Придумайте несколько различных способов решения уравнения sin2x cos2x 1

– sin 2x + cos 2x = 1

Здравствуйте!
Помогите решить уравнение cos 2x – sin 2x = 1 и найти количество его корней.
Спасибо!

Задание.
Решить уравнение cos 2x — sin 2x = 1 и найти количество его корней.

Решение.
В уравнении оба слагаемых правой части содержат двойной угол (2х). Воспользуемся этим и будем применять формулы для синуса и косинуса двойного угла. А правую часть запишем как сумму квадратов функции синус и косинус (по осн. тригонометрическому тождеству). Подставив их в уравнение, получим:

Упростим уравнение, сложив подобные слагаемые:

Уравнение можно сократить на 2 и вынести синус за скобки:

Решим полученное уравнение, приравняв для этого оба множителя к нулю (произведение может быть равным нулю, лишь когда один из множителей будет равен нулю). В таком случае получим два уравнения, одно из которых является простейшим тригонометрическим и его решение можно получить даже из таблицы значений тригонометрических функций. Этим решением будет:

Чтобы решить второе из получившихся уравнений, разделим его на косинус. Получаем:

Получили также простейшее уравнение, которое имеет решение:

Поскольку — это любое целое число, а множество целых чисел бесконечно, то и количество корней данного уравнения — бесконечно.

Ответ. , , может быть любым целым числом.

Источник

Sin2x + cos2x = 1

Скачать
презентацию Оцени себя сам >>

sin2x + cos2x = 1. Ответ: Способ: универсальная подстановка (7-й способ). 22.

Слайд 22 из презентации «Методы решения тригонометрических уравнений». Размер архива с презентацией 1025 КБ.

Алгебра 10 класс

«Десятичные и натуральные логарифмы» — Значение выражений. Николас Меркатор. Основания разные. Решите уравнение. Таблицы логарифмов. Воспользуемся сначала свойством. Упростите выражение. Задания. Бернулли. Переход. Эйлер. Найдите значение выражения. Логарифм. Десятичные и натуральные логарифмы. Значение выражения. Свойства логарифмов. Происхождение термина.

«Системы счисления» — Правило перевода дробных чисел. Связь систем счисления. Правило перевода из восьмеричной системы. Примеры. Перевод из двоичной системы счисления в десятичную. Позиционные системы счисления. Цифра. Разбить двоичное число на тетрады. Что такое система счисления. Шестнадцатеричная СС. Разбить двоичное число на триады. Правила перевода. Правило перевода из p-i системы счисления. Проверка. Системы счисления.

«Свойства тригонометрических функций» — Чтение графика функции. Прочитайте график функции. Задание. Перечислите свойства. Определение каждому свойству функции. Математическое кафе. Гимнастика для глаз. Свойства тригонометрических функций. Кроссворд. Физкультминутка.

«Способы решения логических задач» — Два истинных высказывания. Кто кому подарил подарок. Задачи. Разминка. День борьбы за права женщин. Высказывание. Способы решения логических задач. Татьяна. Повторение. Работницы швейных и обувных фабрик. Весенний праздник. Три пожилых матроны. Упростите логические выражения. Решение логических задач. Где лежат подарки. Этапы решения логических задач. Митя. Дополнительные задачи.

«Построение графиков с помощью производной» — Задача. График производной функции. Найти асимптоты графика функции. Дополнительное задание. Точки максимума функции. Урок закрепления изученного материала. Посмотрите в MathCAD(е). Эскиз графика функции y=f(x). Назвать промежутки возрастания функции. Справка. Одно решение. Устная работа. Вводная беседа. Базовый уровень. Проверь себя. Задание. Исследовать функцию. Актуальность. Вспомните план исследования.

«Исследование и построение функции» — Функция. Разгадывание кроссворда. Иоганн Бернулли. Готфрид Вильгельм Лейбниц. Определение характера движения тела по графику. Построение. Исследование функций. Чётная функция. Знание законов природы. Нечётная функция. Математические термины. Развивать способность систематизировать. Расстояние. Леонард Эйлер. Периодические функции. Урожай. Пословицы. Зависимость между переменными величинами. Мера. Вариант.

Всего в теме «Алгебра 10 класс» 52 презентации

Источник

Solving $\sin 2x + \cos 2x =-1$

How would I go about solving this equation? Some hint on how to start, so I can try to figure it out on my own. Thank you

8 Answers 8

$$\sin 2x+\cos 2x=-1$$ $$2\sin x\cos x+\cos^2x-\sin^2x+\sin^2x+\cos^2x=0$$ $$2\sin x\cos x+2\cos^2x=0$$ $$\cos x(\sin x+\cos x)=0$$ $$\cos x=0\Rightarrow x=\frac<\pi><2>+k\pi,\tan x=-1\Rightarrow x=-\frac<\pi><4>+k\pi$$

$$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ $$\cos 2x=2\cos^2x-1$$

If we consider $$A\sin 2x + B\cos 2x$$ could be of the form $$r \cos y \sin 2x+r \sin y \cos 2x=r\sin (2x+y)$$ so that $A=r\cos y, B=r\sin y$, we have $r^2=A^2+B^2$ and $\tan y=\frac BA$.

