Проецирование плоскости способы преобразования проекций

Лекция 4. Способы преобразования ортогонального чертежа

4.1. Способ перемены плоскостей проекций

Чаще всего геометрические объекты расположены относительно плоскостей проекций в общем положении, и при решении задач для достижения поставленной цели необходимо выполнять много построений.

Количество построений можно значительно сократить, если геометрические элементы будут расположены в частном положении относительно плоскостей проекций.

Существуют два основных способа преобразования чертежа, при которых:

1. Объект остаётся неподвижным, при этом меняется аппарат проецирования;
2. Условия проецирования не меняются, но изменяется положение объекта в пространстве.

К первому способу относится способ перемены плоскостей проекций.

Ко второму – способ вращения (вращение вокруг линии уровня и вращение вокруг проецирующей прямой); способ плоскопараллельного перемещения.

Рассмотрим наиболее часто используемые способы при решении задач.

Способ перемены плоскостей проекций или способ введения дополнительных плоскостей проекций (ДПП) позволяет перейти от заданной системы плоскостей проекций к новой системе, более удобной для решения той или иной задачи.

Рассмотрим положение точки А относительно известной системы плоскостей проекций π₂⊥π₁ (Рисунок 4.1, а и б).

Введём π₄⊥π₁, при этом получим новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Положение точки А на эпюре будет в этом случае задано проекциями А₁ и А₄.

Правила перемены плоскостей проекций:

1. Новая плоскость проекций вводится перпендикулярно, по крайней мере, одной из заданных на чертеже плоскостей проекций;
2. ДПП располагается относительно проецируемого объекта в частном положении, удобном для решения поставленной задачи;
3. Новую плоскость совмещаем вращением вокруг новой оси проекций с плоскостью, которой она перпендикулярна на свободное место так, чтобы проекции не накладывались друг на друга.

а б

Рисунок 4.1 – Способ перемены плоскостей проекций

1. На чертеже новая проекция геометрического элемента находится на линии связи, перпендикулярной новой оси проекций:

1. Расстояние от А₄ до π₁/π₄ равно расстоянию от А₂ до π₂/π₁, так как величина этих отрезков (отмечены ○) определяет расстояние от точки А до плоскости проекций π₁.

При решении задачи необходимо заранее обдумать, как расположить новую плоскость проекций относительно заданных геометрических объектов (прямой, плоскости и др.), и как на чертеже провести новую ось проекций, чтобы в новой системе плоскостей заданные объекты заняли бы частные положения по отношению к новой плоскости проекций.

Упражнение

1. Спроецировать отрезок общего положения АВ в точку.

1. Введём ДПП π₄//А₁В₁ и π₄⊥π₁ (Рисунок 4.2). В новой системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций π₁/π₄ отрезок АВспроецируется на π₄ в натуральную величину и по этой проекции можем определить угол наклона отрезка к плоскости проекций π₁

Упражнение

2. Дана плоскость общего положения – σ, заданная треугольником АВС (Рисунок 4.3).

Определить истинную величину треугольника.

1. Введём ДПП π₄⊥σ и π₄⊥π₁, для чего построим горизонталь в плоскости треугольника и проведём новую ось проекций π₁/π₄⊥g₁согласно теореме о перпендикуляре к плоскости. На π₄ плоскость σ спроецируется в прямую, что означает σ⊥πp₄.
2. Введём ДПП π₅//σ (π₄/π₅//А₄В₄С₄) и π₄⊥π₅. На π₅ проекция А₅В₅С₅ – есть истинная величина треугольника.

4.2. Способ вращения

Сущность способа вращения состоит в том, что положение системы плоскостей проекций считается неизменным в пространстве, а положение проецируемого объекта относительно неподвижных плоскостей изменяется.

Из сравнения сущности обоих способов видно, что решение задач, которые требуют применения преобразования ортогонального чертежа, может быть выполнено любым из этих способов, результат при этом должен получиться одинаковым. Основа выбора того или иного способа – рациональность решения.

