Пример решение одного тригонометрического уравнения способами

Решение одного тригонометрического уравнения разными способами

Разделы: Математика

Урок систематизации и обобщения знаний учащихся по теме: “Преобразование тригонометрических выражений” на примере решения одного тригонометрического уравнения разными способами проводится по методу проектов с использованием сервисов Web 2.0.(https://sites.google.com/site/mediacenternn/setevye-servisy-veb-2-0) Эти сервисы позволяют пользователям совместно работать над одним проектом не только в классе, но и дома дистанционно, размещать в сети текстовую и медиа информацию. Урок “Решение одного тригонометрического уравнения разными способами” является заключительным этапом в учебном проекте: “Нахождение способов решения одного тригонометрического уравнения”, который рассчитан на 10 учебных занятий и 4-ре внеурочных занятия.

Подготовительный этап к уроку. Класс делится на четыре группы, которые самостоятельно готовят к заключительному уроку мини-проект – это домашняя работа. Каждая группа собирает “копилку” тригонометрических уравнений (не менее 10), решает их различными способами.

Совместно с группами разрабатывается маршрут, группы делят обязанности внутри группы и назначают лидера группы, определяют вид защиты проекта, придумывают рекламу способа — синквейн, работу оформляют в виртуальной тетради.

Обязанности внутри группы:

— Один ученик подбирает весь теоретический материал по данным заданиям. Его задача : объединить теоретический материал по данному модулю в единую презентацию и выложить ее в совместный доступ, с помощью презентации Google.

— Один ученик подбирает ЦОР и средства Intel, которые наиболее эффективны. Его задача: создать базу данных сайтов, ресурсов, которые максимально смогут помочь в подготовке к защите проекта (“Аналитик группы”);

— Два ученика решают задания на один из способов каждый. Затем обучают каждого члена группы. (“Практики группы”).

После этого группам дается отработать на их “копилке” два способа.

• 1 группа: “Универсальная подстановка. Графический метод”;
• 2 группа: “Разложение левой части уравнения на множители. Возведение обеих частей уравнения в квадрат”;
• 3 группа: “Введение вспомогательного угла. Приведение к квадратному”;
• 4 группа: “Преобразование разности или суммы тригонометрических функций в произведение. Приведение уравнения к однородному”.

Тип урока: обобщение и систематизация материала.

Обобщение, систематизация и контроль знаний учащихся по теме: “Преобразование тригонометрических выражений” с использованием мультимедийных, сетевых компьютерных технологий, а также сервисов Web 2.0 и системы управления классом Classroom Management (Приложение 1)

Развивающая:

• Развитие логического и аналитического мышления, интеллектуальных способностей: умение анализировать, обобщать, систематизировать, сравнивать и делать выводы.

Задачи урока:

1. Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы при решении тригонометрических уравнений.
2. Продолжить формирование самоконтроля, взаимоконтроля, самоанализа.
3. Продолжить учиться работать в команде, используя общения в блогах и чатах.
4. Продолжить учиться самостоятельной работе с разными источниками информации, отбору необходимого, сравнению и установлению связей между известными фактами и явлениями, используя сервисы Web 2.0.
5. Продолжить формирование навыков анализа полученной информации.
6. Продолжить работу с электронными таблицами, программами обработки изображений, программами разработки веб-сайтов, различных социальных сервисов Intel.
7. Подготовиться к тесту по теме “Тригонометрические уравнения”.

Читайте также:  Способы очистить компьютер от вирусов

Время проведения: два урока по 40 минут.

Оборудование:

• Компьютер, принтер, сканер.
• видеопроектор, документ камера, интерактивная доска;
• у каждого учащегося на классмейтах (Ноутбук школьника на базе процессора Inte), оценочные листы; листы взаимопроверки;
• карточки с уравнениями (рассылаются при помощи системы управления классом Classroom Management каждому ученику группы)
• варианты самостоятельной работы;
• презентация урока.
• Оценочные листы

1. Организационный момент (3 мин.)

1). Решение ситуативной задачи

2. Актуализация знаний (32 мин.)

1). Постановка целей и задач.

2). Решение уравнений.

3). Проверка домашнего задания (защита проектов).

3. Закрепление знаний, умений и навыков (30 мин.)

1). Обобщение методов решения тригонометрических уравнений.

2). Размещение способов решения тригонометрических уравнений в общую презентацию.

4. Контроль знаний (10 мин.)

1). Самостоятельная работа.

2). Самопроверка ответов.

5. Домашнее задание (2 мин).

6. Итог урока (рефлексия) (3 мин.).

1. Организационный момент

Тема нашего урока: “Решение одного тригонометрического уравнения разными способами”.

Начать хочу урок старой притчей:

Притча о рыбаке

Когда сели уже за стол, во дворе замаячила фигура. Это нищий топтался у ворот, не решаясь войти. Бабушка вышла к нему и позвала во двор. Нищий был худой и какой-то изможденный. Его накормили жаренной рыбой и налили большую кружку молока. Нищий ел и благодарно посматривал на хозяина.

– Благодарствую, дай вам Бог здоровья, – нищий поклонился в пояс и спрятал недоеденную корку хлеба в рукав.

– На здоровье, – ответил хозяин.

– Может, дадите мне еще хлеба, – нищий с надеждой посмотрел на старика.

– Мы дадим тебе кое-что получше. Вот. – и хозяин протянул нищему свою удочку.

– Спасибо, – нищий взял удочку и, бережно прижимая, пошел со двора.

