Пример задания функции аналитическим способом

Кусочно-заданные функции

Иногда рассматриваемая функция может быть задана несколькими формулами, действующими на различных участках области ее определения, в которой изменяется аргумент функции. Например: $$ y = \begin x ^ 2,

Преимущества явного аналитического задания функции

Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.

Некоторые из этих действий — алгебраические (сложение, умножение и др.) — хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.

Неявное задание функции

Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом, если дано соотношение $$F(x,y) = 0,

(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%.

При заданном значении %%x%% уравнение %%(1)%% может не иметь решения или иметь более одного решения. В первом случае заданное значение %%x%% не принадлежит области определения неявно заданной функции, а во втором случае задает многозначную функцию, имеющую при данном значении аргумента более одного значения.

Отметим, что если уравнение %%(1)%% удается явно разрешить относительно %%y = f(x)%%, то получаем ту же функцию, но уже заданную явным аналитическим способом. Так, уравнение %%x + y^5 — 1 = 0%%

и равенство %%y = \sqrt[5]<1 - x>%% определяют одну и ту же функцию.

Параметрическое задание функции

Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде

$$ \begin x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end

t \in T \subseteq \mathbb,

(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;

тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.

Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end,

t \in \mathbb, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.

Графический способ

Пример графического задания функции

Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение, которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.

Табличный способ

Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.

Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.

Пример

Алгоритмический и словесный способы задания функций

Функцию можно задать алгоритмическим (или программным) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.

Наконец, можно отметить описательный (или словесный) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.

Например, функцию %%[x] = m

\forall , m \in \mathbb%%, называемую целой частью %%x%% (или «антье от %%x%%»), описывают обычно словами: «Наибольшее целое число, не превосходящее %%x%%».

Источник

Понятие функции. Способы задания функции

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.

Существуют разные способы задания функций.

1. Аналитический способ.

Аналитический способ — это наиболее часто встречающийся способ задания функции.

Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например .

Рассмотрим первый пример — . Здесь значению x = 1 соответствует , значению x = 3 соответствует и т. д.

Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями.

Во всех ранее приведенных примерах аналитического способа задания, функция была задана явно. То есть, справа стояла переменная y, а слева формула от переменной х. Однако, при аналитическом способе задания, функция может быть задана и неявно.

Например . Здесь, если мы задаем переменной x значение, то, чтобы найти значение переменной у (значение функции), мы должны решить уравнение. Например, для первой заданной функции при х = 3, будем решать уравнение:

. То есть, значение функции при х = 3 равно -4/3.

При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически — это, когда х и у выражены через некоторый параметр t. Например,

Здесь при t = 2, x = 2, y = 4. То есть, значение функции при х = 2 равно 4.

2. Графический способ.

При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом . Пример:

3. Словесный способ.

Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.

«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».

4. Табличный способ.

Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Источник

Способы задания функции. Примеры.

Что означают слова «задать функцию»? Они означают: объяснить всем желающим, о какой конкретной функции идёт речь. Причём, объяснить чётко и однозначно!

Как это можно сделать? Как задать функцию?

Можно написать формулу. Можно нарисовать график. Можно составить табличку. Любой способ — это какое-то правило, по которому можно узнать значение игрека для выбранного нами значения икса. Т.е. «задать функцию», это значит — показать закон, правило, по которому икс превращается в игрек.

Обычно, в самых различных заданиях присутствуют уже готовые функции. Они нам уже заданы. Решай себе, да решай.) Но. Чаще всего школьники (да и студенты) работают с формулами. Привыкают, понимаешь. Так привыкают, что любой элементарный вопрос, относящийся к другому способу задания функции, тотчас огорчает человека. )

Во избежание подобных случаев, имеет смысл разобраться с разными способами задания функций. Ну и, конечно, применить эти знания к «хитрым» вопросам. Это достаточно просто. Если знаете, что такое функция. )

Аналитический способ задания функции.

Самый универсальный и могучий способ. Функция, заданная аналитически, это функция, которая задана формулами. Собственно, это и есть всё объяснение.) Знакомые всем (хочется верить!)) функции, например: y = 2x, или y = x 2 и т.д. и т.п. заданы именно аналитически.