Вращение заданных элементов будем осуществлять вокруг проецирующей прямой, то есть прямой, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, при этом все точки заданных элементов поворачиваются в одну и ту же сторону на один и тот же угол (Рисунок 4.4, а и б). Ось вращения и объект вращения составляют твёрдое тело.

А – точка в пространстве;

О – центр вращения точки А;

АО – радиус вращения

а б

Рисунок 4.4 – Способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной π₂

Точка описывает в пространстве окружность радиусом АО. Плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (σ⊥m).

Так как m⊥π₂ , то σ//π₂, следовательно, σ⊥π₁, ⇒ σ₁⊥m₁, и поэтому σ проецируется на π₁ в виде прямой, перпендикулярной проекции оси вращения, а на π₂ траектория вращающейся точки проецируется в виде окружности с центром О₂≡m₂.

Пусть ось вращения m⊥π₁ (Рисунок 4.5, а и б). Плоскость окружности σ⊥m.

а б
Рисунок 4.5 – Вращение вокруг прямой, перпендикулярной π₁
\left.\begin\sigma\parallel\pi_1\\\sigma\perp \pi_2\\\end\right\> npu\;m\perp\pi_1\Longrightarrow\sigma_2\perp m_2
Свойства проекций

1. На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, траектория вращающейся вокруг этой оси точки проецируется без искажения, то есть в окружность с центром, совпадающим с проекцией оси вращения на эту плоскость и радиусом, равным расстоянию от вращаемой точки до оси вращения.
2. На плоскость проекций, параллельную оси вращения, траектория вращающейся точки проецируется в отрезок, перпендикулярный проекции оси вращения на эту плоскость.
3. На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, проекция вращаемого объекта своих размеров и формы не меняет.

Упражнение

Дано : отрезок общего положения – АВ.

Определить : способом вращения истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций.

1. Выберем ось вращения m⊥π₁ и проходящую через точку В (Рисунок 4.6).

На плоскости проекций π₂ проекция траектории перемещения точки А – прямая,

A_2 \overline\perp m_2\;u\;A_2\overline\parallel\pi_2/\pi_1

На плоскости проекций π₁ проекция траектории перемещения точки А – окружность радиусом |А₁В₁|.

Повернем отрезок до положения, параллельного плоскости проекций π₂. Получим натуральную величину отрезка.

Угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций π₁ будет угол
\alpha=\angle\widehat_2> .

Для того, чтобы определить угол наклона АВ к плоскости проекций π₂, надо ввести новую ось вращения перпендикулярно π₂ и повторить построения.

4.3. Определение истинной величины треугольника способом вращения

Пусть плоскость σ задана треугольником. Необходимо определить истинную величину треугольника (Рисунок 4.7).

Одним поворотом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, истинную форму треугольника получить нельзя (так же как и введением одной ДПП).

Вращая вокруг оси m, перпендикулярной π₁ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₂ (а вращая вокруг оси n⊥π₂ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₁).

Рисунок 4.7

1. Положим σ’ должна быть перпендикулярна π₂. Для чего построим CD – горизонталь h плоскости σ. Введём первую ось вращения m⊥π₁, например, через точку С.
2. Повернём треугольник вокруг m до положения, когда
   \overline\perp\pi_2\Rightarrow\overline_1\overline_1\perp\pi_2/\pi_1
   На основании 3-го свойства, новая горизонтальная проекция треугольника \overline по величине должна равняться A₁B₁C₁, а фронтальная проекция треугольника будет представлять отрезок.
3. Введём вторую ось вращения n⊥π₂ через точку \overline_2 . Повернём фронтальную проекцию \overline в новое положение \overline<\overline\overline\overline>\parallel\pi_2/\pi_1 . На π₁ получим треугольник \overline<\overline\overline\overline> , равный истинной величине треугольника АВС.

4.4. Задачи для самостоятельной работы

Двумя способами преобразования ортогонального чертежа:

1. Определить расстояние от точки D до отрезка АВ – общего положения (Рисунок 4.8).

Рисунок 4.8

2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми общего положения (АВ//CD) (Рисунок 4.9).

Рисунок 4.9

3. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными отрезками АВ и CD (Рисунок 4.10).

