Продукция двух видов может производиться тремя технологическими способами

Продукция двух видов может производиться тремя технологическими способами

Для производства двух видов изделий А и В используются три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется в течении 1 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 3 часа.

Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется в течении 2 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 1 час.

На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более чем 32 часа, оборудование второго типа – 60 часов, оборудование третьего типа – 50 часов.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 4 денежные единицы, а изделия В – 2 денежные единицы.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Решить задачу симплекс-методом путем преобразования симплекс-таблиц. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого ее формулировку с ограничениями – неравенствами.

Перед нами – классическая задача линейного программирования. Под планом производства понимается ответ на простой вопрос: сколько изделий А и сколько изделий В надо выпустить, чтобы прибыль была максимальна.

Прибыль рассчитывается по формуле : .

Запишем математическую модель задачи :

Чтобы проиллюстрировать применение симплекс-метода решения этой задачи, решим ее графически.

Для этого построим на плоскости области, описываемые ограничениями-неравенствами, и прямую , которая называется целевой функцией.

Три записанных выше неравенства ограничивают на плоскости многоугольник (построен красным цветом), ограниченный слева и снизу координатными осями (т.к. искомое количество изделий положительно).

График целевой функции (построен синим цветом) передвигается в направлении, обозначенном стрелкой ( по-научному – в направлении своего градиента), до тех пор, пока не достигнет граничной точки многоугольника – в нашем случае это точка – (15 ; 5). В этой точке целевая функция будет достигать максимума.

А теперь решим эту задачу симплекс-методом. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, введя дополнительные переменные .

i Базис B

Источник

Курсовая работа по дисциплине: «Экономико-математическое моделирование экономических процессов» тема «Использование модели линейного программирования и теории игр в экономике» (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4

Задача 1. (варианты 6-10)

Оптимальная производственная программа

На предприятии возможно производство трех видов продукции, каждая производится несколькими технологическими способами. В производстве используются три вида ресурсов: материалы, оборудование, труд. Исходная информация задачи приведена в таблице. Требуется определить план производства, при котором достигается максимум прибыли.

Нормы затрат ресурсов на ед. продукции

В планируемом периоде возможно:

1. Исключение из производства 3-го вида продукции вторым способом.

2. Увеличение фонда времени работы оборудования до 65000 ст-часов.

3. Уменьшение себестоимости производства продукции 2 вторым и третьим способами на 0,1 руб./шт.

4. Выпуск продукции второго вида в объеме заказа, равного 1200 шт.

1. Исключение из производства 1-го вида продукции вторым способом.

2. Увеличение количества материалов на 7 процентов.

3. Увеличение цены продукции 1 до 1,7 руб./шт. при неизменной себестоимости.

4. Выпуск продукции первого вида в объеме не меньшем 500 шт., выпуск продукции третьего вида в количестве 700 штук.

1. Исключение из производства 2-го вида продукции вторым способом.

2. Уменьшение использования трудовых ресурсов на 10 процентов..

3. Увеличение себестоимости единицы продукции 2 на 0,1 руб. каждым способом без изменения цены.

4. Выпуск продукции в стоимостном выражении не менее чем 85 тыс. руб.

5. Выпуск второго продукта не менее 500 штук.

1. Уменьшение затрат материала на единицу продукции 3 на 0,2 кг/шт каждым способом.

2. Снижение себестоимости единицы продукции 3 на 0,3 руб./шт. каждым способом без изменения цены.

3. Выпуск продукции второго вида в объеме не меньшем 700 шт.

1. Уменьшение количества материалов на 5 процентов.

2. Снижение затрат материала на единицу продукции 2 на 0,3 кг./шт. каждым способом.

3. Выпуск продукции первого вида в объеме заказа, равного 800 шт., выпуск 2-го продукта в количестве 300 штук.

4. Уменьшение цены продукции 2 до 1,8 руб./шт без изменения прибыли.

1. Составить экономико-математическую модель, используя данные таблицы и значения, предусмотренные по варианту. Записать ее в алгебраической форме.

2. Выполнить расчет на ПЭВМ с использованием программы STORM или EXCEL.

