При построении линии пересечения двух поверхностей способом секущих сфер

При построении линии пересечения двух поверхностей способом секущих сфер

Контрольные задания по теме:
Рабочая тетрадь задача 75, задача 76

Этот метод вытекает из свойств, присущих поверхностям вращения: если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных меридианов поверхностей. На рисунке 54 показано сечение конуса и цилиндра вспомогательной сферой.

Рисунок 54

Способ сфер применяется в особом случае, когда поверхности вращения расположены так, что их оси пересекаются и параллельны одной из плоскости проекций.

Построение линии пересечения поверхностей вращения с помощью вспомогательных секущих сфер возможно двумя способами:

1) способом концентрических сфер;

2) способом эксцентрических сфер.

Первый применяется тогда, когда оси поверхностей — прямые линии, а второй — когда одна из осей является кривой.

Рассмотрим пример пересечения двух цилиндров разного радиуса. Оси их пересекаются и параллельны фронтальной плоскости проекций. Поверхности изображены на рисунке 55.

Рисунок 55

Первая сфера проводится так, чтобы она была вписана в поверхность большего диаметра, последующие сферы пересекают обе поверхности, а радиус последней сферы равен расстоянию до точек пересечения очерков.

Вспомогательные сферы пересекают цилиндры по окружностям, которые проецируются в прямые линии, проходящие через точки пересечения сфер с очерками цилиндров. Точки пересечения этих прямых и есть общие точки для двух поверхностей.

При построении линии пересечения этим способом все сферы проводятся из одного центра, которым является точка пересечения осей. В способе эксцентрических сфер центр секущей сферы передвигается вдоль оси поверхности, ось которой прямолинейна.

Если две пересекающиеся поверхности вращения можно описать вокруг третьей, то линия пересечения в этом случае распадется на две плоские кривые. Примеры такого пересечения приведены на рисунке 56.

Рисунок 56

В рассмотренных примерах имеет место двойное соприкасание пересекающихся поверхностей второго порядка. Эти поверхности могут быть описаны вокруг одной сферы. Данный случай относится к частным случаям взаимного пересечения поверхностей и описывается теоремой Монжа: две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

1. Какое свойство поверхностей вращения лежит в основе способа сфер?

2. При каком расположении поверхностей возможно применение способа сфер для построения линии их взаимного пересечения?

3. В каком случае следует применять метод эксцентрических сфер, а в каком – концентрических?

4. Какие частные случаи пересечения поверхностей вы знаете?

5. Сформулируйте теорему Монжа.

© ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет

Источник

Пересечение поверхностей. Метод секущих плоскостей

Пересечение поверхностей. Метод секущих сфер.

Для определения линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения целесообразно воспользоваться одним свойством, присущим поверхностям вращения, которое состоит в том, что две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей.

В частном случае, если одна из поверхностей вращения – сфера, приведенное выше предложение может быть сформулировано иначе: если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных меридианов поверхностей.

Построить линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер можно двумя способами:

1. Способом концентрических сфер;

2. Способом эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер.

Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Для упрощения графического решения необходимо, чтобы плоскость, определяемая осями поверхностей вращения, была параллельной какой0либо плоскости проекции.

Способ эксцентрических сфер.

Способ эксцентрических сфер может быть использован для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность должна иметь семейство окружностей. Как и в способе концентрических сфер, плоскость симметрии должна быть параллельна одной из плоскостей проекции.

Способ эксцентрических сфер можно применять и в тех случаях, когда из пересекающихся поверхностей не является поверхностью вращения. Необходимым условием является наличие на этой поверхности семейства окружностей, которые можно рассматривать как результат пересечения поверхности со сферой. В число условий входит также условие, чтобы перпендикуляры, восстановленные из центров круговых сечений, пересекали ось поверхности вращения.

Пересечение поверхностей. Метод секущих плоскостей.

В качестве поверхностей-посредников используют секущие плоскости. Этот способ применяется в тех случаях, когда можно найти в качестве поверхностей-посредников такие плоскости, которые пересекали бы обе заданные поверхности по геометрически простым линиям — окружностям и прямым (рис. 21). Чаще всего в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираются плоскости уровня, то есть плоскости, параллельные плоскостям проекций. Следует отметить, что способ вспомогательных секущих плоскостей применяется во всех случаях, то есть каждая из пересекающихся поверхностей может быть как гранной, так и поверхностью вращения.

На чертеже (рис. 21, 22) прямой конус вращения пересекается с полусферой.

Построение проекций линии взаимного пересечения поверхностей осуществляется в следующей последовательности:

Определяют на чертеже положения опорных точек кривой пересечения. Фронтальная проекция A2 самой высшей точки кривой пересечения определяется на пересечении главных меридианов пересекающихся поверхностей: для конуса главным меридианом является очерковый треугольник, а для полусферы — очерковая полуокружность во фронтальной плоскости проекций.