Рисунок 4.10

4. Построить недостающую проекцию точки D при условии, что задана σ=ΔАВС – общего положения и первая проекция точки D₁, Dотстоит от плоскости σ на 30 мм (Рисунок 4.11).

Рисунок 4.11

5. Дан отрезок АВ – общего положения. Ось вращения не проходит через АВ (Рисунок 4.12). Определить способом вращения истинную величину АВ.

Рисунок 4.12

6. Задана прямая общего положения m и точка А вне прямой. Построить плоскость, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой m (Рисунок 4.13).

Рисунок 4.13

Источник

Проецирование плоскости способы преобразования проекций

На чертежах некоторые элементы изображаются в искаженном виде. В некоторых случаях требуется определить действительную величину этих элементов, например, при выполнении чертежей разверток поверхностей геометрических тел.

Изучая прямоугольное проецирование отрезков прямых или плоских кривых линий, а также фигур (треугольника, круга и др.) на три плоскости V, H и W, можно отметить, что действительные размеры и виды этих линий и фигур получаются на той плоскости проекций, параллельно которой расположены эти линии и фигуры (рис. 117). Например, отрезок прямой А В, параллельный плоскости V (отрезок фронтали), проецируется в действительную длину на плоскость V или, иначе, длина фронтальной проекции a’в’ отрезка фронтали равна действительной длине этого отрезка.

Если плоскость фигуры, например треугольника АВС, параллельна фронтальной плоскости проекций, то фронтальная проекция а’b’с’ является его действительным видом.

В техническом черчении иногда приходится по данным прямоугольным проекциям (комплексному чертежу) детали определять действительную величину или вид какого-либо элемента этой детали, расположенного в плоскости общего положения. Для этого применяются особые способы построения, цель которых получить новую проекцию элемента детали, представляющую собой его действительную величину или вид.

Такими способами являются: способ вращения, способ совмещения (частный случай предыдущего способа) и способ перемены плоскостей проекций.

СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ

Сущность способа вращения заключается в том, что заданные точка, линия или плоская фигура вращаются вокруг оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекций, до требуемого положения относительно какой-либо плоскости проекций. Если вращается фигура или тело, то каждая их точка будет перемещаться по окружности.

Рассмотрим вращение простейшего геометрического элемента — точки А (рис. 118, а). Пусть ось вращения MN будет перпендикулярна к плоскости . При вращении вокруг оси MN точка А перемещается по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Точка пересечения этой плоскости с осью называется центром вращения.

Так как окружность, по которой движется точка А, расположена в плоскости, параллельной плоскости Н, то горизонтальная проекция этой окружности является ее действительным видом, а фронтальная проекция — отрезком прямой, параллельной оси х. Длина этого отрезка равна диаметру окружности, лежащей в плоскости вращения.

Таким образом, при вращении точки А вокруг оси, перпендикулярной к какой либо плоскости проекций, проекция точки на эту плоскость перемещается по окружности, а вторая проекция — по прямой, параллельной оси проекций.

Повернем данную точку А вокруг оси , перпендикулярной к плоскости V, на заданный угол а. Для этого на комплексном чертеже необходимо выполнить следующие построения (рис. 118, б).

Фронтальную проекцию оси вращения — точку m’n’ — соединяют прямой линией с фронтальной проекцией а’ точки А и получают отрезок m’a’, равный действительной величине (длине) радиуса окружности вращения. Этим радиусом из центра m’ описывают дугу окружности вращения (рис. 118, На плоскости V строят угол а, одна сторона которого является радиусом вращения а’m’. На пересечении дуги окружности вращения с другой стороной угла а получаем точку а’₁ — новую фронтальную проекцию точки Новую горизонтальную проекцию точки А находят, проводя вертикальную линию связи из точки а’₁ до пересечения с прямой, проведенной из точки а параллельно оси х.

Вращение отрезка прямой вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, можно рассматривать как вращение двух точек этого отрезка.

Построения на комплексном чертеже упрощаются, если ось вращения провести через какую-либо конечную точку вращаемого отрезка прямой. В этом случае достаточно повернуть только одну точку отрезка, так как другая точка, расположенная на оси вращения, остается неподвижной.

