При построении развертки сферы применяется способ

Способ цилиндров состоит в том, что данную поверхность вращения разбивают с помощью меридианов на сравнительно узкие, равные между собой доли, затем каждую такую долю заменяют описанной цилиндрической поверхностью, которая касается данной поверхности в точках среднего меридиана доли (рис. 159). Границами цилиндрической поверхности будут плоскости меридианов, ограничивающих рассматриваемую долю.

Рассмотрим применение этого способа для построения развертки поверхности сферы.

Разбить сферу при помощи меридианов на шесть равных частей (рис. 160). Каждая из образовавшихся частей проецируется на П₁ в виде сектора I₁–4₁–II₁. Рассмотрим построение условной развертки одной части сферы, средним меридианом которой является главный меридиан l. Прежде всего, эту часть сферы заменяют цилиндрической поверхностью Ф(Ф₁,Ф₂), описанной около нее.

Oбразующие цилиндрической поверхности, ось которой q(q₁,q₂)⊥ П₂, являются фронтально-проецирующими прямыми. Горизонтальной проекцией этого цилиндрического элемента является треугольник ∆A₁B₁O₁, а фронтальной проекцией – контур сферы. На рис 159 показано наглядное изображение цилиндра, заменяющего часть сферы.

Для построения развертки этой цилиндрической поверхности (лепестка) фронтальную проекцию l₂ главного меридиана нужно разделить на шесть равных частей точками 1, 2, 3, 4… и провести через точки деления горизонтальные проекции образующих цилиндрической поверхности. Затем меридиан нужно «выпрямить», то есть дуги 1-2, 2-3, 3-4 заменить хордами 1₂-2₂, 2₂-3₂, 3₂-4₂. Для этого на плоскости П₁ через точки 1, 2, 3, 4 провести дуги в пределах одной доли и заменить длину каждой дуги соответствующей касательной A₁B₁, C₁D₁, E₁F₁.

Для построения развертки одной из шести долей в произвольном месте провести вертикальную ось симметрии и отложить на ней отрезки 1₂-2₂, 2₂-3₂, 3₂-4₂ с плоскости П₂, то есть длину очерковой образующей, замененную хордами:

Через точки 1₀, 2₀, 3₀, 4₀ провести горизонтальные линии и отложить на них следующие отрезки:

Соединив полученные точки плавной кривой линией, получают развертку одной доли данной сферы, равной 1/6 ее части. Развертки остальных долей являются повторением первой. Обычно сферу, как и любую другую поверхность вращения, разбивают на двенадцать и более частей для получения более точной развертки.

Чтобы нанести на развертке точку L (см. рис. 160), принадлежащую сфере, нужно предварительно повернуть ее до совмещения с главным меридианом l, получив L'(L’₁, L’₂). Затем измерить на П₂ расстояние от повернутого положения точки L (L’₂) до ближайшего деления меридиана (в данном случае это расстояние L’₂3₂), а на П₁ измерить расстояние от точки L до проекции среднего меридиана доли, на которой находится точка L.

При помощи этих двух расстояний строится на развертке нужной доли точка L₀, соответствующая данной точке L (равенство соответствующих отрезков обозначено специальными значками).

Рассмотрим построение развертки способом цилиндров на примере поверхности тора (1/4 кольца) (рис. 161):

1. Поверхность кольца разделить фронтально-проецирующими плоскостями β(β₂),δ(δ₂)… на равные части. В итоге вся поверхность кольца разбивается на двенадцать равных частей, из которых на рис 161 показаны только три.

Каждая из частей заменяется поверхностью прямого кругового цилиндра, диаметр которого равен диаметру сечения кольца.

2. Построить окружность – натуральную величину нормального сечения и разделить ее на шесть равных частей точками 0,1, 2, 3, 4, 5, 6. Перенести эти точки на плоскость (торец) тора и провести через них дуги окружности в пределах одной доли (части). Заменить длины дуг длинами их касательных: AB(A₂B₂), CD(C₂D₂), EF(E₂F₂), GH(G₂H₂), KL(K₂L₂), MN(M₂N₂) и PQ(P₂Q₂). Таким образом, ширина развертки приравнивается к сумме длин касательных.

