Производная ее геометрический способ

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

• 4 июня 2021 г.
• 9 минут
• 601 913
• 15

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Производная функции. Геометрический смысл производной

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+	0	—	0	+

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

Источник

Лекция по математике на тему:Производная и ее геометрический смысл

Тема занятия: Производная и ее геометрический смысл. Применение производной. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях.

Цель занятия: Дать понятие производной, ее геометрический смысл; таблицу производных; формулы производных суммы, произведения, частного; определение частной производной. Дать понятие дифференциала, его геометрический смысл, таблицу дифференциалов; научить применять дифференциал при вычислении приближенных значений; вычислять производные функции при данном значении аргумента.

2.1. Задачи, приводящие к понятию производной.

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

Как известно, равномерным движением называют такое движение, при котором тело в равные промежутки времени проходит равные по длине отрезки пути. Путь, пройденный телом в единицу времени, называют скоростью равномерного движения.

Однако чаще всего на практике мы имеем дело с неравномерным движением. Автомобиль, едущий по дороге, замедляет движение у переходов и ускоряет его на тех участках, где путь свободен; самолёт снижает скорость при приземлении и т.д. Поэтому чаще всего нам приходится иметь дело с тем, что за равные отрезки времени тело проходит различные по длине отрезки пути. Такое движение называют неравномерным. Его скорость нельзя охарактеризовать одним числом.

Часто для характеристики неравномерного движения пользуются понятием средней скорости движения за время ∆t ٫ которое определяется соотношением где ∆ s – путь, пройденный телом за время ∆t.

Как определить мгновенную скорость?

Пусть движение тела описывается законом . Рассмотрим путь, пройденный телом за время от t ₀ до t ₀ + ∆t, т.е. за время, равное ∆t. В момент t ₀ телом пройден путь , в момент – путь . Поэтому за время ∆t тело прошло путь и средняя скорость движения тела за этот промежуток времени составит.

Чем меньше промежуток времени ∆t, тем точнее можно установить, с какой скоростью движется тело в момент t ₀ , так как движущееся тело не может значительно изменить скорость за малый промежуток времени. Поэтому средняя скорость при стремлении ∆t к нулю приближается к действительной скорости движения и в пределе даёт скорость движения в данный момент времени t ₀ (мгновенную скорость).

Определение. Мгновенная скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t ₀ называется предел средней скорости за время от t ₀ до t ₀ + ∆t, когда промежуток времени ∆t стремится к нулю.

Итак, чтобы найти скорость прямолинейного неравномерного движения в данный момент, нужно найти предел отношения приращения пути ∆ к приращению времени ∆t при условии т.е. Лейбниц пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.

Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к её траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой.

Определение касательной как прямой, имеющей с кривой только одну общую точку, справедливое для окружности, непригодно для многих других кривых.

Ниже представленное определение касательной к кривой, не только соответствует интуитивному представлению о ней, но и позволяет фактически находить её направление, т.е. вычислять угловой коэффициент касательной.

Определение. Касательной к кривой в точке М называется предельное положение МТ секущей ММ ₁ , проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М ₁ неограниченно приближается по кривой к точке М ₁ .

При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю; поэтому точка М ₁ неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ ₁ , поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол .

Поэтому угловой коэффициент касательной равен:

2.2. Определение производной.

Понятие производной является одним из фундаментальных понятий математики.

Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции:

Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента.

Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента.

Приращение функции делят на приращение аргумента.

Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

К предельным переходам такого типа приводят решения многих задач. Возникают необходимость сделать обобщение и дать название этому предельному переходу.

Скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента можно, очевидно, охарактеризовать отношением . Это отношение называется средней скоростью изменения функции на отрезке от до . Сейчас нужно рассмотреть предел дроби Предел этого отношения при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует) представляет собой некоторую новую функцию от . Эту функцию обозначают символами y ’, называют производной данной функции так как она получена (произведена) из функции .

Определение. Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции ∆y к соответствующему приращению аргумента ∆x при условии, что ∆x→0, т.е.

или

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала ( a ; b ) , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Если функция имеет производную в точке x = a , то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке .

Определение производной не только с исчерпывающей полнотой характеризует понятие скорости изменения функции при изменении аргумента, но и даёт способ фактического вычисления производной данной функции. Для этого необходимо выполнить следующие четыре действия (четыре шага), указанные в самом определении производной:

Находят новое значение функции, представив в данную функцию вместо x новое значение аргумента : .