Пусть требуется определить способом вращения действительную длину отрезка прямой общего положения (рис. 119, а).

Через конец отрезка А (рис. 119, б) проводят ось вращения MN перпендикулярно плоскости Н. Относительно этой оси вращается второй конец отрезка — точка В. Чтобы получить на комплексном чертеже действительную длину отрезка, надо повернуть его так, чтобы он был параллелен плоскости V.

После вращения горизонтальная проекция отрезка должна быть параллельна оси х, поэтому на этой плоскости проекций и начинается построение. Из точки а радиусом ab описывают дугу окружности до пересечения с прямой, проведенной из точки а параллельно оси х (рис. 119, б). Точка пересечения b₁ — новая горизонтальная проекция точки В. Фронтальную проекцию b’₁ точки В находят, проводя вертикальную линию связи из точки b₁ до пересечения с прямой, проведенной из точки b’ параллельно оси х (в данном случае эта прямая совпадает с осью х). Соединив точки b’₁ и а’, на плоскости V получают действительную длину а’b’₁ отрезка AВ.

Эту задачу можно решить вращением отрезка А В относительно оси, перпендикулярной к плоскости V. Через конец отрезка А проводят оси вращения MN (рис. 119, в). Из точки а’ радиусом, равным a’b’ проводят дугу окружности до пересечения с прямой, проведенной из точки а’ параллельно оси х, и получают новую фронтальную проекцию b’₁ точки В. Проведя из точки b прямую, параллельную оси х, а через точку b’₁ вертикальную линию связи, на их пересечении получают новую горизонтальную проекцию b₁ точки В (после поворота отрезка АВ). Соединив точки b₁ и a, находят действительную длину ab₁ отрезка АВ.

Способом вращения можно определить действительный вид фигуры. На рис. 120, а изображена стойка поддерживающего ролика ленточного конвейера. Пусть требуется определить действительный вид ребра стойки ролика — прямоугольного треугольника АВС.

Как видно из рис. 120, плоскость треугольника горизонтально-проецирующая, поэтому действительный вид треугольника можно получить на плоскости V вращением этого треугольника около вертикальной оси до тех пор, пока плоскость треугольника не станет параллельной плоскости V.

На комплексном чертеже (рис. 120 б) ось вращения, перпендикулярная к плоскости H, проведена через вершину треугольника А. Вращаются одновременно две вершины треугольника — В и С. После поворота новая горизонтальная проекция треугольника a₁b₁c₁ должна быть параллельна оси х. Фронтальные проекции — точки b’₁ и c’₁ — вершин В и С после поворота находят, проводя вертикальные линии связи из точек с₁ и b₁. Соединив точки а’, b’₁и c’₁, получим на плоскости V действительный вид треугольника АВС.

Способом вращения на комплексном чертеже можно найти действительный вид фигуры криволинейного контура, например, лопасти мешалки (рис. 121, б). На рис. 121, а дано наглядное изображение одной лопасти этой мешалки и части вала. Так как лопасть расположена под углом к оси вала, на котором она установлена, а ось вала на комплексном чертеже должна быть параллельна оси х, то на фронтальной и профильной проекциях лопасть будет изображена в искаженном виде.

Действительный вид контура лопасти находят вращением лопасти вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н. Для этого на фронтальной проекции контура берут несколько произвольных точек— a’, е’, m’,d’,c’, к’, n’ (рис. 122). Проводя из этих точек вертикальные линии связи, находят их горизонтальные проекции — a, е m,d,c, к, n, которые будут располагаться на горизонтальной проекции контура лопасти, т. е. на прямой ав, наклоненной под углом а к оси x. Вертикальная ось вращения проведена через точку А. Горизонтальную проекцию аb контура лопасти поворачивают вокруг центра вращения (точки a) на угол а и получают новую горизонтальную проекцию ab₁ лопасти.

Для определения новой фронтальной проекции какой-либо точки контура, например точки b’₁ через точку b₁ проводят вертикальную линию связи до пересечения с прямой, проведенной из b’ параллельно оси x. Также находят и остальные новые фронтальные проекции точек контура — е’₁, m’₁,d’₁,c’₁, к’₁, n’₁ . Соединяя их плавной кривой по лекалу, получим действительный вид контура лопасти.