4. Через эти точки деления 0₀, 1₀, 2₀, 3₀, 4₀, 5₀, 6₀ провести перпендикуляры, на которых отложить следующие отрезки:

5. Соединить полученные точки, для построения развертки одной доли кольца.

Нанесение на развертке поверхности кольца произвольных точек производится точно так же, как и в случае нанесения точек на развертке сферы.

На рис 161 показано построение на развертке точки S, принадлежащей поверхности кольца (равенство соответствующих отрезков обозначено специальными значками).

Источник

ЛЕНТА ФЕДОРЕНКО – УСЛОВНАЯ РАЗВЕРТКА СФЕРЫ

English version

Федоренко Владимир Игоревич

(Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана)

Соавтор(ы): Кучеров Кирилл Владимирович, Христофоров Павел Андреевич, Христофоров Павел Андреевич

Аннотация

В работе показан алгоритм построения разверток сложных поверхностей методами начертательной геометрии и продемонстрирована возможность формообразования сложных поверхностей из плоских разверток.

Ключевые слова: начертательная геометрия, развертка, сфера, торсовая поверхность

Введение

В технике, термином «развертка» называют плоскую заготовку, из которой получают объёмную форму детали или конструкции путём гибки. В современной промышленности развертки поверхностей широко применяются в различных видах производства, но особенно в тех, которые связаны с листовыми материалами: нефтехимическая и газовая промышленности (резервуары и трубопроводы), судостроение, авиастроение, легкая промышленность (швейная и кожевенная).

В данной работе под термином «развертка» будет пониматься плоская фигура, полученная при совмещении элемента развертываемой поверхности с плоскостью без разрывов и складок, при этом развертываемая поверхность рассматривается как гибкая, нерастяжимая пленка [1].

Прежде всего, необходимо определить основные термины и алгоритмы, поскольку в разных литературных источниках они различаются.

Все поверхности можно разделить на развертываемые и неразвертываемые. К первым относятся гранные поверхности и линейчатые поверхности, которые называются торсовыми. К торсовым поверхностям относятся цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата. Все остальные поверхности являются неразвертываемыми (например, сфера или тор).

Различают следующие виды разверток: точные, приближенные и условные.

Точные развертки можно получить только для многогранных поверхностей, поскольку такая развёртка есть совокупность многоугольников, конгруэнтных граням разворачиваемой поверхности и расположенных в одной плоскости [2].

Приближенные развертки используются при развертывании торсовых поверхностей. При этом криволинейные поверхности заменяются аппроксимирующей многогранной поверхностью. Например, цилиндрическая поверхность заменяется призмой. Однако, точная развертка такой призмы будет только приблизительно соответствовать развертке цилиндрической поверхности.

Для оставшихся неразвертываемых поверхностей производится построение условных разверток. Для этого применяется метод двойной аппроксимации. Сначала неразвертываемая поверхность разбивается на ряд отсеков. Каждый из этих отсеков заменяется (аппроксимируется) отсеком криволинейной развертываемой (торсовой) поверхности. Каждый отсек развертываемой поверхности аппроксимируется соответствующей ей многогранной поверхностью. И только после этого получают точную развертку многогранной поверхности, которая является условной разверткой неразвертываемой поверхности [3].

В литературе показано несколько стандартных способов создания разверток неразвертываемых поверхностей [4]. Например, поверхность сферы аппроксимируется отсеками цилиндрических поверхностей, которые потом заменяются призмами. В этом случае развертка будет выглядеть как набор двухдуговых «лепестков». Или сферическую поверхность заменяют элементами цилиндрических и конических поверхностей.

Иногда при создании развертки неразвертываемой поверхности аппроксимацию отсека элементом многогранника, заменяют на вырезание элемента самой криволинейной поверхности, как если бы материал поверхности был тканью.

Кроме этого, существуют и другие методы создания поверхностей, основанные на изгибании плоских заготовок [5, 6].

В промышленности же развертки больших сферических резервуаров состоят из меридианальных лепестков и купола с днищем в виде двух сферических сегментов. Купол и днище резервуара получают из металлического диска путем обжатия на оправке с помощью молота или пресса. Лепестки изготавливаются на многовалковом стенде методом холодного вальцевания, то есть гибки металла до нужной формы или используется метод горячей штамповки, то есть изгибают в двух плоскостях.