Проведя линию связи из точки A2 до пересечения с горизонтальной проекций главных меридианов, получаем горизонтальную проекцию A1 самой высшей точки кривой пересечения. То обстоятельство, что основания фигур располагаются непосредственно в горизонтальной плоскости проекций (рис. 22) позволяет выявить положения самых низших точек 1 и 2 кривой пересечения.

Действительно, точки 11 и 21 пересечения проекций оснований фигур являются горизонтальными проекциями самых низших точек 1 и 2 кривой персечения. Их фронтальные проекции 12 и 22 располагаются на оси ОХ и определяются пересечением оси ОХ с линиями связи, проведенными из точек 11 и 21. В тоже время по отношению к наблюдателю точки 1(11;12) и 2(21;22) являются самой близкой и самой дальней точками кривой пересечения соответственно.

Все точки, кроме A, 1 и 2 являются регулярными точками кривой пересечения. Для определения на чертеже положения их проекций используют способ вспомогательных секущих плоскостей. При этом необходимо удачно выбрать положение секущей плоскости. Это положение выбирают таким образом, чтобы в сечении каждой из заданных поверхностей вращения получались графически простые линии — прямые или окружности.

В данной задаче в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают горизонтальные плоскости уровня, так как они пересекают обе поверхности: конус и полусферу, по графически простым линиям — окружностям. На чертеже проводят одну секущую плоскость α1, задав ее фронтальным следом α21. Далее строят проекции параллелей — окружностей сечения секущей плоскостью α1 конуса и полусферы. На чертеже фронтальные проекции этих параллелей l2 и m2 располагаются на следе α21 секущей плоскости α1.

Горизонтальные проекции l1 и m1 этих параллелей представляют собой окружности с центрами S1 и O1, радиусами R и R′ соответственно. В пересечении горизонтальных проекций l1 и m1 параллелей получают горизонтальные проекции 41 и 51 регулярных точек кривой пересечения. Проведя линии связи из точек 41 и 51 до пересечения со следом α21 секущей плоскости α1, получают фронтальные проекции 42 и 52 кривой пересечения. Построенные точки 4(41; 42) и 5(51; 52) являются регулярными точками кривой пересечения. Аналогичным образом проводят несколько ниже секущие плоскости α2 — α6, задав их на чертеже фронтальными следами α22 — α26, и строят регулярные точки 6(61; 62) — 15(151; 152) кривой пересечения поверхностей.

После построения на чертеже проекций опорных и регулярных точек кривой соединяют их одноименные проекции плавной кривой (при помощи лекала) и получают горизонтальную и фронтальную проекции кривой взаимного пересечения заданных поверхностей. По чертежу устанавливают, что конус и полусфера имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций. Тогда горизонтальные проекции точек кривой пересечения окажутся расположенными симметрично относительно горизонтального следа главной меридианальной плоскости, являющейся общей для обеих фигур.

Фронтальные проекции точек кривой пересечения будут совпадать, так как в этом случае они являются конкурирующими по отношению к фронтальной плоскости проекций. Причем проекции точек, расположенных перед главной меридианальной плоскостью фигур, будут видимыми на фронтальной плоскости проекций, а расположенных за ней — невидимыми. Горизонтальные проекции точек кривой пересечения являются видимыми, поэтому горизонтальная проекция кривой пересечения проводится на чертеже сплошной линией.

В заключение отметим, что способ вспомогательных секущих плоскостей уровня используется тогда, когда оси вращения обеих поверхностей (если обе поверхности являются поверхностями вращения) располагаются перпендикулярно одной из плоскостей проекций.

В том случае, когда при пересечении обеих поверхностей одной секущей плоскостью невозможно получить в сечениях графически простые линии — прямые или окружности применяется способ вспомогательных секущих сфер.

Источник

Построение линий пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих сфер

Две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных полумеридианов этих поверхностей. При этом плоскости окружностей сечения перпендикулярны оси поверхностей вращения, а центры окружностей принадлежат этой оси. Поэтому если оси поверхностей вращения параллельны плоскости проекции, то на эту плоскость окружности сечения проецируются в отрезки прямых, перпен­дикулярных проекциям оси вращения.

В качестве вспомогательной секущей поверхности вращения целесообразно использовать удобную для вычерчивания сферическую поверхность, центр которой должен принадлежать оси поверхности вращения (рис. 1.73). Здесь сфера Σ (i,m) пересекается с поверхностью вращения Ф(i,n) по окружностям, т. к. полумеридианы поверхности вращения и сферы имеют две точки пересечения – A и В.

При построении линий пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих сфер возможны два случая. В одном из них используют сферы, проведенные из одного общего для всех сфер центра, а в другом – сферы, проведенные из разных центров. В первом случае имеем способ концентрических сфер, во втором – способ эксцентрических сфер.

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

1.7.4.1.Способ вспомогательных секущих концентрических сфер.