Определяют приращение функции, вычитывая данное значение функции из её нового значения: .

Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента: .

Переходят к пределу при и находят производную: .

Вообще говоря, производная – это «новая» функция, произведённая от данной функции по указанному правилу.

2.3. Геометрический смысл производной.

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке x ₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x ₀ , т.е. .

Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид – текущие координаты. Но и уравнение касательной запишется так: . Уравнение нормали запишется в виде .

Т.е. уравнение касательной и есть геометрический смысл производной.

2.4. Механический (физический) смысл производной.

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем. Если тело движется по прямой по закону , то за промежуток времени (от момента t до момента ) оно пройдет некоторый путь . Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени .

Скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения приращения пути к приращению времени , когда .

Следовательно, производная пути S по времени t равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени . В этом состоит физический (механический) смысл производной.

2.5. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции и — две дифференцируемые в некотором интервале ( a ; b ) функции.

Правило 1: Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: .

Правило 2: Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .

Правило 3: Производная частного двух функций , если , равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: . Следствие:

2.6. Производная сложной функции.

Пусть и , тогда — сложная функции с промежуточным аргументом и независимым аргументом .

Таким образом, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

2.7. Производная обратной функции.

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

2.8. Таблица производных.

Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать и , С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции. Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать и , С=const . Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.

2 .9. Понятие второй производной.

Производная функции в общем случае является функцией от х. Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .

Определение. Второй производной функции называется производная от ее первой производной .

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка.

2.10. Физический смысл второй производной.

Если тело движется прямолинейно по закону , то вторая производная пути S по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t :

2.11. Понятие дифференциала.

С понятием производной тесно связано важное понятие математики – понятие дифференциала.

Пусть есть некоторая функция, имеющая в некоторой точке производную. Дадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение .

По определению производной имеем: .

Так как разность между переменной имеющей предел, и этим пределом является бесконечно малой, то — есть величина бесконечно малая при .

Если , то имеет тот же порядок, что и . Значит, при малых второе слагаемое менее важно, чем первое. Это первое слагаемое и называется дифференциалом даже если .

Определение. Дифференциалом функции в точке х называется главная часть приращения линейно зависящая от приращения аргумента .

2.12. Геометрический смысл дифференциала.

Выясним геометрический смысл дифференциала. Для этого проведем к графику функции в точке М( x , y ) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки

На рисунке длина АМ равна , длина АМ ₁ равна . Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .

Сравнивая полученный результат с формулой: , получаем , т.е.

Дифференциал функции в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке, когда х получит приращение .

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

2.13. Таблица дифференциалов.

2.14. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Как уже известно, приращение функции в точке х можно представить в виде , где при или . отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем получаем приближенное равенство , причем это равенство тем точнее, чем меньше .

Это равенство позволяет с большей точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находят значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула: широко применяется в вычислительной практике.

Закрепление материала по занятию №2.

Тема занятия: Производная и ее геометрический смысл. Применение производной. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях.

Найти производные функций:

Найти функций, используя геометрический и физический смыслы производной:

Найти дифференциал функций:

Найти приближенное значение приращения функции при .

Решение: Применяем формулу

Подставляя данные, получим:

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем .

Абсолютная погрешность приближения равна:

Подставляя в равенство значения , получим:

Это формула используется для вычислений приближенных значений функций.

Решение : Рассмотрим функцию . По формуле имеем:

так как , то при , получаем:

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы не превышает величины , где М – наибольшее значение.

Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начального падения. Уравнение свободного падения тела .

Решение : Требуется найти Н(10,04). Воспользуемся приближенной формулой ().

Вычислить приближенное значение приращения функции , при изменении аргумента от х=2 до х=2,001.

Составить уравнение касательной к графику функции: в точке А(3,6).

Решение: Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную данной функции. Уг. коэффициент касательной равен значению производной функции в точке с абсциссой 3.

Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции: в точке с абсциссой 2.

Решение: Сначала найти ординату точки касания. Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную данной функции. Уг. коэффициент касательной равен значению производной функции в точке с абсциссой 2.

Примеры с решением сложных функций:

Найти производную функции:

. Найти y’ (–1).

.

Источник