Мальчик непонимающе посмотрел на деда:

– Дедушка, зачем ты отдал ему свою удочку? Тебе что хлеба жалко было?

Старик посмотрел на уже высоко поднявшееся солнце и сказал:

– Да нет, мне не жалко. Но понимаешь, если я дам ему буханку хлеба, он будет сыт сегодня. А, если он научится ловить рыбу, он будет сыт всегда.

— В чем смысл этой притчи? Какое отношение она имеет к нашему уроку?

2. Актуализация знаний.

— Прежде чем приступить к работе, каждый из вас должен поставить перед собой цель сегодняшнего урока, обсудить ее с членами вашей группы, выбрать общую цель и разместить ее на web- доске Lino.

— Сформулируйте общую цель урока.

Итак, у нас сегодня обобщающий урок по теме: “Преобразование тригонометрических выражений”. Тригонометрические уравнения есть в заданиях ЕГЭ, как в первой части, так и во второй, и оказываются вполне решаемыми, тригонометрическое уравнение во второй части. Поэтому вы должны иметь четкое представление о том, что тригонометрические уравнения решаются часто стандартными методами. Их немного, если их освоить, то решение тригонометрического уравнения из второй части становится вполне посильной задачей для вас. Работать мы будем сегодня и индивидуально, и в группах.

Читайте также:  Какие есть способы списывания

Наша общая задача состоит в том, чтобы составить таблицу классификации способов решения одного тригонометрического уравнения.

Эпиграфом к уроку я взяла слова Конфуция, зашифрованные в ребусе. Для этого надо решить упражнения и по ответам найти слова этого крылатого выражения. Работа группы должна быть быстрой, четкой. Карточки с заданиями находятся на рабочих столах ваших классмейтов. (Приложение 2). Посмотрим, чья группа справится первой. Окончание вашей работы оповестите кнопкой “Статус мгновенных сообщений”

Итак, эпиграфом нашего урока будут слова Конфуция:

“Три пути ведут к знанию: путь РАЗМЫШЛЕНИЯ – это путь самый благородный, путь ПОДРАЖАНИЯ – это путь самый легкий и путь ОПЫТА – это путь самый горький!”.

На дом было дано задание по группам: исследовать тригонометрические уравнения из ваших копилок, и решить их определенными способами, в каждой группе таких способов было два. Решения тригонометрических уравнений своими способами вы исследовали дома, свою работу оформляли в виртуальных тетрадях, капитаны проконсультировались со мной перед уроком по поводу их решения и сейчас каждая группа покажет, что у них получилось, а все ваши недочеты и ошибки вы откорректируете дома (презентация исследований).

Вы прослушали отчет каждой группы. Узнали другие способы решения тригонометрических уравнений, нашли и исправили ошибки, теперь пройдите по ссылке https://docs.google.com/spreadsheets/d/1NyMRwijuk6GhFqOnZMi-hx8lFUquGCGt3X2DQLxbfUQ/edit#gid=0 и оцените свою работу и работу микро групп. https://docs.google.com/document/d/1XqZCKfP3AaR1wb_T-xSyjgM2cHOFs9zQavxIg7xNhGc/edit

3. Закрепление знаний, умений и навыков.

Теперь нам предстоит решить одно уравнение всеми известными нам способами, каждая группа будет решать его своими способами, после этого надо дописать в группах таблицу классификации способов решения одного тригонометрического уравнения. Сравните полученный результат с моим.

Для получения общего продукта нашего труда вам необходимо разместить решения в общую презентацию, для этого воспользуйтесь ссылкой на онлайн-офис Google. https://docs.google.com/presentation/d/1fRekbKTq8etuwMxr-xfqwm4ZShDjbJrK59b5-Lxu-CA/edit#slide=id.ga825dc26e_72

Обратите внимание, что у каждого из этих способов есть преимущества и недостатки, о которых нам рассказали представители каждой из групп.

— Какие же проблемы могут возникнуть при решении тригонометрических уравнений?

Потеря корня.

• Операции, сужающие область определения:
• Деление на g(х)
• Опасные формулы (универсальная подстановка)

Лишние корни.

• Операции, расширяющие область определения:
• Возведение в четную степень
• Умножение на g(х) (освобождение от знаменателя)

— Есть ли универсальный способ решения тригонометрических уравнений?

4. Контроль знаний.

Для того, чтобы выяснить на сколько вы усвоили способы решения тригонометрических уравнений, каждому из вас будет предложена самостоятельная работа в виде двух уравнений, ваша задача решить их разными способами, способы решения вы выбираете самостоятельно, пользуясь таблицей “Классификация способов решения тригонометрических уравнений”. Работу выполните на листочках. Ответы запишите в тетрадь. После того, как сдали листочки, проверьте (ответы на обратной стороне доски) и оцените себя.

Вариант 1	Вариант 2
1.

Вариант 1	Вариант 2
	1.
	2.

5. Домашнее задание. Составить онлайн-тест по теме: “Преобразование тригонометрических выражений. 3 задания с выбором ответа, 2 задания с коротким ответом и 3 задания высокого уровня сложности, можно воспользоваться материалами сайта http://www.uztest.ru/

— Достигли вы поставленных для себя целей?

• Заполните Оценочные листы.
• Оцените уровень сложности урока. (Приложение 3)
• Фотографии с урока (Приложение 4)

Источник

Пример решение одного тригонометрического уравнения способами

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Источник