СПОСОБ СОВМЕЩЕНИЯ

Сущность способа совмещения заключается в том, что плоскость, заданную следами, вращают вокруг одного из следов этой плоскости до совмещения с соответствующей плоскостью проекций, например, вокруг следа Рн до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 123, а). Изображения отрезка прямой или плоской фигуры, лежащей в заданной плоскости Р, получаются без искажения.

Построения на комплексном чертеже упрощаются, если через совмещаемые геометрические элементы можно провести какую-либо проецирующую плоскость, например горизонтально-проецирующую. При любом расположении горизонтально-проецирующей плоскости Р относительно V и H ее следы после совмещения будут располагаться под прямым углом (рис. 123, а и б). Совмещая горизонтально-проецирующую плоскость с плоскостью Н вращением около горизонтального следа Рн, видим, что совмещенный фронтальный след Р_v1 находится под прямым углом к неподвижному горизонтальному следу Рн (рис. 123, б).

Если на горизонтальном следе Рн, который является осью вращения горизонталъно-проецирующей плоскости Р и, следовательно, неподвижен, взять какую-либо точку, то после совмещения плоскости с плоскостью Н положение точки не изменится.

Если же взять точку В на фронтальном следе Р_v плоскости Р (рис. 123, в), то совмещенная точка В будет лежать на совмещенном следе P_v1 при этом расстояние Р_Хb’ будет равно расстоянию Р_Хb’₁.

Отрезок прямой определяется двумя точками. Поэтому, если через отрезок AB провести, например, фронтально-проецирующую плоскость Р (рис. 124, а) и совместить ее с Н,то при этом с плоскостью Н совместятся и концы этого отрезка — точки A и B т. е. весь отрезок прямой. Тогда на плоскости Н отрезок спроецируется без искажения.

Таким образом, задача определения действительной длины отрезка прямой АВ способом совмещения решается следующим путем.

Через точку а (рис. 124, а), расположенную на плоскости H, проводят перпендикулярно оси горизонтальный след Р_н фронтально-проецирующей плоскости Р.Через точки а’ и b’ проводят след Р_v. Плоскость Р совмещают с плоскостью Н, совмещенное положение следа P_v совпадает с осью х. Из точки Р_х радиусом делают засечку дугой окружности на совмещенном следе Р_v1 и из точки пересечения восставляют перпендикуляр к оси х. Из точки b опускают перпендикуляр на след R_H и, продолжая его до пересечения с прямой, перпендикулярной к оси х , получают совмещенное положение точки В — точку b’₁. Соединив точки a’₁ и b’₁ находят совмещенное положение отрезка которое и будет его действительной длиной.

Определение действительного вида треугольника АВС показано на рис. 124, б. Как и при решении задачи способом вращения, здесь рассматривается случай, когда плоскость треугольника является горизонтально проецирующей.

Решая эту задачу способом совмещения, вначале проводят следы Р_v и Р_н плоскости треугольника АВС. Так как сторона АС треугольника расположена в плоскости. параллельной Н, то проекция ас совпадает со следом Р_н.Затем совмещают с плоскостью Н фронтальный след плоскости P_v, который после совмещения будет располагаться под углом 90° к горизонтальному следу Р_н.

Для построения совмещенного положения точки В из точки b’ проводят прямую, параллельную оси до пересечения со следом P_v в точке v’; на совмещенном следе P_v1 делают засечку дугой окружности радиусом, равным P_xv’ и получают точку v₁ — совмещенное положение точки V. Через точку v₁ проводят прямую, параллельную следу Р_н. Совмещенное положение точки В находится в точке b’₁ пересечения перпендикуляра, восставленного из точки b к следу Р_н с прямой, проведенной из точки параллельно следу P_н .

Определение действительного вида фигуры криволинейного контура, например лопасти мешалки, способом совмещения показано на рис. 125. Построение аналогично описанному выше. Различие состоит в том, что в данном случае совмещают несколько произвольно взятых точек криволинейного контура.

