Презентация решение системы линейных уравнений матричным способом

Решение систем линейных уравнений матричными методами Выполнила : Донец Елизавета, ученица 10 В класса. Научный руководитель : Симакова М. Н., учитель. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемИнна Шульц

Похожие презентации

Презентация 10 класса по предмету «Математика» на тему: «Решение систем линейных уравнений матричными методами Выполнила : Донец Елизавета, ученица 10 В класса. Научный руководитель : Симакова М. Н., учитель.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Решение систем линейных уравнений матричными методами Выполнила : Донец Елизавета, ученица 10 В класса. Научный руководитель : Симакова М. Н., учитель математики Симаков Е. Е., преподаватель спецкурса по информатике

2 Задачи: Рассмотреть понятие матрицы, области применения, основные действия над матрицами. Изучить способы решения систем линейных уравнений матричными методами. Применить изученные методы на практике для решения систем линейных алгебраических уравнений в программе MathCAD. Цель: Сравнение матричных методов решения с классическими методами, изучаемыми в школьном курсе и реализация решений в программе MathCAD.

3 Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая n строк одинаковой длины или n столбцов одинаковой длины. A m×n = (а ij ) i= — номер строки,j= — номер столбца Квадратная матрица Единичная матрица Нулевая матрица Треугольная матрица Матрица — вектор

4 Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью матричных вычислений a ij, i = — коэффициенты системы b i – свободные члены А · Х = В Х – вектор-столбец из неизвестных x j, В – вектор-столбец из свободных членов b i.

5 x 1 = с 1, x 2 = с 2 …, x n = с n Решение системы

6 Метод Гаусса k n, a ii 0, i = a ii — главные элементы системы

7 общее решение системы: х 2 = 5 х х 3 – 3; х 1 = 5 х х 3 – 1. Если предположить, например, х 3 = 0, х 4 = 0, то х 1 = -1, х 2 =-3, х 3 = 0, х 4 = 0. Метод Гаусса

Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера» title=»А · Х = В | А -1 A -1 · А · Х = В · А -1 А -1 · А = Е и Е · Х = Х => Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера» > 8 А · Х = В | А -1 A -1 · А · Х = В · А -1 А -1 · А = Е и Е · Х = Х => Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера»> Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера»> Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера» title=»А · Х = В | А -1 A -1 · А · Х = В · А -1 А -1 · А = Е и Е · Х = Х => Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера»>

9 A 11 b 1 + A 21 b 2 + … + A n1 b n — разложение определителя Формула Крамера

10 Вывод Плюсы решения в MathCAD: от пользователя не требуется самому проводить преобразования ; программный код является универсальным, требующими только смены условия ; возможность экспортирования результатов в другие программы.

Источник

Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы» — урок 13-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы ГБОУ СПО МО «ЛПТ» Преподаватель математики Осипова Людмила Евгеньевна Mila139139 @ yandex.ru Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 11 УРОК ТРИННАДЦАТЫЙ

Система линейных уравнений а11×1 + а12×2 + . + а1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ……………………………….. am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Числа а11 , а12 , . , а mn — это коэффициенты системы Числа b1, b2 ,…, bm – свободные члены системы Переменные х1, х2 ,…, хm — неизвестные, значения которых надо найти ( 1 )

Систему линейных уравнений очень удобно записывать в матричном виде АХ = В А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. 1 А = а11 а12 . a1n a21 a22 … a2n . am1 am2 … amn X = X1 X2 …. Xn B = b1 b2 …. bm ( 2 )

Вывод основной формулы 1) Предположим, что rang(A) = rang(A|B) = n, т.е. система имеет решение, причем единственное. основная матрица системы А – невырожденная, т.е. главный определитель Δ ≠ 0 . Для невырожденной матрицы А есть обратная А -1 2) Умножив уравнение на А и помня, что А А = Е определитель, которой Δ = 1: -1 -1 А Х = В Α -1 A ⋅ A⋅ X = A ⋅ B -1 -1 Е = 1 Χ = Α Β -1 ( 3 ) 2

