Умножение приближённых чисел
Если приближённое число нужно умножить на точное (например, удвоить, утроить и т.д.), то поступаем так же, как при умножении точных чисел. Процентная погрешность произведения равна при этом процентной погрешности приближённого множителя, поэтому в произведении оставляем столько цифр, сколько их в приближённом множителе. Например, 3,66∗2 = 7,32; 7,68∗9 = 69,12 ≈ 69,1.
Если оба сомножителя заданы приближённо, то дело обстоит иначе.
Отметим, прежде всего, следующее важное обстоятельство: число верных цифр произведения равно числу верных цифр наименее точного множителя. Если, например, в одном множителе четыре верные цифры, а в другом — только две, то в произведении можно будет ручаться только за две, цифры. Поэтому и первый множитель можно округлить, сохранив в нём только две верные цифры.
При приближённом умножении у всех множителей сохраняют одинаковое число верных цифр.
Действие располагаем так: подписываем множитель под множимым, причём цифры множителя пишем в обратном порядке, справа налево. Подчёркиваем, ставим слева знак умножения. Запятых обычно не пишем. Если надо, например, умножить 25,63 на 0,8345, то запишем это так: 25,63∗0,8345 =
(точки показывают, что действие будет продолжаться)
Умножаем теперь крайнюю правую цифру множителя на множимое, результат подписываем под чертою, а затем зачёркиваем крайние правые цифры обоих сомножителей:
Далее умножаем крайнюю справа незачеркнутую цифру множителя на незачёркнутую часть множимого. Результат записываем под первым произведением, не сдвигая его влево (в отличие от обычного умножения), а единицы под единицами и т.д. Выполнив действие, зачёркиваем вторые справа цифры:
Снова крайнюю правую незачёркнутую цифру множителя умножаем на незачёркнутую часть множителя и так продолжаем до тех пор, пока не зачеркнём все цифры:
Остаётся сложить все произведения. Последнюю цифру отбрасываем, а предпоследнюю увеличиваем на единицу, независимо от того, какова отброшенная цифра. Соображаем где поставить запятую. Двадцать пять умножаем на восемь десятых, т.е. почти на единицу. Результат должен быть около двадцати. Значит, запятую нужно поставить после второй цифры слева. Вся запись в окончательной форме выглядит так:
Перемножим наши числа, пользуясь обычным правилом:
При пользовании обычным правилом приходится делать много лишних умножений и складывать более громоздкие числа, а точность в конечном итоге получается та же самая.
Вот ещё примеры:
2) 654,385∗5434∙10 3 = 3556∙10 6
Обращаем внимание читателя на второй пример. В одном из сомножителей шесть верных цифр, в другом — всего четыре. Значит, в произведении получится четыре верные цифры, а потому и в первом сомножителе достаточно сохранить четыре цифры (округлив его по обычному правилу). Как теперь определить число нулей в конце произведения? Один из наших сомножителей близок к 600, другой — к 5000, их произведение будет близко к 3000000, т.е. будет содержать семь цифр; да 10 3 даст ещё три нуля. Всего десять цифр. Четыре мы имеем (3556). Остаётся приписать 6 нулей или множитель 10 6 .
Сформулируем теперь общее правило перемножения двух приближённых чисел, данных с одинаковым числом верных знаков. Чтобы перемножить два приближённых числа, имеющих поровну верных цифр, подписываем одно под другим, причём цифры множителя (написанного внизу) пишем в обратном порядке и подчёркиваем. Умножаем правую цифру множителя на множимое, результат подписываем под чертой, а крайние правые цифры зачёркиваем. Умножаем затем первую справа из незачеркнутых цифр множителя на незачёркнутую часть множимого, результат подписываем под первым произведением, единицы под единицами, десятки под десятками и т.д., не сдвигая его влево. После этого зачёркиваем вторые справа цифры множимого и множителя. Продолжаем это до тех пор, пока не исчерпаем всех цифр множимого и множителя. После этого складываем все числа, написанные под чертой, зачёркиваем последнюю цифру суммы, предпоследнюю увеличиваем на единицу и ставим запятую или добавляем нули.
Заметим, что если первые цифры множимого и множителя малы (дают в произведении меньше десяти), то при этом способе вычисления может получиться одною верною цифрой меньше, чем мы ожидаем. Умножим, например, 214 на 143:
Верные цифры будут: 31. Умножая 200 на 100, получим 20000; значит, и наше произведение будет содержать пять цифр; следовательно, 214∗143 ≈ 31∙10 3 . Нужно сказать, что в этом случае можно сохранять все цифры приближенного произведения, увеличив последнюю на единицу, т.е. писать 214∗143 ≈ 305∙10 2 . Но при этом, последняя цифра может на единицу или двойку отличаться от истинной. Обычно этим не смущаются, получая и в этом случае три цифры в произведении.
