При векторном способе задания движения точки ускорение равно

Векторный способ задания движения точки

Введение

Положение точки однозначно определяется заданием ее радиус-вектора , который изменяется со временем при движении точки. При векторном способе задания движения считается, что задан закон изменения радиус-вектора от времени . Векторный способ задания движения применяется для описания движения в общем виде, используя векторные формулы.

Например, для точки, движущейся с постоянным ускорением , радиус-вектор определяется одной векторной формулой:
,
где – постоянные векторы, не зависящие от времени. Применяя формулы, мы можем найти кинематические величины в векторном виде, не зависимо от выбранной системы координат.

При координатном способе задания движения, мы выбираем систему координат, и в ней задаем зависимости координат точки от времени . Таким образом, координатный способ привязан к выбранной системе координат, а векторный способ не зависит от системы координат.

Связь векторного способа задания движения с координатным осуществляется по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей выбранной системы координат.

Основные формулы при векторном способе задания движения

Скорость точки

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы приводим основные результаты этой теории в векторном виде.

Итак, нам задана зависимость радиус-вектора материальной точки M от времени :
.

Дифференцируя радиус-вектор по времени, мы находим вектор скорости точки:
.
Модуль вектора скорости:
,
где в круглых скобках обозначено скалярное произведение векторов.

Скорость точки направлена по касательной к траектории. Пусть – единичный вектор в направлении касательной. Тогда скорость может быть направленной либо вдоль вектора :
,
либо в противоположную сторону:
.
Чтобы охватить эти два случая, вводят алгебраическую величину скорости :
.
Это скалярная величина, равная по абсолютной величине модулю скорости, но она может принимать как положительные, так и отрицательные значения:
.
При , вектор скорости сонаправлен с . При он направлен в противоположную сторону. Величина является проекцией вектора скорости на направление . Поскольку – это единичный вектор, то
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.

Ускорение точки

Дифференцируя вектор скорости по времени, находим вектор ускорения точки:
.
Модуль вектора ускорения:
.

Разложим вектор ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты: – параллельную касательной к траектории; и – перпендикулярную к ней.
.
Компонента называется касательным, или тангенциальным ускорением, а компонента – нормальным ускорением.

Тангенциальное ускорение

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это скалярная величина, равная проекции полного ускорения на направление единичного вектора , касательного к траектории:
.
Тогда вектор тангенциального ускорения можно записать в следующем виде:
.
Величина может быть как положительной, так и отрицательной. При положительном , вектор касательного ускорения сонаправлен с единичным вектором . При отрицательном – вектор касательного ускорения направлен в противоположную сторону. Модуль равен модулю касательного ускорения:
.
Алгебраическая величина тангенциального ускорения равна производной по времени от алгебраической величины скорости:
.
Производная по времени модуля скорости:
.
Если между векторами скорости и ускорения острый угол, то движение ускоренное. Если между ними тупой угол, то движение замедленное.

Нормальное ускорение

Вектор нормального ускорения:
.
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории:
.
Вектор перпендикулярен вектору и направлен к центру кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центу кривизны траектории. Поэтому, если выразить его через единичный вектор главной нормали:
,
то . Поэтому .
Модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали:
.
Имеют место следующие формулы:
.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 06-03-2016 Изменено: 29-01-2020

Источник

Векторный способ задания движения точки

Рассмотрим движение материальной точкиМ относительно некоторого тела, которое считается неподвижным. Пусть точка О – точка принадлежащая этому телу (рис.5.3). Радиус-вектор движущейся точки М относительно точкиО можно задать как вектор-функцию времени t

. (5.6)

Равенство (5.6) называется векторным уравнением движения точки или законом движения точки в векторной форме.

Кривая по которой движется точка в пространстве называется траекторией точки. Траектория – это годограф радиус-вектора точки.

Координатный способ задания движения точки

Пусть теперь вектор задан в декартовой системе координат, а— орты осейОх, Оу, Оz. Тогда вектор-функция может быть задана тремя скалярными функциями:

=++.

Таким образом, для того, чтобы движение точки было задано координатным способом, должны быть заданы функции:

Равенства (5.7) называются уравнениями движения точки или законом движения точки в координатной форме.

Естественный способ задания движения точки

Этот способ применяется в случае, когда траектория точки известна заранее. Траектория точки может быть задана различными способами: словесно (например, можно сказать, что траекторией точки является окружность такого-то радиуса), графически в каком-либо масштабе или уравнениями, например, в общем виде как линия пересечения поверхностей

,

или другими уравнениями.

Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку М₀, принимаемую за начало отсчета дуговой координаты и задать положительное направление отсчета (рис. 5.4.).

При движении точки М расстояние от нее до начальной точки изменяется с течением времени, следовательно, дуговую координату необходимо задать как функцию времени:

Зависимость (5.8) называется законом движения точки. Следовательно, для того, чтобы движение точки было задано естественным способом, должны быть заданы:

положительное направление отсчета дуги s.

При этом нужно отличать дугу s и пройденный точкой путь. Если точка движется по траектории все время в одном направлении, то дуга и путь совпадают, но если, например закон движения точки равен и точка совершает гармонические колебания по кривой, то дуга и путь совпадают только до достижения дуги своего максимального значенияа. Далее путь в отличие от дуги будет все время увеличиваться.

Скорость и ускорение точки Скорость точки

Пусть движение точки задано векторным способом . На рис.5.9М и М₁  положения движущейся точки в моменты времени t и t + t.