Таким образом, можно сделать вывод, что создать неразвертываемую поверхность из плоской развертки очень сложно. Повышение геометрической точности такой поверхности ведет к увеличению количества элементов (отсеков) поверхности, что отрицательно скажется на экономической составляющей процесса изготовления и прочностных характеристиках объекта. Поэтому создание новых способов развертывания сложных поверхностей является актуальной задачей.

Постановка задачи

Задача исследования — найти вариант построения условной развертки сферы без разбиения ее на отсеки.

Для решения поставленной задачи необходимо заменить (аппроксимировать) поверхность сферы некой развертываемой поверхностью. Из курса начертательной геометрии известно, что любая поверхность может быть задана как множество последовательных положений некоторой движущейся в пространстве линии. Такая линия называется образующей. Закон перемещения образующей в пространстве и изменения её формы задаются направляющими линиями.

В нашем варианте построения образующая линия должна быть отрезком прямой (иначе аппроксимирующая поверхность не будет развертываемой), а направляющая — лежать на поверхности сферы. При этом направляющая линия, во-первых, должна начинаться на одном из полюсов сферы и заканчиваться на противоположном, а, во-вторых, охватывать всю сферу по возможности равномерно. Такими свойствами обладает сферическая спираль Клелия (рис.1а), хотя можно применить и другие кривые спиралевидного типа.

Образующие линии торсовой поверхности удобнее всего расположить в меридиональных плоскостях сферы (рис.1б). Необходимо отметить, что длина образующей линии получаемой торсовой поверхности постоянна, кроме двух околополюсных оборотов направляющей линии, где длина образующей будет переменна (это если применять спираль Клелия).

На втором этапе заменяем (аппроксимируем) торсовую поверхность многогранником. Для этого необходимо заменить направляющую кривую ломаной линией (рис.2). Однако, возможности компьютерных графических пакетов позволяют обратно “скривить” такие ломаные линии, достаточно задать на каждой скрутке (обороте) спирали несколько тысяч опорных точек.

На третьем этапе произведем точное построение развертки многогранника.

Для построения развертки многогранной поверхности нужно совместить все грани этой поверхности с одной плоскостью так, чтобы образовалась плоская фигура. При этом смежными будут две грани, имеющие общее ребро.

Для одной и той же поверхности вид ее развертки может быть различным в зависимости от избранной последовательности расположения граней на развертке.

При этом самая красивая условная развертка сферы получается, если мысленный “разрез” многогранника произвести по бывшей направляющей спирали (криволинейной или ломаной).

Процедура построения развертки построена на применении способа триангуляции. Построение начинается с самой маленькой грани, расположенной около полюса сферы, и раскручивается по спирали до аналогичной грани на другом полюсе. Расположение граней и их форма наглядно показаны на рис. 2.

Построение развертки сферы производилось в графическом пакете AutoCAD с использованием программы написанной на языке AutoLISP [7]. Результат построения развертки показан на рис. 3.

Первый опытный образец сферы из ленточной развертки показан на рис.4.

По аналогичному алгоритму были построены условные развертки торовой и параболической поверхностей.

Результаты работы применяются автором при чтении лекций по курсу «Начертательная геометрия» в разделе «Развертки поверхностей», а опытный образец из металла, изготавливается в настоящее время на заводе фирмы «Соединительные детали трубопроводов» в г. Таганроге для последующей проверки на прочность.

Ещё один результат данной работы – при задании в программе большого числа витков направляющей спирали, лента развертки утончается и фактически преобразуется в спираль Корню.

Список литературы

Фролов С.А. Начертательная геометрия. Учебник для ВТУЗов. 2-е изд. – М.: Машиностроение, 1983. 240 с.
Иванов Г.С., Начертательная геометрия: учебник. – 3-е изд. – М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. – 340 с.
Жирных Б.Г., Серёгин В.И., Шарикян Ю.Э. Начертательная геометрия: учебник. / Под общ. ред. В.И. Серегина – 1-е изд. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 176 с.: ил.
Высоцкая Н.Н., Иерусалимский А.М., Невельсон Р.А., Федоренко В.А. Технические развертки изделий из листового металла. 2-е изд. исправл. – М.: Машиностроение, 1968. – С. 272
Пилипака С.Ф. Конструирование поверхностей и их непрерывное изгибание в конечные формы на основании управления натуральными параметрами : автореферат дис. . доктора технических наук : 05.01.01. — Киев, 2000. — 38 c. : ил.
Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. – М. Изд-во УДН, 1991.- 287 с., ил.
Хювёнен Э., Сеппянен Й. Мир Лиспа. В 2-х т. Т.1: Введение в язык Лисп и функциональное программирование. Т.2: Методы и системы программирования. Пер. с финск. – М.: Мир, 1990.