Примеры: 24,36∗8,25; 0,632∗4,234; 0,053825∗4,6848; 2,3∗64,10 5 ; 363∗515[7]; 24, 45∗3816∙10 2 ; 32,38∗5,634; 6,12∗8,734; 436∙10∗2,83; 52,63∗360,6; 283,1∗44,95; 126∗25,3; 3,18∗0,0212; 1,27∗0,425.
Источник
УМНОЖЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ
При умножении приближенных чисел нас должен интересовать прежде всего вопрос о том, сколько знаков следует сохранить в сомножителях, чтобы получить произведение с заданной точностью. Знать это важно для того, чтобы не делать бесполезных вычислений с лишними цифрами.
Рассмотрим сперва случай умножения приближенного числа па точное.
Существует правило: произведение приближенного числа на точное содержит столько верных знаков, сколько их имеется во множимом. Например, в произведении 7,54 X 3,2 = 24,128, где множимое представляет собой приближенное число, а множитель — точное, будет три верных знака — 24,1.
Возьмем другой пример. Произведение приближенного числа 7,3561247 на точное 25 равно 183,9031175. Последнее число содержит восемь верных знаков.
Будем умножать на точный множитель 25 сперва три цифры данного числа, затем четыре, пять и т. д. до последней цифры с округлением там, где это нужно.
Результат получим такой:
7,36 X 25 = 184,00
7,356 X 25 = 183,900
7,3561 X 25 = 183,9025
7,35612 X 25 = 183,90300
7,356125 X 25 = 183,903125 7,3561247 X 25 = 183,9031175.
Данный пример показывает, что для получения, скажем, четырех верных знаков достаточно сохранить во множимом только четыре цифры, остальные должны быть отброшены. Оставление в нем большего количества знаков совершенно нецелесообразно, так как это приводит лишь к напрасной потере времени и труда для бесполезных вычислений.
При отбрасывании лишних цифр применяется округ ление последней сохраняемой цифры.
Если оба сомножителя заданы приближенно, то число верных знаков в произведении будет такое же, как у сомножителя с меньшим количеством точных цифр.
Из этого свойства произведения приближенных чисел вытекает следующее правило: при перемножении приближенных чисел с различным числом верных цифр следует сохранять в каждом из сомножителей столько знаков, сколько их содержится в сомножителе с наименьшим количеством верных цифр. Например, при перемножении двух приближенных чисел 5,48 X 0,24 следует в первом из них сохранить только две цифры, а третью отбросить с округлением смежного с нею знака, т. е. произвести умножение 5,5 X 0,24 = 13,2.
Если приближенные сомножители даны с большим количеством знаков, то на практике с целью уточнения приближенного произведения создают дополнительный запас точности таким образом: если в произведении двух приближенных чисел желают сохранить п верных знаков, то в одном из сомножителей оставляют п + 1 знаков. Например, желая получить три верных знака в произведении 3,53758 X 4,51682 (которое равно 15,9786120956), следует умножить либо 3,54 на 4,517, либо 3,538 на 4,52; в первом случае получим 15,99018 я^ 16,0, во втором — 15,99176 ^ 16,0.
Продолжая тот же прием для получения четырех знаков, найдем:
3,538 X 4,5168 = 15,9804384 ^ 15,98
или
3,5376 X 4,517 = 15,9793392 ^ 15,98; для получения пяти верных знаков:
3,5376 X 4,51682 = 15,978702432 ^ 15,979
или
3,53758 X 4,5168 = 15,978541344 ^ 15,979.
Как видно из приведенного примера, для нахождения четырех знаков произведения достаточно было бы закончить умножение после получения пятой цифры; для определения пяти точных цифр произведения вовсе ненужными оказываются цифры, стоящие правее шестого знака. Поэтому на практике часто применяют способ сокращенного умножения, дающий большую экономию времени при вычислениях в тех случаях, когда можно ограничиться тремя пятью верными цифрами. Способ сокращенного умножения состоит в следующем.
Допустим, требуется найти четыре верных цифры произведения 37,54 X 2,652 (полное произведение 37,54 X 2,652 = 99,55608). Умножение можно выполнить так:
Источник
Умножение приближённых чисел
Если приближённое число нужно умножить на точное (например, удвоить, утроить и т.д.), то поступаем так же, как при умножении точных чисел. Процентная погрешность произведения равна при этом процентной погрешности приближённого множителя, поэтому в произведении оставляем столько цифр, сколько их в приближённом множителе. Например, 3,66∗2 = 7,32; 7,68∗9 = 69,12 ≈ 69,1.
Если оба сомножителя заданы приближённо, то дело обстоит иначе.