К слову сказать, не всякая формула может задавать функцию. Не в каждой формуле соблюдается жёсткое условие из определения функции. А именно — на каждый икс может быть только один игрек. Например, в формуле у = ±х, для одного значения х=2, получается два значения у: +2 и -2. Нельзя этой формулой задать однозначную функцию. А с многозначными функциями в этом разделе математики, в матанализе, не работают, как правило.

Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что если у вас есть формула — вы знаете про функцию всё! Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию по полной программе. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Весь матанализ стоит именно на таком способе задания функций. Скажем, взять производную от таблицы крайне затруднительно. )

Аналитический способ достаточно привычен и проблем не создаёт. Разве что некоторые разновидности этого способа, с которыми сталкиваются студенты. Я про параметрическое и неявное задание функций.) Но такие функции — в специальном уроке.

Переходим к менее привычным способам задания функции.

Табличный способ задания функции.

Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому иксу соответствует (ставится в соответствие) какое-то значение игрека. В первой строчке — значения аргумента. Во второй строчке — соответствующие им значения функции, например:

Прошу обратить внимание! В данном примере игрек зависит от икса как попало. Я специально так придумал.) Нет никакой закономерности. Ничего страшного, так бывает. Значит, именно так я задал эту конкретную функцию. Именно так я установил правило, по которому икс превращается в игрек.

Можно составить другую табличку, в которой будет закономерность. Этой табличкой будет задана другая функция, например:

Уловили закономерность? Здесь все значения игрека получаются умножением икса на двойку. Вот и первый «хитрый» вопрос: можно ли функцию, заданную с помощью Таблицы 2, считать функцией у = 2х ? Подумайте пока, ответ будет ниже, в графическом способе. Там это всё очень наглядно.)

Чем хорош табличный способ задания функции? Да тем, что считать ничего не надо. Всё уже посчитано и написано в таблице.) А более ничего хорошего нет. Мы не знаем значения функции для иксов, которых нет в таблице. В этом способе такие значения икса просто не существуют. Кстати, это подсказка к хитрому вопросу.) Мы не можем узнать, как ведёт себя функция за пределами таблицы. Ничего не можем. Да и наглядность в этом способе оставляет желать лучшего. Для наглядности хорош графический способ.

Графический способ задания функции.

В данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается аргумент (х), а по оси ординат — значение функции (у). По графику тоже можно выбрать любой х и найти соответствующее ему значение у. График может быть любой, но. не какой попало.) Мы работаем только с однозначными функциями. В определении такой функции чётко сказано: каждому х ставится в соответствие единственный у. Один игрек, а не два, или три. Для примера, посмотрим на график окружности:

Окружность, как окружность. Почему бы ей не быть графиком функции? А давайте найдем, какой игрек будет соответствовать значению икса, например, 6? Наводим курсор на график (или касаемся рисунка на планшете), и. видим, что этому иксу соответствует два значения игрека: у=2 и у=6.

Два и шесть! Стало быть, такой график не будет графическим заданием функции. На один икс приходится два игрека. Не соответствует этот график определению функции.

Но если условие однозначности выполнено, график может быть совершенно любым. Например:

Эта самая кривулина — и есть закон, по которому можно перевести икс в игрек. Однозначный. Захотелось нам узнать значение функции для х = 4, например. Надо найти четвёрку на оси иксов и посмотреть, какой игрек соответствует этому иксу. Наводим мышку на рисунок и видим, что значение функции у для х=4 равно пяти. Какой формулой задано такое превращение икса в игрек — мы не знаем. И не надо. Графиком всё задано.

Теперь можно вернуться к «хитрому» вопросу про у=2х. Построим график этой функции. Вот он:

Разумеется, при рисовании этого графика мы не брали бесконечное множество значений х. Взяли несколько значений, посчитали у, составили табличку — и всё готово! Самые грамотные вообще всего два значения икса взяли! И правильно. Для прямой больше и не надо. Зачем лишняя работа?