Через фигуру (контур) лопасти проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость, заданную следами P_v и Р_н. Затем на криволинейном контуре берут несколько произвольно расположенных точек А, В, С, . через которые проводят горизонтали этой плоскости. Плоскость Р совмещают с плоскостью Н вместе с горизонталями. На совмещенных горизонталях находят точки a’₁, b’₁,c’₁, которые соединяют плавной кривой, и получают действительный вид контура лопасти.

Например, для совмещения с плоскостью Н точки В криволинейного контура через точку В проводят горизонталь плоскости Р. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х; горизонтальная проекция горизонтали совпадает с горизонтальным следом Р_н. Затем эту горизонталь совмещают с плоскостью Н. Совмещение произведено таким образом. Фронтальная проекция горизонтали пересекает фронтальный след Р_v плоскости Р в точке v’, которая является фронтальным следом горизонтали. Совмещенное положение этого следа находится на совмещенном фронтальном следе Р_v в точке v₁ Из точки v₁ проведена прямая, параллельная Р_v, которая и будет совмещенным положением горизонтали, проходящей через точку В.

Из горизонтальной проекции b’₁ точки восставлен перпендикуляр к Р_н и продолжен далее до пересечения с совмещенной горизонталью в точке b’₁. Эта точка и будет являться искомым совмещенным положением точки В с плоскостью Н.

СПОСОБ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что одна из плоскостей проекций заменяется новой, на которую проецируются данная точка, отрезок прямой линии или фигура. При этом в отличие от двух предыдущих способов эти геометрические элементы не меняют своего положения в пространстве. Например, фронтальная плоскость проекций V может быть заменена новой, обозначаемой (рис. 126, а), причем плоскость V₁ должна быть так же, как и плоскость V, перпендикулярна к плоскости H.

На комплексном чертеже (рис. 126, б) новая ось проекций, которая образуется при пересечении новой плоскости V₁ с плоскостью обозначается x₁. Новая система плоскостей проекций обозначается V₁/H. Иногда заменяется и горизонтальная плоскость проекций Н на новую плоскость, обозначаемую H₁. Если новая фронтальная плоскость проекций по своему положению являлась, как и замененная V, вертикальной плоскостью, то новая горизонтальная плоскость проекций Н₁ по своему положению не будет горизонтальной, а называется так только условно.

В некоторых случаях для решения задач на комплексном чертеже приходится последовательно заменять две плоскости проекций, например, фронтальную V на V₁ и горизонтальную Н на Н₁ наглядном изображении проекций точки А (рис. 126, а) видно, что при перемене фронтальной плоскости проекций V на новую V₁ расстояние от новой фронтальной проекции а’₁ точки А до новой оси проекций х₁ равно расстоянию от фронтальной проекции а’ точки А до оси проекции x, т. е. координате z_A. Это правило надо запомнить. В дальнейшем оно применяется при решении разных задач способом перемены плоскостей проекций.

Таким образом, при замене плоскости V на плоскость V₁ на комплексном чертеже прежде всего должна быть проведена новая ось проекций x₁ (рис. 126, а), а затем построена новая фронтальная проекция точки. Для этого из горизонтальной проекции а точки А опускают перпендикуляр на новую ось проекций х₁ и на продолжении этого перпендикуляра откладывают от новой оси координату z_A. В результате получают новую фронтальную проекцию а’₁ точки А.

Если на комплексном чертеже точки А нужно заменить горизонтальную плоскость проекций, то для нахождения новой горизонтальной проекции a₁ точки А надо (рис. 127, а и б) из фронтальной проекции а’ опустить на новую ось х₁ перпендикуляр и на его продолжении отложить координату у_А точки А.

Определим способом перемены плоскостей проекций действительную длину отрезка AB (рис. 128). В этом случае новая плоскость проекций V₁, или Н₁ должна быть выбрана так, чтобы она была параллельна отрезку АВ. Иначе отрезок AВ по отношению к новой плоскости проекций должен быть или фронталью (при замене плоскости V на плоскость V₁ ), или горизонталью (при замене плоскости Н на плоскость H₁).

Решим эту задачу двумя вариантами.