3. Записать результаты в следующей форме:

Количество в оптимальном решении

Значение в оптимальном решении

4. Используя двойственные оценки, определить, какой ресурс является наиболее дефицитным в оптимальном решении.

Расчёт параметров сетевого графика в табличной форме.

Используя данные таблицы вариантов, рассчитать параметры сетевого графика в табличной форме, указать критический путь.

Перечень работ для расчета сетевого графика:

1. Прокладка коммуникаций для теплотрассы.

2. Прокладка коммуникаций для водопровода.

3. Земляные работы.

4. Устройство фундаментов.

5. Устройство фундаментов под оборудование.

6. Подготовка под полы.

7. Засыпка траншей.

9. Кирпичная кладка стен.

10. Установка оконных и дверных блоков.

11. Монтаж перекрытий.

13. Планировка площадки.

Пример сетевого графика представлен на рис. 1. Количество смен, людей и дней, а также рассчитанный критический путь необходимо указать по своему варианту.

Рис. 1. Пример сетевого графика

Таблица расчета сетевого графика

Продолжитель-ность работы, дн

Раннее нача-ло работы

Раннее окон-чание работы

Позднее на-чало работы

Позднее окончание работы

Исходные данные (продолжительность работ)

Источник

Производственная задача линейного программирования

Фабрика выпускает продукцию двух видов: П₁ и П₂. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой продукции используются три исходных продукта — А, В, С. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т соответственно. Расходы сырья А, В, С на 1 тыс. изделий П₁ и П₂ приведены в табл.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 тыс. изделий (т)		Максимально возможный запас (т)
	П1	П2
А В С	1 2 1	2 1 0.8	6 8 5

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделия П₂ никогда не превышает спроса на изделия П₁ более чем на 1 тыс. шт. Кроме того, установлено, что спрос на изделия П₂ никогда не превышает 2 тыс. шт. в сутки.
Оптовые цены 1 тыс. шт. изделий П₁ равны 3 тыс. руб., 1 тыс. шт. П₂ — 2 тыс. шт.
Какое количество изделий (в тыс. шт.) каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

• Решение
• Видео решение

В рассматриваемом примере имеем следующее:
Переменные.
Так как нужно определить объёмы производства каждого вида продукции, переменными являются:
X₁ — суточный объём производства изделия П₁в тыс. шт.;
Х₂ — суточный объём производства изделия П₂в тыс. шт.

Целевая функция. Так как стоимость 1 тыс. изделий П₁ равна 3 тыс. руб., суточный доход от её продажи составит 3Х₁тыс. руб. Аналогично доход от реализации Х₂ тыс. шт. П₂ составит 2Х₂ тыс. руб. в сутки. При допущении независимости объёмов сбыта каждого из изделий общий доход равен сумме двух слагаемых — дохода от продажи изделий П₁ и дохода от продажи изделий П₂.
Обозначив доход (в тыс. руб.) через f(X), можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения X₁ и Х₂, максимизирующие величину общего дохода:
f(X) = 3X₁ + 2X₂, Х = (Х₁, Х₂)
Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход исходных продуктов А, В и С и спрос на изготовляемую продукцию, что можно записать так: Расход исходного продукта для производства обоих видов изделий
≤
Максимально возможный запас данного исходного продукта

Ресурсная задача

Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства)

Таблица 1

Вид ресурса

Число единиц продукции, затрачиваемых на изготовление единицы продукции

Запасы ресурсов

Р1	Р2
S1	2	3	20
S2	3	–	18
S3	1	4	10

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р₁ и Р₂ – соответственно 2 и 3 д.е. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной.
Решение. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через х₁, х₂ – количество единиц продукции Р₁ и Р₂ соответственно. Тогда суммарная прибыль F составит 2x₁ д.е. от реализации продукции Р₁ и 3х₂ д.е. от реализации продукции Р₂, то есть