Рисунки к докладу

Спираль Клелия (а) и аппроксимация сферы торсовой поверхностью (б)

Рис. 2

Аппроксимация торсовой поверхности многогранником

Рис. 3

Условная развертка сферической поверхности

Рис. 4

Вопросы и комментарии к выступлению:

Владимир Игоревич, здравствуйте! Какие у Вас замечательные, красивые и действительно полезные исследования! Интересно будет почитать результаты после испытаний.

С уважением, Кокарева Я.А.

Владимир Игоревич, решение красивое, современное, все так. Но ….

Наберите в поисковике Сфера Эшера и познакомьтесь с искусством этого дизайнера с мировым именем. Конкретно по данной работе можно набрать:

Увидите практически Вашу развертку.

Более того,извините, но есть и моя работа на эту тему: А.Л. Хейфец. Инженерная компьютерная графика. AutoCAD. – СПб., БХВ, 2005. – 336 с.

В этой давно и большим тиражом изданной книге, которая есть во всех библиотеках, имеется раздел “Сфера Эшера”, стр. 284. На рис. 12.3 Вы увидите практически все свое решение. Там нет развертки, но все до нее доведено. Последний шаг сделали Вы. Но ссылки делать необходимо. И на классика Эшера, и, извините , хотелось бы и на меня в этой работе.

С уважением. А.Л. Хейфец.

Нельзя не согласиться с Александром Олеговичем, что работа очень интересная и, одновременно, с его вполне резонным вопросом о защите авторства.

Лента очень похожа на сферу Эшера, наверное, и на работу Александра Львовича, но можно заметить, что есть и отличия, причем с точки зрения технического осуществления, их можно даже назвать существенными.

Владимир Игоревич не приводит информации о правовой защите названия, но обычно имя автора принято давать, если есть патент на изобретение, полезную модель, промышленный образец. На сайте ФИПС есть информация о 3214 изобретениях со словом лента в названии, но ленты Федоренко поиск не дает. Если заявка не подавалась, то надо подавать срочно, данная публикация может помешать получению охранного документа.

Конечно, в научном труде надо приводить ссылки на аналогичные работы, но умышленного нарушения ведь здесь нет. Поэтому хочется поддержать и поблагодарить Владимира Игоревича за информацию, особенно приятно, что лента воплощается в металле, что само по себе уникальный случай.

С уважением Головнин А.А.

Уважаемый Александ Олегович!

Во-первых , представлю своих соавторов. Кучеров Кирилл — студент 4-го курса факультета ИУ, Христофоров Павел — студент 2-го курса факультета РК МГТУ им.Баумана. Обоим я преподавал, а Павлу еще продолжаю, черчение и НГ.

Статью я опубликовал по просьбе коллеги по работе Полубинской Людмилы Георгиевны. Да и самому очень хотелось показать работу специалистам. Может чуть рано, зато познакомился (пусть заочно) с замечательными учеными.

Что касается Имени. Этой работе около года, и я просто влюбился в красоту линий. Но , я честно проштутдировал десятки , если не сотню, источников. И облазил Интернет. Больше отдавал внимание геометрам, особенно прикладным.

До некоторых источников 70-х годов дотянуться не смог. Просто уже подумал, что результат , если бы был достигнут не пропал втуне. И всегда отслеживал получение развертки.

По поводу изготовления. Я преподавал «Технологию металлов» 25 лет в Московском автомеханическом институте. Количество витков подбиралось , чтобы длина сварного шва была меньше длины швов у аналогичных изделий.

По поводу картошки. Мы создали ролик и планируем показать его в Интернете , но несколько позже.

Заявка на изобретение подана, но Фамилию с ленты могут снять, как сняли ее когда-то с роторно-волнового компрессора

Извинете, что кратко. С уважением, Федоренко В.И.

Уважаемый Александр Львович!

Спасибо, что назвали решение красивым. После Вашей анимации, это дорогого стоит.

