Приближенные способы вычисления определенного интеграла

Приближенные методы вычисления определённых интегралов

Приближенные методы вычисления определённых

Вычисление определённых интегралов по формуле Ньютона – Лейбница не всегда возможно, ибо далеко не все функции интегрируются в конечном виде, то есть первообразные таких функций не выражаются через элементарные функции с помощью конечного числа арифметических действий и операций взятия функции от функции.

Даже если первообразная функция известна, но имеет весьма сложный и неудобный для вычисления вид, то и в этом случае применение формулы Ньютона – Лейбница крайне затруднительно. В этих случаях прибегают к приближенным методам вычисления определённого интеграла.

Эти методы дают возможность вычислить определённый интеграл, если он существует и если численные значения подынтегральной функции известны. Формулы, при помощи которых ведётся численное интегрирование, получили название квадратурных формул.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных — таких как вычисление интегралов, например, и других. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач разобраны методы численного решения, нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ.

Часто приходится слышать, что наступила эпоха ЭВМ, а «ручные» расчёты являются архаизмом. На самом деле это далеко не так. Прежде чем поручить ЭВМ большую задачу, надо сделать много оценочных расчётов и на их основе понять, какие методы окажутся эффективными для данной задачи. Поэтому современный инженер для успешной работы должен одинаково хорошо владеть и «классическими» методами и численными.

1. Приближенное вычисление определённого интеграла:

а) формулы прямоугольников;

б) формула трапеций;

в) формула Симпсона (парабол).

Если функция непрерывна на , определённый интеграл от этой функции в пределах от до существует и равен

где — первообразная для функции .

Для большинства элементарных функций первообразную не удаётся выразить через элементарные функции. Кроме того, при практических расчётах подынтегральная функция задаётся в виде таблиц. Всё это приводит к необходимости замены интегрирования численными методами.

Задача численного интегрирования состоит в следующем: найти определённый интеграл на , если подынтегральная функция на отрезке задана таблично.

Рассмотрим некоторые формулы приближенного вычисления определённого интеграла.

а) метод прямоугольников.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Требуется вычислить определённый интеграл .

Разделим отрезок точками на п равных частей длины :

Обозначим далее через значения функции в точках , т. е.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для на отрезке и поэтому приближенно выражает интеграл

(1)

(2)

Это и есть формулы прямоугольников. Из рисунка видно, что если — положительная и возрастающая функция, то формула (1) (она называется формулой левых прямоугольников) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула (2) (формула правых прямоугольников) – площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число п (т. е. чем меньше шаг деления ).

Если подынтегральная функция на отрезке имеет непрерывную производную , то для оценки погрешности при вычислении интеграла по формулам прямоугольников служит неравенство:

где М1 есть наибольшее значение абсолютной величины производной

на отрезке , т. е. наибольшее значение на данном отрезке.

б) формула трапеций.

Если данную кривую заменим не ступенчатой линией, как в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной, то получим более точное значение определённого интеграла.

Тогда площадь криволинейной трапеции аАВв заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами ,

Так как площадь первой из этих трапеций равна , площадь второй равна и т. д., то

, или

(3)

Это и есть формула трапеций. Отметим, что число, стоящее в правой части формулы (3) есть среднее арифметическое чисел, стоящих в правых частях формул (1) и (2).

Если обозначить (крайние), (промежуточные), то получим более компактную форму записи

(3а)

Полученная приближенная формула оказывается тем более точной, чем больше число п.

Ошибка, которую допускаем при вычислении, не превышает

где М — наибольшее значение на отрезке , или , где — табличные разности второго порядка.

в) метод Симпсона ( англ. математик ).

Этот метод приближенного вычисления определённого интеграла основан на замене графика подынтегральной функции дугами парабол, оси которых параллельны оси Оу.

Рассмотрим частный случай, когда кривая, ограничивающая данную криволинейную трапецию, является графиком квадратного трехчлена

Имеет место следующая формула

(4)

где (ордината параболы в середине отрезка ).

Вывод этого соотношения сводится к его непосредственной проверке. Подсчитаем выражение, стоящее в правой части формулы:

Для подсчета выражения, стоящего в правой части формулы, найдём предварительно

Подставим найденные значения в правую часть формулы (4), получим

Правая и левая части формулы (4) равны между собой, что и доказывает её справедливость.

Рассмотрим теперь криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой . Через точки этой кривой проведём вспомогательную параболу .

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной вспомогательной параболой, приближенно равна площади заданной криволинейной трапеции

Тогда, согласно формуле (4), для произвольной функции имеет место следующее приближенное равенство

(5)

Эта формула называется малой формулой Симпсона.

Если отрезок достаточно большой, то приближение, даваемое формулой (5), будет слишком грубым. Для того чтобы получить более точное приближение интеграла разделим на п равных частей. Длина каждого частичного отрезка будет равна , где п— обязательно чётное число. Применив формулу (5) последовательно к каждому частичному отрезку, получим