Простой способ квадрат числа

Быстрое возведение чисел от 1 до 100 в квадрат

Вдохновленный этой статьей, решил поделиться с вами способом быстрого возведения в квадрат. Возведение в квадрат более редкая операция, нежели умножение чисел, но под нее существуют довольно интересные правила.

*квадраты до сотни

Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

Правило 1 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.

В таблице отмечены красным.

Правило 2 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.

В таблице отмечены зеленым.

Правило 3 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 40 до 50.

Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:

В таблице отмечены светло-оранжевым.

Правило 4 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 50 до 60.

Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:

В таблице отмечены темно-оранжевым.

Правило 5 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 90 до 100.

Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:

В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.

Правило №6 (отсекает 32 числа)

Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения 🙂
В таблице отмечены синим.

Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

Формулы (осталось 24 числа)

Для чисел от 25 до 50

Для чисел от 50 до 100

Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):

UPDATE
Произведения чисел, близких к 100, и, в частности, их квадраты, также можно вычислять по принципу «недостатков до 100»:

Словами: из первого числа вычитаем «недостаток» второго до сотни и приписываем двузначное произведение «недостатков».

Для квадратов, соответственно, еще проще.

Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга.

Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.

Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.

Если тема быстрого счета интересна — буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.

Источник

Таблица квадратов чисел до 100 за неделю. Как выучить квадраты чисел без зубрежки за неделю

Книга является продолжением методики, использованной в книге «Таблица умножения за 3 дня». Методики, в которой результат получается методом лёгких вычислений без «зубрёжки» (аналогично тому, как получается результат умножения на 10, путём приписывания цифры 0 к умножаемому). Вычисления доступны ученикам 3-го класса (знают таблицу умножения и умеют делать арифметические действия).

Оглавление

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Таблица квадратов чисел до 100 за неделю. Как выучить квадраты чисел без зубрежки за неделю предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

Формула квадратов чисел от 11 до 19

Данная формула применима для вычисления квадратов, как частного случая умножения чисел от 11 до 19, когда оба числа одинаковые.

Детям младших классов (3—5 класс) формулу объясняю как методику.

Обозначим цифры единиц чисел из интервала [11, 19] как Х и У. Тот факт, что число десятков равно 1, учтём в формуле как 1 в нужном разряде. Нижним подчёркиванием (вместо математического верхнего) покажем, что умножаются числа 1Х и 1У. Тогда вся формула будет иметь вид:

Формула умножения, чисел из отрезка [11, 19]

Словами можно объяснить так:

Приумножении чисел из промежутка [11, 19] нужно поступить таким образом. К первому числу надо добавить единицы второго числа (можно наоборот ко второму числу прибавить единицы первого числа). Полученный результат умножить на 10 (приписать справа 0) и прибавить произведение единиц первого и второго числа.

Так как данная книга о квадратах чисел, то применим данную формулу к частным случаям (когда Х=У):

11 2 =11*11= (11+1) *10+1*1=120+1=121;

12 2 =140+2 2 =144;

13 2 =160+3 2 =169;

14 2 =180+4 2 =196;

15 2 =200+5 2 =225;

16 2 =220+6 2 =256;

17 2 =240+7 2 =289;

Необходимо добиться навыка подсчета таких чисел, как в последних двух примерах (18 и 19), когда многие промежуточные выкладки сведены к сумме двух слагаемых. Вполне можно добиться навыка простого запоминания этих квадратов. Подробнее о технике запоминания будет изложено в другом разделе книги, касающегося мнемотехники.

Доказать справедливость формулы подсчёта таких чисел можно алгебраическими методами.

Перепишем числа 1Х и 1У как 10+Х и 10+У, где Х и У это единицы первого и второго числа.

Тогда (10+Х) * (10+У) =100+10Х+10У+Х*У= (10+Х+У) *10+Х*У.

Выражение в скобках (10+Х+У) это сумма первого числа 10+Х с единицами У второго числа или сумма второго числа 10+У с единицами Х первого числа. Далее полученный результат умножается на 10 и суммируется с произведением единиц первого и второго чисел. Данное правило и было описано словесно в этой главе.

Формула квадратов для чисел, оканчивающихся на 5

Эта формула распространяется и на другие случаи умножения двузначных чисел с одинаковым числом десятков и когда сумма единиц равна 10. Один из частных случаев этой формулы применяется для вычисления квадратных корней для чисел, оканчивающихся на 5.

В этой главе приведу частный случай этой формулы. О самой формуле напишу более подробно в другой моей книге.

Формула вычисления квадратов, для чисел, оканчивающихся на 5:

Квадраты чисел, оканчивающихся на 5

По сути, если число заканчивается на 5, то нужно число десятков увеличить на 1 и перемножить эти числа, в конце полученного результата дописать 25.