С творчеством Эшера знаком достаточно хорошо, и даже когда-то давно пытался ему подражать в разработке рисунка паркета и мозаики. «Мы все учились понемногу. «

Попробую определить наиболее удобный источник.

Вашу книгу не читал, и даже не встречал во время поиска аналогов. Как уже я написал Александру Олеговичу, искал больше в стане геометров. Двух представителей я в ссылках указал. Мне казалось, что те , кто занимаются геликоидами ближе.

Я обязательно буду делать ссылку на Ваши работы

Я в сферу (каламбур получился) НГ перешел недавно, спасибо, что поправили.

И .. Ваши чувства тоже хорошо понимаю.

С уважением, Федоренко В.И.

Владимир Игоревич, спасибо! Успехов Вам и вашим ученикам. Интересны, конечно, сравнительные характеристики с другими технологиями получения, например. газгольдеров. На глаз допустимые давления, при прочих равных, должны быть больше. Геометрия сварных швов технологически вроде удобней. ( но тут спец. Александр Львович ). Раскрой. видимо, не так экономичен? . Ждем сообщений о выдачи патента ! А.О. .

Владимир Игоревич, не обижайтесь, но я насчитал в Вашей литературе 11 геометров, а не 2. То есть, 11 фамилий ученых, занимавшихся или занимающихся геометрией.

А развертка получилась прикольная,я такой еще не встречал.

С уважением, Н. Сальков.

Уважаемый Алексей Алексеевич!

Возможно я несколько поторопился с названием. Но когда месяц за месяцем нет результата поиска — сживаешься с мыслью что у тебя получилось. Работа стала жечься, вот я ее и показал.

Ссылки на аналогичные работы я привел. Кривошапко С.Н. и Пилипака С.Ф. — авторы работ по торсовым поверхностям.

Другой вопрос, что мало. Но у меня список был большой, только односторонний.

С уважением, Федоренко В.И.

Уважаемый Николай Андреевич!

Я не обижаюсь. Совсем. Меня учили так — «если у тебя проблемы — посмотри в зеркало».

Вот и здесь, не сумел правильно выразить мысль. Не все ученые, фамилии которых я указал, занимаются вопросами построения и исследования торсовых поверхностей.

Кстати, есть более прикольная развертка и Вы ее тоже еще не видели. Но, формат доклада ограничен 4-мя рисунками.

А мы люди законопослушные.

С уважением, Федоренко В.И.

Добрый день, Яна Андреевна!

Спасибо за добрые слова о моей работе. Если два разных человека говорят, что результат работы красивый, то значит он правильный.

Источник

Горнов Александр Олегович (24 марта 2017 г. 20:12)	Владимир Игоревич и Ваши соавторы, здравствуйте ! Если бы среди вариантов оценки публикации и, соответственно её сути, было бы предложение «очень понравилось» — оценил бы так! К тому же Вашу ленту в материале скоро свернут в сферу! Планируете ли Вы далее ( наверно сместе с технологами ) анализировать оптимальное сочетание числа витков и технолого — экономические показатели . Зависит ли оптимальное число витков от диаметра сферы ? Раз Вы пишите «Лента Федоренко», надо ли понимать, что это решение оригинально и этот приоритет за Вами закреплен? Или я тут что то не так понял? Это интересно еще с той точки зрения , что даже трудно оценить сколько раз подобную ленту человечество наблюдало очищая круглую картофелену! И еще, уже совсем интуитивно чувствую ( может и ошибаюсь) , что подобные задачи близки «Проектографии» ( автор проф. Гамаюнов В), о которой говорил на прошлой конференции уважаемый В.А. Наместников. Мы хотели в этом разобраться, но руки пока не дошли . Может Вам это будет интересно и разобравшись, попонятней бы изложили для всех. Спасибо. С уважением, А.О.
Кокарева Яна Андреевна (24 марта 2017 г. 20:43)
Хейфец Александр Львович (24 марта 2017 г. 20:51)
Головнин Алексей Алексеевич (24 марта 2017 г. 21:37)
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 1:34)
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 2:36)
Горнов Александр Олегович (25 марта 2017 г. 2:38)
Сальков Николай Андреевич (25 марта 2017 г. 2:49)
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 3:06)
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 15:18)
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 15:41)