Первый вариант. Заменим плоскость V новой фронтальной плоскостью проекций V₁ (рис. 128, а).

Для упрощения построений новая ось проекций х₁ может совпадать с горизонтальной проекцией ab отрезка прямой. Координата z_B точки равна нулю (так как точка В расположена на плоскости H), поэтому новая фронтальная проекция b’₁ совпадает с прежней горизонтальной проекцией b.

Новая фронтальная проекция а’₁ точки А находится на перпендикуляре, восставленном к новой оси проекций x₁ . Отрезок а’₁ а, отложенный на этом перпендикуляре, равен расстоянию от прежней фронтальной проекции а’ точки А до прежней оси x или координате z_А точки А. Соединив точки a’₁ и b’₁ получим действительную длину отрезка АВ.

Второй вариант. Заменим плоскость H новой горизонтальной плоскостью проекций Н₁ (рис. 128, б).

Новую ось проекций х₁ проведем (для упрощения построений) через фронтальную проекцию отрезка а’₁b’₁. Координату у_А откладываем на перпендикуляре к новой оси x₁, от точки а’, а координату У_В — от точки b’. Отложив эти координаты, получаем новые горизонтальные проекции а₁ и b₁ точек A и B. Соединив точки а₁ и b₁, на новой горизонтальной плоскости проекций Н₁, получим действительную длину отрезка АВ.

Действительный вид плоской фигуры также можно определить способом перемены плоскостей проекций.

Для примера возьмем прямоугольный треугольник AВС (см. рис. 128, в), который расположен в горизонтально-проецирующей плоскости.

В данном примере заменяется плоскость проекций V новой плоскостью V₁ так, чтобы новая фронтальная проекция треугольника АВС была его искомым действительным видом. Новая ось проекций х₁ должна быть проведена на комплексном чертеже параллельно горизонтальной проекции треугольника или (для упрощения построений) так, как показано на рис 128, в, где новая ось х₁ совпадает с горизонтальной проекцией abc треугольника. В этом случае новые фронтальные проекции a’₁ и с’₁ совпадут с горизонтальными проекциями а и с вершин треугольника.

Для определения действительного вида треугольника остается найти только одну новую фронтальную проекцию третьей точки — вершины В. Для этого нужно из прежней горизонтальной проекции b точки В восставить перпендикуляр к новой оси проекций x₁ и от нее отложить на перпендикуляре расстояние от фронтальной проекции b’ до оси х или координату z_B . Соединив точку b’₁ с точками а’₁ и с’₁ прямыми линиями, получим действительный вид треугольника АВС.

Подобными приемами построений можно определить действительный вид многоугольника /2345, плоскость которого является фронтально-проецирующей (см. рис. 129).

В этом случае требуется заменить H на H₁, ось проекций которой проводится параллельно фронтальной проекции многоугольника на произвольном расстоянии.

Для нахождения, например, новой горизонтальной проекции точки 3 из точки 3′ восставляют перпендикуляр и от оси x₁, откладываем на этом перпендикуляре расстояние, равное расстоянию от точки 3 до оси x;. Точка З₁ будет новой горизонтальной проекцией точки 3. Так же находят точки 1₁,2₁,4₁ и 5₁ Затем, соединив их прямыми линиями, получают действительный вид многоугольника.

Построение действительного вида контура лопасти, расположенной в горизонтально-проецирующей плоскости, показано на рис. 130. В этом случае плоскость проекции V заменена новой плоскостью V₁ . Для упрощения построений новая ось проекций x₁ проведена через горизонтальную проекцию фигуры, а лопасть опущена вниз до соприкосновения с плоскостью Н.

Для определения действительного вида контура фигуры строят новые фронтальные проекции нескольких ее точек способом, описанным выше. Например, для построения новой фронтальной проекции какой-либо точки Е криволинейного контура лопасти из горизонтальной проекции е к новой оси проекций x₁ восставляют перпендикуляр, на котором от точки е откладывают отрезок, равный расстоянию фронтальной проекции е’ до оси х, т. е. координату z точки Е. е’₁ — новая фронтальная проекция точки Е.

Источник