1) 15 2 =1* (1+1) *100+5 2 =200+25=225;

2) 25 2 =2* (2+1) *100+5 2 =600+25=625;

3) 75 2 =7*8*100+5 2 =5600+25=5625;

5) 115 2 =11*12*100+25=13225

На практике никакого умножения на 100 не производится. На самом деле сначала пишут результат умножения числа десятков на следующее за ним число и к нему приписывается 25:

Представим число оканчивающееся на 5 как 10*Х+5, где Х-любое число из натурального ряда (5 пример показывает, что число может быть любым, а не только однозначным).

Х5 2 = (10Х+5) * (10Х+5) =100Х 2 +50Х+50Х+5*5=100Х 2 +100Х+25=100Х* (Х+1) +25=Х* (Х+1) *100+25=Х* (Х+1) 25

Формула квадратов чисел от 25 до 50

Многие вычислители (ментальные счётчики, фокусники-математики) используют следующую формулу для вычисления чисел из отрезка [25;50].

Источник

Простой способ квадрат числа

Введение.

Математика – очень древняя наука. Многие понятия, правила, законы, формулы уже известны давно, и открыть что-то новое, просто невозможно. Всё равно на уроке математики мы открываем для себя новые знания. Из года в год наши знания увеличиваются. Например, при изучении темы «Степень» узнали, что произведение одинаковых множителей можно записать, как степень данного числа. Так мы познакомились с квадратом и кубом числа.

Устно возводить в квадрат однозначное число легко, для этого надо знать всего лишь таблицу умножения. А как устно возвести в квадрат двузначное число, меня очень заинтересовало.

Умея это выполнять, мы откажемся от письменного умножения. Конечно, можно посмотреть в таблицу квадратов, но она не всегда под руками.

Цель проекта: Поиск приёмов быстрого возведения чисел в квадрат.

Задачи: 1) Познакомиться с историей возникновения степени числа.

2) Изучить приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

3) Вывести свой способ возведения чисел в квадрат.

4) Выбрать из всех самый оптимальный способ.

Гипотеза: Применение приёмов быстрого возведения чисел в квадрат облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру учащихся. Возводить в квадрат легко и просто.

Объект исследования: приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

Методы исследования: Анализ литературы. Поисковый метод. Сравнение.

Актуальность проекта: Во все времена умение производить в уме различные вычисления вызывает восхищение, это отличное упражнение, позволяющее поддержать мозг в состоянии «боевой готовности»[1]. Освоение способов устного возведения чисел в квадрат усиливает интерес к математике, развивает внимание, мышление, память, эрудицию и математические способности.

История возникновения квадрата числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней[5].

В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский [2] описывает первые натуральные степени чисел так:

«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения не­которого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умно­жения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

Прошло много времени и у Рене Декарта[3] в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а?, а. Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а 2 и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей.

Немецкий ученый Лейбниц[4] считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей и применял знак а 2 [5].

Приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

Учись считать быстро! Для овладения этим навыком любому человеку нужны:

Давайте познакомимся с некоторыми приёмами возведения в квадрат двузначных чисел, которые выполняются почти мгновенно[1].

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

1. 35 2 = 3 · (3 + 1) · 100 + 5 · 5 = 1200 + 25 = 1225.
2. 75 2 = 5600 + 25 = 5625.
3. 85 2 = 7225.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо умножить количество его десятков на следующее за ним число и приписать к произведению 25.

Возведение в квадрат числа, первая цифра которого равна 5.

• 52 2 = (5 · 5 + 2) · 100 + 2 · 2 = 2700 + 4 = 2704.
• 54 2 = (25 + 4) · 100 + 16 = 2916.
• 58 2 = 3300 + 64 = 3364.
• 51 2 = 2601.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, первая цифра которого равна 5, надо к 25 прибавить число единиц и приписать квадрат числа единиц.

• Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 1.

1. 71 2 ; 71→70→70 2 = 4900; 71 2 = 4900 + 71 + 70 = 5041.
2. 41 2 = 1600 + 41 + 40 = 1881.
3. 81 2 = 6400 + 161 = 6561.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно округлить число до десятков, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное при округлении.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 9.

1. 59 2 ; 59 → 60→60 2 =3600; 59 2 = 3600 – 60 – 59 = 3600 – 119 = 3481.
2. 29 2 = 900 – 29 – 30 = 841.
3. 79 2 = 6400 – 159 = 6241.
4. При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно его округлить до десятков, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное при округлении.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 4.

