вычитание дробей
О чем эта статья:
4 класс, 5 класс, 6 класс
Понятие дроби
Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Есть два формата записи:
обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
десятичный вид — 0,5.
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем. А под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например 3/7 и 31/45.
Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.
1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.
2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
3. Равными называют a/b и c/d в том случае, если a * d = b * c.
4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Правило вычитания дробей
Вычитание — арифметическое действие, когда от одного числа отнимают другое.
Свойства вычитания:
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое, а после из результата вычесть другое слагаемое: a — (b + c) = (a — b) — c, a — (b + c) = (a — с) — b.
Скобки в выражении (a — b) — c не имеют значения и их можно опустить: (a — b) — c = a — b — c.
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся: (a + b) — c = (a — c) + b, если a > c или а = с, (a + b) — c = (b — c) + a, если b > c или b = с.
Если из числа вычесть нуль, получится оно же: a — 0 = a.
Если из числа вычесть его само, получится нуль: a — a = 0.
Записывайтесь на наши дополнительные занятия по математике, для учеников с 1 по 11 классы!
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно от числителя первой отнять числитель второй, а знаменатель оставить тот же.
Прежде, чем зафиксировать ответ, важно проверить возможность сокращения.
Рассмотрим это правило на примере:
Вычитание дробей с разными знаменателями
Как вычитать дроби с разными знаменателями? Для этого приводим их к общему знаменателю и гаходим разность числителей.
Рассмотрим пример, в котором нужно найти разность 2/9 и 1/15.
Как решаем:
Знаменатели разные, значит найдем наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единого делителя. Для этого записываем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (9, 15) = 3 * 3 * 5 = 45
Найдем дополнительные множители. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
Полученные числа умножим на соответствующие дроби:
Перейдем к вычитанию заданных чисел:
Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа
Для вычитания из обыкновенной дроби натурального числа необходимо это действие привести к вычитанию обыкновенных дробей.
Разберем для наглядности пример разности 3 и 6/7.
Как решаем:
Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:
Ответ: две целых одна седьмая.
Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби
Для вычитания натурального числа из обыкновенной дроби нужно последовать тому же алгоритму, что и в предыдущем примере. А именно: перевести натуральное число в вид дроби, привести все к единому знаменателю, найти разность.
Рассмотрим пример разности 3 из 83/21.
Как решаем:
А еще можно вот так:
Представим 83/21 в виде смешанной дроби, для этого разделим делитель на делимое:
3 * 20/21 — 3 = 20/21
Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:
Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, нужно решать примеры сложения дробей, как можно чаще.
Источник
Вычитание дробей. Вычитание дробей с разными знаменателями.
Следующее действие, которое можно выполнять с обычными дробями это вычитание. Вычитание дробей выполняется по нескольким правилам. Рассмотрим эти правила подробнее. Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями можно посмотреть нажав на ссылку.
Вычитание дробей с одинаковым знаменателем.
Рассмотрим, пока примеры в которых уменьшаемое больше вычитаемого.
Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно посчитать разность числителя уменьшаемого и вычитаемого, а знаменатель оставить без изменения.
Вычитание дробей с разными знаменателями.
Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю, а потом применить правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Выполните вычитание дробей \(\frac<5><6>\) и \(\frac<1><2>\).
Общий знаменатель этих двух дробей latex]\frac<5><6>[/latex] и \(\frac<1><2>\) равен 6. Умножим вторую дробь \(\frac<1><2>\) на дополнительный множитель 3.
Дробь \(\frac<2><6>\) сократили и получили \(\frac<1><3>\).
Буквенная формула вычитания дробей с разными знаменателями.
Вопросы по теме: Как вычитать дроби с разными знаменателями? Ответе: нужно найти общий знаменатель и далее по правилу выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Как выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями? Ответ: у числителей посчитать разность, а знаменатель оставить тот же.
Как правильно сделать проверку вычитания двух дробей? Ответ: для проверки правильности вычитания дробей, нужно выполнить сложение вычитаемого и разности, результат их суммы будет равен вычитаемому.
Пример №1: Выполните вычитание дробей: а) \(\frac<1><2>-\frac<1><2>\) б) \(\frac<10><19>-\frac<7><19>\)
При вычитание двух одинаковых дробей получаем нуль.
Пример №2: Выполните вычитание и проверьте сложением: а) \(\frac<13><21>-\frac<3><7>\) б) \(\frac<2><3>-\frac<1><5>\) Решение:
а)Найдем общий знаменатель дробей \(\frac<13><21>\) и \(\frac<3><7>\), он будет равен 21. Умножим вторую дробь \(\frac<3><7>\) на 3.
Выполним проверку вычитания:
б) Найдем общий знаменатель дробей \(\frac<2><3>\) и \(\frac<1><5>\), он будет равен 15. Умножим первую дробь \(\frac<2><3>\) на дополнительный множитель 5, вторую дробь \(\frac<1><5>\) на 3.
Источник
Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения
Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, — вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.
Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями
Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:
В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 — 2 8 = 3 8 .
Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.
Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде a b — c b = a — c b .
Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.
Возьмем конкретные примеры.
Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .
Решение
Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .
Наши подсчеты можно записать так: 24 15 — 17 15 = 24 — 17 15 = 7 15
Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.
Найдите разность 37 12 — 15 12 .
Решение
Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 — 15 12 = 37 — 15 12 = 22 12
Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .
Как найти разность дробей с разными знаменателями
Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:
Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.
Рассмотрим на примере, как это делается.
Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .
Решение
Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .
У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45
Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.
Найдите разность 19 9 — 7 36 .
Решение
Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .
Считаем ответ: 76 36 — 7 36 = 76 — 7 36 = 69 36
Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ — 1 11 12 .
Краткая запись всего решения — 19 9 — 7 36 = 1 11 12 .
Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число
Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.
Найдите разность 83 21 – 3 .
Решение
3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 — 3 = 20 21 .
Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.
Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .
Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 — 3 = 20 21 .
Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа
Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.
Найдите разность: 7 — 5 3 .
Решение
Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 — 5 3 = 5 1 3 .
Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.
Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.
Вычислите разность 1 065 — 13 62 .
Решение
Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 — 13 62 = ( 1064 + 1 ) — 13 62
Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 — 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .
Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.
Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.
Вычислите разность 644 — 73 5 .
Решение
Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.
Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.
Найдите разность 24 4 — 3 2 — 5 6 .
Решение
Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 — 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:
Знаменатель вычитаемой дроби равен 7 , значит, единицу представляют как неправильную дробь 
В примере единицу мы заменили неправильной дробью 