Вектор называется вектором перемещения точки за времяt. Отношение вектора к промежут ку времени t называется средней скоростью точки за промежуток времени t

.

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени за который произошло это перемещение, при стремлении последнего к нулю, т.е.

. (5.9)

Таким образом,скорость точки в данный момент времени равна производной радиусавектора точки по времени

. (5.10)

Это векторная величина, характеризующая быстроту изменения радиусавектора точки и направленная по касательной к траектории в сторону движения точки. Единицей измерения скорости в системе СИ является м/с.

Источник

Ускорение точки

Скорость точки.

Перейдем к решению второй основной задачи кинематики точки — определению скорости и ускорения по уже заданному векторным, координатным или естественным способом движению.

1. Скоростью точки называется векторная величина, характеризующая быстроту и направление перемещения точки. В системе СИ скорость измеряется в м/с.

a) Определение скорости при векторном способе задания движения.

Пусть движение точки задано векторным способом, т.е. известно векторное уравнение (2.1): .

Рис. 2.6. К определению скорости точки

Пусть за время Dt радиус-вектор точки М изменится на величину . Тогда средней скоростью точки М за время Dt называется векторная величина

.

Мгновенной скоростью (или далее — просто скоростью) называется предел при Dt стремящемся к нулю, т.е.

. (2.4)

Вспоминая определение производной, заключаем:

. (2.5)

Здесь и в дальнейшем знаком будем обозначать дифференцирование по времени. При стремлении Dt к нулю вектор , а, следовательно, и вектор , поворачиваются вокруг точки М и в пределе совпадают с касательной к траектории в этой точке. Таким образом, вектор скорости равен первой производной от радиус-вектора по времени и всегда направлен по касательной к траектории движения точки.

б) Скорость точки при координатном способе задания движения.

Выведем формулы для определения скорости при координатном способе задания движения. В соответствии с выражением (2.5), имеем:

.

Так как производные от постоянных по величине и направлению единичных векторов равны нулю, получаем

. (2.6)

Вектор , как и любой вектор, может быть выражен через свои проекции:

(2.7)

Сравнивая выражения (2.6) и (2.7) видим, что производные координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл — они являются проекциями вектора скорости на координатные оси. Зная проекции, легко вычислить модуль и направление вектора скорости (рис. 2.7):

или , (2.8)

, , . (2.9)

Рис. 2.7.К определению величины и направления скорости

в) Определение скорости при естественном способе задания движения.

Рис. 2.8. Cкорость точки при естественном способе задания движения

Согласно (2.4) ,

Читайте также:  Административные способы ограничения свободы

где — единичный вектор касательной. Таким образом,

, (2.10)

Величина V=dS/dt называется алгебраической скоростью. Если dS/dt>0, то функция S = S(t) возрастает и точка движется в сторону увеличения дуговой координаты S, т.е. точка движется в положительном направлении Если же dS/dt 2 .

a) Определение ускорения при векторном способе задания движения.

Пусть точка М в момент времени t находится в положении М(t) и имеет скорость V(t), а в момент времени t + Dt находится в положении М(t + Dt) и имеет скорость V(t + Dt) (см. рис. 2.9).

Рис. 2.9. Ускорения точки при векторном способе задания движения

Средним ускорением за промежуток времени Dt называется отношение изменения скорости к Dt , т.е.

.

Предел при Dt ® 0 называется мгновенным (или просто ускорением) точки М в момент времени t

. (2.11)

Согласно (2.11), ускорение при векторном способе задания движения равно векторной производной от скорости по времени.

б). Ускорения при координатном способе задания движения.

Подставляя (2.6) в (2.11) и дифференцируя произведения в скобках, находим:

.

Учитывая, что производные от единичных векторов равны нулю, получаем:

. (2.12)

Вектор может быть выражен через свои проекции:

. (2.13)

Сравнение (2.12) и (2.13) показывает, что вторые производные от координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл: они равны проекциям полного ускорения на координатные оси, т.e.

, , .

Зная проекции, легко вычислить модуль полного ускорения и направляющие косинусы, определяющие его направление:

, , , . (2.14)

в). Ускорение точки при естественном способе задания движения

Приведем некоторые сведения из дифференциальной геометрии, необходимые для определения ускорения при естественном способе задания движения.

Пусть точка М движется по некоторой пространственной кривой. С каждой точкой этой кривой связаны три взаимно ортогональные направления (касательная, нормаль и бинормаль), однозначно характеризующие пространственную ориентацию бесконечно малого элемента кривой вблизи данной точки. Ниже приводится описание процесса определения указанных направлений.

Для того чтобы провести касательную к кривой в точке М , проведем через нее и близлежащую точку М₁ секущую ММ₁.

Рис. 2.10. Определение касательной к траектории движения точки

Касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей ММ₁ при стремлении точки М₁ к точке М (рис. 2.10). Единичный вектор касательной принято обозначать греческой буквой .

Проведем единичные векторы касательных к траектории в точках М и М₁. Перенесем вектор в точку М (рис. 2.11) и образуем плоскость, проходящую через эту точку и векторы и . Повторяя процесс образования аналогичных плоскостей при стремлении точки М₁ к точке М, мы получаем в пределе плоскость, называемую соприкасающейся плоскостью.

Рис. 2.11. Определение соприкасающейся плоскости

Очевидно, что для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит сама эта кривая. Плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормальной плоскостью. Пересечение соприкасающейся и нормальной плоскостей образует прямую, называемую главной нормалью(рис. 2.12).

Источник