1. 84 2 ; 84→85→85 2 = 7225; 84 2 = 7225 – 84 – 85 = 7225 – 169 = 7056.
2. 34 2 = 1225 – 34 – 35 = 1225 – 69 = 1156.
3. 74 2 = 5625 – 149 = 5476.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 6.

1. 56 2 ; 56→55→55 2 = 3025; 56 2 = 3025 + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.
2. 36 2 = 1225 + 36 + 35 =1296.
3. 76 2 = 5625 + 151 = 5776.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

Возведение в квадрат числа, близкого к 50.

а) Для чисел от 40 до 50 (числа пятого десятка). Опорное число – 15.

1) 44 2 = (15 + 4) · 100 + (50 – 44) 2 = 1900 + 36 = 1936.

2) 43 2 = 18 · 100 + 7 2 = 1800 + 49 = 1849.

3) 48 2 = 2300 + 4 = 2304.

• Чтобы возвести в квадрат числа пятого десятка (41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49), надо к числу 15 прибавить число единиц числа, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения данного числа до 50.

б) Для чисел от 25 до 40 и до 50. Опорное число – 25.

1) 37 2 = (37 – 25) · 100 + (50 – 37) 2 = 12 · 100 + 13 2 = 1200 + 169 = 1369.

Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.

2) 28 2 = 3 · 100 + 22 2 = 300 + 484 = 784.

3) 46 2 = 2100 + 16 = 2116.

4) 39 2 = 1400 + 121 = 1521.

• Чтобы возвести в квадрат число от 25 до 50, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат дополнения данного числа до 50.

в) Для чисел от 50 до 60 (числа шестого десятка). Опорное число – 25.

1) 57 2 = (25 +7) · 100 + (57 – 50) 2 = 32 · 100 + 7 2 = 3200 + 49 = 3249.

2) 52 2 = 2700 + 4 = 2704.

• Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59), надо к 25 прибавить число единиц, затем к полученной сумме приписать квадрат разности данного числа и 50.
• Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

г) Для чисел от 50 до 60 и до 75. Опорное слово – 25.

Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.

1) 58 2 = (58 – 25) · 100 + (58 – 50) 2 = 33 · 100 + 8 2 = 3300 + 64 = 3364.

2) 71 2 = 46 · 100 + 21 2 = 4600 + 441 = 5041.

• Чтобы возвести в квадрат числа от 50 до 75, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат разности данного числа и 50.

Возведение в квадрат числа, близкого к 100.

97 2 = (97 – 3) · 100 + 3 2 = 9400 + 9 = 9409, где 3 – дополнение 97 до 100.

94 2 = (94 – 6) · 100 + 6 2 = 8800 + 36 = 8836.

• Чтобы возвести в квадрат число, близкое к 100, надо из него вычесть дополнение данного числа до 100, к результату приписать квадрат дополнения.
• Если квадрат дополнения является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Возведение в квадрат любого двузначного числа.

а) Метод «пирамидка».

38 2 = (30 + 8) 2 = (30 + 8) · (30 + 8) = (30 + 8) · 30 + (30 + 8) · 8 = 30 · 30 + 8 · 30 +

+ 30 · 8 + 8 · 8 = 3 · 3 · 100 + 3 · 8 · 10 + 3 · 8 · 10 + 8 · 8 = 3 2 · 100 + 3 · 8 · 2 · 10 + + 8 2 = 9 · 100 + 48 · 10 + 64 = 964 + 480 = 1444.

Можно оформить решение так:

27 2 = 449 + 280 = 729.

84 2 = 6416 + 640 = 7056.

б) Метод «перекидки».

42 2 = 42 · 42 = (42 + 2) · 40 + 2 2 = 44 · 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764

78 2 = (78 + 8) · 70 + 64 = 86 · 70 + 64 = 6020 + 64 = 6084.

в) Метод «округления».

1) Для чисел, у которых цифра единиц больше 5:

47 2 = 47 · 47 = 50 · (47 – 3) + 3 2 = 50 · 44 + 9 = 2200 + 9 = 2209.

26 2 = 30 · 22 + 16 = 660 + 16 = 676.

1) Для чисел, у которых цифра единиц меньше 5:

73 2 = 73 · 73 = 70 · (73 + 3) + 3 2 = 70 · 76 + 9 = 5320 + 9 = 5329.

82 2 = 80 · 84 + 4 = 6720 + 4 = 6724.

г) Метод замены квадрата числа произведением.

29 2 = (29 – 9) · (29 + 9) + 9 2 = 20 · 38 + 81 = 760 + 81 = 841.

86 2 = (86 – 6) · (86 + 6) + 6 2 = 80 · 92 + 36 = 7360 + 36 = 7396.