Но мы совершенно точно знали, что икс может быть любым. Целым, дробным, отрицательным. Любым. Это по формуле у=2х видно. Поэтому смело соединили точки на графике сплошной линией.

Если же функция будет нам задана Таблицей 2, то значения икса нам придётся брать только из таблицы. Ибо другие иксы (и игреки) нам не даны, и взять их негде. Нет их, этих значений, в данной функции. График получится из точек. Наводим мышку на рисунок и видим график функции, заданной Таблицей 2. Значения икс-игрек на осях я не писал, разберётесь, поди, по клеточкам?)

Вот и ответ на «хитрый» вопрос. Функция, заданная Таблицей 2 и функция у=2х — разные.

Графический способ хорош своей наглядностью. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает. где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции. А уж в теме с производной, задания с графиками — сплошь и рядом!

Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь. Мы с графиками дружить будем.)

Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели. Но на вопрос: «А четвёртый!?» — зависает основательно.)

Такой способ есть.

Словесное описание функции.

Да-да! Функцию можно вполне однозначно задать словами. Великий и могучий русский язык на многое способен!) Скажем, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Вот так! Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно. Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить. И график построить. Кстати, график забавный получается. ) Попробуйте.

Способ словесного описания — способ достаточно экзотичный. Но иногда встречается. Здесь же я его привёл, чтобы придать вам уверенности в неожиданных и нестандартных ситуациях. Нужно просто понимать смысл слов «функция задана. « Вот он, этот смысл:

Если есть закон однозначного соответствия между х и у — значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен — формулой, табличкой, графиком, словами, песнями, плясками — сути дела не меняет. Этот закон позволяет по значению икса определить соответствующее значение игрека. Всё.

Сейчас мы применим эти глубокие знания к некоторым нестандартным заданиям.) Как и обещано в начале урока.

Функция у = f(x) задана Таблицей 1:

Функция у = g(x) задана Таблицей 2:

Найти значение функции p(4), если p(х)= f(x) — g(x)

Если вы вообще не можете понять, что к чему — прочитайте предыдущий урок «Что такое функция?» Там про такие буковки и скобочки очень понятно написано.) А если вас смущает только табличная форма, то разбираемся здесь.

Из предыдущего урока ясно, что, если, p(х) = f(x) — g(x), то p(4) = f(4) — g(4). Буквы f и g означают правила, по которым каждому иксу ставится в соответствие свой игрек. Для каждой буквы (f и g) — своё правило. Которое задано соответствующей таблицей.

Значение функции f(4) определяем по Таблице 1. Это будет 5. Значение функции g(4) определяем по Таблице 2. Это будет 8. Остаётся самое трудное.)

Это правильный ответ.

Функция у=f(x) задана графически:

Решить неравенство f(x) > 2

Вот-те раз! Надо решить неравенство, которое (в привычной форме) блистательно отсутствует! Остаётся либо бросать задание, либо включить голову. Выбираем второе и рассуждаем.)

Что значит решить неравенство? Это значит, найти все значения икса, при которых выполняется данное нам условие f(x) > 2. Т.е. все значения функции (у) должны быть больше двойки. А у нас на графике игрек всякий есть. И больше двойки есть, и меньше. А давайте, для наглядности, по этой двойке границу проведём! Наводим курсор на рисунок и видим эту границу.

Строго говоря, эта граница есть график фукции у=2, но это не суть важно. Важно то, что сейчас на графике очень хорошо видно, где, при каких иксах, значения функции, т.е. у, больше двойки. Они больше при х>3. При х>3 вся наша функция проходит выше границы у=2. Вот и всё решение. Но выключать голову ещё рано!) Надо ещё ответ записать.

На графике видно, что наша функция не простирается влево и вправо на бесконечность. Об этом точки на концах графика говорят. Кончается там функция. Стало быть, в нашем неравенстве все иксы, которые уходят за пределы функции смысла не имеют. Для функции этих иксов не существует. А мы, вообще-то, неравенство для функции решаем.

Источник