In the case in the question $r^2=2$ and $\tan y=1$ so we can have $y=\frac <\pi>4$. We reduce then to $$\sin \left(2x+\frac <\pi>4\right)=-\frac <\sqrt 2>2$$ which is then easy to solve.

I would use the old polar-to-Cartesian $x,y$ coordinates trick, but you are already using the variable $x,$ so I’ll use a $t,y$ Cartesian coordinate plane instead with the $t$ coordinate horizontal (instead of $x$) and the $y$ coordinate vertical.

Let $t = \cos (2x)$ and let $y = \sin(2x).$ Then $t^2 + y^2 = 1,$ that is, $(t,y)$ is on the unit circle centered at the origin. We can also say that $(t,y)$ is the Cartesian coordinates of a point whose polar coordinates are $(r,\theta) = (1,2x).$

But you are given that $t + y = -1.$ Therefore $(t,y)$ is on the line $y = -1 — t.$ Find the points where that line intersects the unit circle; there are two such points. (A graph should make the points very easy to find in this particular case.)

Figure out the polar coordinates of those two points, and then remember that the polar coordinates $(r,\theta)$ are also equal to $(1,2x).$ Then solve for $x.$

Источник

Придумайте несколько различных способов решения уравнения sin2x cos2x 1

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Выполним преобразования:

Из уравнения (1) находим:

Так как решения уравнения (a) не удовлетворяют условию (2), то окончательно получаем

б) Из решений, найденных в пункте а), промежутку принадлежит только одно число:

Ответ: а) б)

Для преобразования выражения мы воспользовались приемом, называемым введением вспомогательного угла. Можно было бы использовать известное соотношение Третий путь — свести уравнение к однородному неполному тригонометрическому уравнению второй степени, используя формулы двойных углов. А именно,

откуда либо либо Последнее уравнение — однородное тригонометрическое первой степени, оно эквивалентно уравнению Осталось решить полученные простейшие уравнения и отбросить корни, не лежащие в ОДЗ.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Подскажите,как называется раздел тригонометрии,в котором описываются преобразования данного типа : cos(3пи/2 — 2х) =sin2x

это формулы приведения

Подскажите, пожалуйста, как мы перешли к

Для чего мы умножали каждое слагаемое на

Очевидно, именно для того, чтобы совершить это преобразование при помощи формулы косинуса разности.

это задание решено неверно, вот мое решение

cosx=0 или cosx-sinx=0|:cosx≠0

Эльмира, наше решение верное.

В Вашем решении ошибка при переходе от пятой строчке к шестой. Вы умножили на выражение, содержащее неизвестное, и именно в этот момент приобрели посторонние корни

В решении этого задания ошибок нет, однако я нахожу его достаточно сложным для восприятия учеником среднестатистической школы (лично до самого дошло только с третьего раза). А потому разрешите предоставить альтернативный способ решения данного номера, который не должен вызывать затруднений:

(ОДЗ и решение до sin2x+cos2x=-1 остается неизменным)

sin2x+cos2x=-1 —> (Раскладываем косинус двойного угла) sin2x+cos^2 x -sin^2 x =-1 —> (Переносим синус в квадрате в правую часть) sin2x+cos^2 x = sin^2 x -1 —> (Раскладываем единицу по основному тригонометрическому тождеству) sin2x+cos^2 x = sin^2 x -sin^2 x — cos^2 x —> (Синусы сокращаются, раскладываем синус двойного угла, обе части делим на 2 и переносим косинус в квадрате в левую часть) sinxcos + cos^2 x=0 —> (Выносим косинус как общий множитель и приравниваем обе части к нулю)

В итоге, решения cos x =0 не будут удовлетворять ОДЗ, а sinx+cosx=0 перейдет в tgx = -1, чей корень -П/4+П/n, где n принадлежит z.

В заключение, у нас получились те же корни, что и при решении первым способом, однако при этом мы задействовали лишь те формулы, которые даны в справочном материале ЕГЭ по математике.

P.S Буду рад, если Вы ознакомитесь с таким решением и примите его как альтернативное для данного номера.

Источник

Разложение на множители тригонометрических уравнений (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Напомним стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin \hline \text <Уравнение>& \text <Ограничения>& \text<Решение>\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin \begin &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end \end \right. \ \ , \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm\, x=a & a\in \mathbb & x=\mathrm\, a+\pi n, \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm\,x=a & a\in \mathbb & x=\mathrm\, a+\pi n, \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline \end\] Иногда для более короткой записи ответ для \(\sin x=a\) записывают как
\(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb\) .

\(\blacktriangleright\) Разложить на множители выражение — это значит представить его в виде произведения нескольких множителей.
Основная формула \[a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)\]

\(\blacktriangleright\) Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла!: \[f(x)\cdot g(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ \begin \left[ \begin \begin &f(x)=0\\ &g(x)=0\\ \end \end \right.\\\text <ОДЗ>\end\]

\(\blacktriangleright\) Частное двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. \[\dfrac=0 \ \Longleftrightarrow \ \begin f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end\]

Источник