54 2 = 50 · 58 + 16 = 2900 + 16 = 2916.

д) Метод понижения числа на единицу.

28 2 = (28 – 1) 2 + 28 + (28 – 1) = 27 2 + 28 + 27 = 729 + 55 = 784.

56 2 = 55 2 + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.

Минус этого приёма в том, что квадрат данного двузначного числа выражаем через квадрат числа на единицу меньше, который надо либо вычислять, либо снова понижать, и так до бесконечности.

Возведение в квадрат любого двузначного числа по методу Алины.

Приёмов возведения двузначных чисел в квадрат много и все они разные. Для каждой группы чисел надо знать своё правило, а удержать все правила в уме иногда невозможно.

Собирая материал для проекта, мне захотелось вывести свой приём быстрого возведения двузначного числа в квадрат.

Очень понравился приём возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Он быстрый и понятный. А можно ли этот приём применить для любого числа? Изучая литературу, я нигде этого способа не увидела. Применяя его для любых двузначных чисел, вот что у меня получилось.

Напомню: 35 2 = 3 · (3 + 1) · 100 + 5 2 = 1200 + 25 = 1225.

Возведём по этому способу в квадрат число 36.

Мы знаем, что 36 2 = 1296.

3 · (3 + 1) · 100 + 6 2 = 1200 + 36 = 1236, но 1236 1296. Число 1236 2 = 3 · 4 · 100 + 6 2 + 30 · 2 = 1236 + 60 = 1296.

Рассмотрим другие примеры.

56 2 = 5 · 6 · 100 + 6 2 + 50 · 2 = 3000 + 36 + 100 = 3036 + 100 = 3136.

46 2 = 2036 + 40 · 2 = 2036 + 80 = 2116.

Я много раз возводила числа в квадрат и увидела такую закономерность:

1. Выпишем цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. В этом ряду цифра 5 занимает середину; 4 и 6 отличаются от 5 на 1, они стоят на первом месте от 5; 3 и 7 – на втором; 2 и 8 – на третьем; 1 и 9 на четвёртом.

Пусть, например, надо возвести в квадрат число 39. Цифра 9 стоит на четвёртом месте от цифры 5, число 4 удваиваем, это будет 8, а теперь применяем приём:

39 2 = 3 · 4 · 100 + 9 2 + 30 · 8 = 1200 + 81 + 240 = 1281 + 240 = 1521.

240 можно представить так: 30 · 2 · 4, то есть десятки числа удвоить и умножить на номер места цифры единиц от цифры 5.

А как возвести в квадрат число, если цифра единиц меньше 5. Например, 73 2 .

Число 73 2 = 5329;

73 2 = 5609 – применяя приём возведения в квадрат для числа, оканчивающегося на 5. Но 5329 ≠ 5609.

х = 280, где 280 = 70 · 2 · 2, первая двойка удваивает число десятков в числе; вторая двойка обозначает номер места цифры 3 от цифры 5.

Эврика! Способ найден!

73 2 = 7 · 8 ·100 + 3 · 3 – 70 · 2 · 2 = 5609 – 280 = 5329.

Можно оформить решение и так:

• Чтобы возвести любое двузначное число в квадрат, надо количество десятков умножить на следующее число и приписать квадрат числа единиц. К полученному результату прибавить (или из полученного результата вычесть) удвоенное произведение десятков числа, умноженное на порядковый номер места цифры единиц в числовом ряду 1₄, 2₃, 3₂, 4₁, 5, 6₁, 7₂, 8₃, 9₄ от цифры 5.
• Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Какой приём возведения двузначного числа в квадрат наиболее простой? Для себя я выбрала два приёма. Мне они оба понятные и несложные.

1. 68 2 = 6 2 100 + 8 2 + 60 · 8 + 60 · 8 = 3664 + 480 + 480 = 3664 + 960 = 4624.
2. 68 2 = 6 · 7 · 100 + 8 2 + 60 ·2 · 3 = 4264 + 360 = 4624.

Какой приём выберите вы, думайте сами. Вам решать.

Заключение.

Владение приёмами быстрого возведения двузначного числа в квадрат даёт возможность выбрать в каждом отдельном случае наиболее рациональные и эффективные пути вычислений, что приводит:

• к сокращению времени на вычисления;
• к защите от массы вычислительных ошибок;
• к ведению записи в строчку и отказа от традиционного письменного умножения.

Считаю, что возводить двузначные числа в квадрат легко и просто. Гипотеза доказана.

Умение считать в уме остаётся полезным навыком для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.

Возможность обходиться без калькулятора и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это здорово[1]!

Источник