Отметим, прежде всего, следующее важное обстоятельство: число верных цифр произведения равно числу верных цифр наименее точного множителя. Если, например, в одном множителе четыре верные цифры, а в другом — только две, то в произведении можно будет ручаться только за две, цифры. Поэтому и первый множитель можно округлить, сохранив в нём только две верные цифры.
При приближённом умножении у всех множителей сохраняют одинаковое число верных цифр.
Действие располагаем так: подписываем множитель под множимым, причём цифры множителя пишем в обратном порядке, справа налево. Подчёркиваем, ставим слева знак умножения. Запятых обычно не пишем. Если надо, например, умножить 25,63 на 0,8345, то запишем это так: 25,63∗0,8345 =
(точки показывают, что действие будет продолжаться)
Умножаем теперь крайнюю правую цифру множителя на множимое, результат подписываем под чертою, а затем зачёркиваем крайние правые цифры обоих сомножителей:
Далее умножаем крайнюю справа незачеркнутую цифру множителя на незачёркнутую часть множимого. Результат записываем под первым произведением, не сдвигая его влево (в отличие от обычного умножения), а единицы под единицами и т.д. Выполнив действие, зачёркиваем вторые справа цифры:
Снова крайнюю правую незачёркнутую цифру множителя умножаем на незачёркнутую часть множителя и так продолжаем до тех пор, пока не зачеркнём все цифры:
Остаётся сложить все произведения. Последнюю цифру отбрасываем, а предпоследнюю увеличиваем на единицу, независимо от того, какова отброшенная цифра. Соображаем где поставить запятую. Двадцать пять умножаем на восемь десятых, т.е. почти на единицу. Результат должен быть около двадцати. Значит, запятую нужно поставить после второй цифры слева. Вся запись в окончательной форме выглядит так:
Перемножим наши числа, пользуясь обычным правилом:
При пользовании обычным правилом приходится делать много лишних умножений и складывать более громоздкие числа, а точность в конечном итоге получается та же самая.
Вот ещё примеры:
2) 654,385∗5434∙10 3 = 3556∙10 6
Обращаем внимание читателя на второй пример. В одном из сомножителей шесть верных цифр, в другом — всего четыре. Значит, в произведении получится четыре верные цифры, а потому и в первом сомножителе достаточно сохранить четыре цифры (округлив его по обычному правилу). Как теперь определить число нулей в конце произведения? Один из наших сомножителей близок к 600, другой — к 5000, их произведение будет близко к 3000000, т.е. будет содержать семь цифр; да 10 3 даст ещё три нуля. Всего десять цифр. Четыре мы имеем (3556). Остаётся приписать 6 нулей или множитель 10 6 .
Сформулируем теперь общее правило перемножения двух приближённых чисел, данных с одинаковым числом верных знаков. Чтобы перемножить два приближённых числа, имеющих поровну верных цифр, подписываем одно под другим, причём цифры множителя (написанного внизу) пишем в обратном порядке и подчёркиваем. Умножаем правую цифру множителя на множимое, результат подписываем под чертой, а крайние правые цифры зачёркиваем. Умножаем затем первую справа из незачеркнутых цифр множителя на незачёркнутую часть множимого, результат подписываем под первым произведением, единицы под единицами, десятки под десятками и т.д., не сдвигая его влево. После этого зачёркиваем вторые справа цифры множимого и множителя. Продолжаем это до тех пор, пока не исчерпаем всех цифр множимого и множителя. После этого складываем все числа, написанные под чертой, зачёркиваем последнюю цифру суммы, предпоследнюю увеличиваем на единицу и ставим запятую или добавляем нули.
Заметим, что если первые цифры множимого и множителя малы (дают в произведении меньше десяти), то при этом способе вычисления может получиться одною верною цифрой меньше, чем мы ожидаем. Умножим, например, 214 на 143:
Верные цифры будут: 31. Умножая 200 на 100, получим 20000; значит, и наше произведение будет содержать пять цифр; следовательно, 214∗143 ≈ 31∙10 3 . Нужно сказать, что в этом случае можно сохранять все цифры приближенного произведения, увеличив последнюю на единицу, т.е. писать 214∗143 ≈ 305∙10 2 . Но при этом, последняя цифра может на единицу или двойку отличаться от истинной. Обычно этим не смущаются, получая и в этом случае три цифры в произведении.
Примеры: 24,36∗8,25; 0,632∗4,234; 0,053825∗4,6848; 2,3∗64,10 5 ; 363∗515[7]; 24, 45∗3816∙10 2 ; 32,38∗5,634; 6,12∗8,734; 436∙10∗2,83; 52,63∗360,6; 283,1∗44,95; 126∗25,3; 3,18∗0,0212; 1,27∗0,425.
Источник