Этот способ можно использовать, если выполняются следующие условия:

— пересекаются две поверхности вращения;

— оси поверхностей вращения пересекаются;

— плоскость, образованная пересекающимися осями (общая плоскость симметрии поверхностей), параллельна одной из плоскостей проекций. Именно на этой плоскости проекций и проводят вспомогательные секущие сферы, центр которых лежит в точке пересечения осей.

Рассмотрим пример. Построить линию пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых i и j пересекаются в некоторой точке Ои параллельны плоскости проекций П₂ (рис. 1.74).

Вначале должны быть построены некоторые опорные точки. Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций П₂, то их контур­ные образующие, по отношению к плоскости П₂, пересекаются. Точки А, В, С и Dпересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей. Эти точки ограничивают фронтальную проекцию линии пересечения.

Далее следует определить радиусы максимальной и минимальной сфер, пригодных для отыскания точек линии пересечения.

Радиус максимальной сферы R_max равен расстоянию от проекции О₂ центра сфер до наибо­лее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае до точки A₂.

Чтобы определить радиус наименьшей сферы R_min, необходимо провести через точку О₂нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Тогда больший из отрезков этих нормалей и будет R_min. В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей, а совторой – пересекаться. Если же взять в качестве R_min меньший отрезок, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечется. В данном примере сферой минимального радиуса будет сфера, касающаяся цилиндрической поверхности. Эта сфера касается цилиндрической поверхности по окружности 1 – 2; коническую поверхность она пересекает по двум окружностям 3 – 4и 5 – 6. Точки Е, Fи G, Нпересечения этих ок­ружностей будут точками искомой линии пересечения.

Для построения других точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке О, причем радиус Rэтих сфер должен изменяться в пределах R_min

1.7.4.2.Способ вспомогательных секущих эксцентрических сфер.

Этот способ можно использовать, если выполняются следующие условия:

— пересекаются две поверхности, которые имеют общую плоскость симметрии;

— каждая из этих поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.

Рассмотрим пример. Построить линию пересече­ния поверхности тора с конической поверхностью вращения, которые имеют общую фронтальную плоскость симметрии (рис. 1.75).

По аналогии с предыдущей задачей строим точки А и В пересечения контура поверхности тора с контуром конической поверхности. Точка А является наивысшей точкой искомой линии, а точка В – наинизшей.

Для построения произвольных точек линии пересечения в данной задаче нельзя воспользоваться способом вспомогательных концентрических сфер: хотя обе поверхности и являются поверхностями вращения, но их оси i 1 и i 2 не пересекаются. Способом же эксцентрических сфер, центры которых находятся в различных точках оси i 2 конической поверхности, можно найти сколько угодно произвольных точек линии пересечения.

Действительно, у поверхности тора, кроме семейства окружностей (параллелей), расположенных в плоскостях, перпендикулярных оси i 1 , имеется семейство окружностей (меридианов), расположенных в плоскостях, проходящих через ось i 1 . Центры сфер, пересекающих поверхность тора по этим окружностям, будут нахо­диться на перпендикулярах к плоскостям этих окружностей, проведенных через их центры С 1 , С 2 , С 3 , . . Поэтому если взять центры эксцентрических сфер в точках О 1 , О 2 , О 3 , . пересечения этих перпендикуляров с осью i 2 конической поверхности, то сферы соответствующих радиусов пересекут обе данные поверхности по окружностям. Точки пересечения окружностей обеих поверхностей, принадлежащих одной и той же сфере, и будут точками искомой линии пересечения.

На рис. 1.75 проведены три эксцентрические сферы из центров О 1 , О 2 и О 3 , с помощью которых найдены случайные точки линии пересечения. Так, для построения точек Ми Nпроведен меридиан 3 – 4поверхности тора, расположенный во фронтально проецирующей плоскости, проходящей через ось i 1 (i₂ 1 ), и из его центра С 1 (С_г 1 )восстановлен перпендикуляр к этой плоскости. В точке О 1 (О₂ 1 ) пересечения перпендикуляра с осью i 2 (i₂ 2 ) и будет находиться центр вспомогательной сферы. Если теперь провести сферу с центром в точке О 1 (О₂ 1 ) такого радиуса R, чтобы ей принадлежала окружность 3 – 4, то эта сфера, пересекая коническую поверхность по некоторой окружности 1 – 2, определит в пересечении окружностей 1 – 2 и 3 – 4 искомые точки Ми N.

Горизонтальные проекции точек пересечения можно найти с помощью графически простых линий поверхности тора, которыми являются ее параллели. Так, горизонтальные проекции М₁ и N₁ точек Ми N построены при помощи параллелей j 1 и j 2 поверхности тора. Точки видимо­сти Ри Qконической поверхности для плоскости P₁ построены приближенно, их фронтальные проекции найдены в пересечении фронтальных проекций линии пересечения и оси i 2 конуса.

Источник