F = 2x₁ + 3x₂. (1)
Поскольку количество ресурсов, необходимых для производства продукции ограниченно, составим систему ограничений по ресурсам. Для изготовления продукции потребуется (2x₁ + 3x₂) единиц ресурса S₁, 3x₁ единиц ресурса S₂ и (x₁ + 4x₂) единиц ресурса S₃. Так как потребление ресурсов S₁, S₂, S₃ не должно превышать их запасов, 20, 18, 10 единиц, соответственно, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой ограничений неравенств:

(2)
Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции , удовлетворяющий системе ограничений (2), при котором целевая функция (1) принимает максимальное значение.
Задачу об использовании ресурсов можно обобщить на случай выпуска n видов продукции с использованием m видов ресурсов.
Обозначим через x (j = 1, 2,…,n) – число единиц продукции P_j, запланированной к производству; b₁ (i = 1, 2,…,m) – запасы ресурсов S_i, a_ij – число единиц ресурса S_i, затрачиваемого на изготовление единицы продукции P_j; c_j – прибыль от реализации единицы продукции P_j. Тогда экономико-математическая модель задачи в общей постановке примет вид:

(4)
Найти такой план выпуска продукции, удовлетворяющий системе (4), при котором функция (3) принимает максимальное значение.
Замечание. Данную задачу называют ещё задачей определения оптимального ассортимента продукции.

Производственная задача на минимум

Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно найти, сколько продукции и какого вида следует изготовить на станках А и В, чтобы заказ был выполнен в минимальное время.

Решение. Математическая модель задачи.
x₁ — изготовлено продукции П1 на станке A, шт.
x₂ — изготовлено продукции П1 на станке B, шт.
x₃ — изготовлено продукции П2 на станке A, шт.
x₄ — изготовлено продукции П2 на станке B, шт.
x₅ — изготовлено продукции П3 на станке A, шт.
x₆ — изготовлено продукции П3 на станке B, шт.

Задача оптимального производства продукции

Пример №1 . Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II , на производство которых расходуется три вида сырья А, В, и С. Потребность a_ij на каждую единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас b_i соответствующего вида сырья и прибыль c_j от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:

Виды сырья	Виды продукции		Запасы сырья
	I	II
А	a 11 = n	a 12 = 2	b 1 = mn+5n
В	a 21 = 1	a 22 = 1	b 2 = m+n+3
С	a 31 = 2	a 32 = m+1	b 3 = mn+4m +n+4
прибыль	c 1 = m+3	c 2 = n+1
план (ед.)	x 1	x 2

1. Для производства двух видов продукции I и II с планом x₁ и x₂ единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.
2. В условиях задачи 1 составить оптимальный план ( x₁, x₂) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Z_max. Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс–методом)
3. Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль Z_max.

Пример №2 . Фермер может выращивать 4 культуры на площади 80 га. Он уже вложил соглашения на продажу определенной продукции (объем продаж) и может приобрести 250ц минеральных удобрений.
Площадь пропашных культур (подсолнечник, сахарная свекла, картофель, кукуруза) должна быть 20 га.
Затраты труда и удобрений, прибыль с 1 га приведены в таблице 2.
Определить, какие площади следует отвести под каждую культуру, чтобы получить максимальную прибыль.
Разработать экономико-математическую модель и решить задачу.
Выходные данные взять согласно варианту (таблица 2)

Решение.
x₁ – площадь под гречку, га; x₂ – площадь под ячмень, га; x₃ – площадь под просо, га; x₄ — площадь под картофель, га
Целевая функция: 140x₁ + 110x₂ + 120x₃ + 380x₄ → max
Ограничения по затратам на удобрение
3x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 5x₄ ≤ 250
Ограничения по объемам продаж
10x₁ + 30x₂ + 25x₃ + 180x₄ ≤ 200
Ограничения по площади
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ ≤ 80
Ограничения по площади пропашных культур
x₄ ≤ 20
Итого имеем следующую ЗЛП
3x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 5x₄ ≤ 250
10x₁ + 30x₂ + 25x₃ + 180x₄ ≤ 200
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ ≤ 80
x₄ ≤ 20
x₁, x₂, x₃, x₄ ≤ 0
Целевая функция: 140x₁ + 110x₂ + 120x₃ + 380x₄ → max

Источник