Способ решения А Х = В ( 2 ) Х = А В ( 3 ) -1 Пусть дана система линейных алгебраических уравнений в матричном виде (2) с невырожденной квадратной матрицей А. Отсюда получаем решение системы (3), где А — обратная матрица -1 ( 4 ) А = -1 1 detА A11 A21 A31 ….A n1 A12 A22 A32…. An2 ………………….. An1 An2 An3 …. Ann

Рассмотрим пример 1 Задание. Найти решение системы с помощью обратной матрицы. Х1 + Х2 = 3 Х1 – Х2 = 1 Решение. 1) Запишем систему в матричном виде А = 1 1 1 -1 Х = Х1 Х2 В = 3 1 1 1 1 -1 = 3 1 Х1 Х2 — матричный вид системы А Х = В

А = -1 1 Δ A11 A21 A12 A22 2) Получаем решение системы где А — обратная матрица -1 Х = А В -1 где Δ — главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения 3) Вычислим обратную матрицу Δ = 1 1 1 -1 = -1-1 = -2 ≠ 0 А – невырожденная матрица А = -1 1 -2 -1 -1 -1 1 = 1 2 1 1 1 -1

Х = А В -1 3) Найдём решение системы Х = А В -1 = 1 2 1 1 1 -1 3 1 = 1 2 4 2 = 2 1 Ответ: Х1 = 2 ; Х2 = 1

Рассмотрим пример 2 Задание. Найти решение системы с помощью обратной матрицы. Решение. 1) Запишем систему в матричном виде А Х = В А = 1 2 -1 2 -1 1 1 1 2 Х = Х1 Х2 Х3 В = 4 1 5 1 2 -1 2 -1 1 1 1 2 Х = 4 1 5 2) Составим матричное уравнение

А = -1 1 Δ A11 A21 А31 A12 A22 А23 А13 А23 А33 3) Решим матричное уравнение где А — обратная матрица -1 Х = А В где Δ — главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения -1 4) Найдём главный определитель основной матрицы А Δ = 1 2 -1 2 -1 1 1 1 2 = -2 -2+2-1-1-8 = -12 ≠ 0 А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует

5) Найдём алгебраические дополнения для основной матрицы А 6) Вычислим обратную матрицу А -1 А = -1 1 -12 -3 -5 1 -3 3 -3 3 1 -5 = 1 12 3 5 -1 3 -3 3 -3 -1 5

7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является решением данной системы Х = А В -1 = 1 12 3 5 -1 3 -3 3 -3 -1 5 4 1 5 = 1 12 12+5-5 12-3+15 -12-1+25 12 24 12 = = 1 12 = 1 2 1 Х1 Х2 Х3 = Ответ: Х1 = 1 ; Х2 = 2 ; Х3 = 1

Рассмотрим пример 3 Задание. Найти решение системы с помощью обратной матрицы. Решение. 1) Запишем систему в матричном виде А Х = В А = 1 -3 4 1 -1 7 1 -2 1 Х = Х1 Х2 Х3 В = 6 7 2 Х = 2) Составим матричное уравнение 1 -3 4 1 -1 7 1 -2 1 6 7 2

А = -1 1 Δ A11 A21 А31 A12 A22 А23 А13 А23 А33 3) Решим матричное уравнение где А — обратная матрица -1 Х = А В где Δ — главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения 4) Найдём главный определитель основной матрицы А Δ = = 1∙13 + 1∙(-5) + 1∙(-17) = -9 ≠ 0 А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует 1 -3 4 1 -1 7 1 -2 1

5) Найдём алгебраические дополнения для основной матрицы А 6) Вычислим обратную матрицу А -1 А = -1 1 — 9 13 -5 -17 6 -3 -3 -1 -1 2 = 1 9 -13 5 17 -6 3 3 1 1 -2

7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является решением данной системы Х = А В -1 = 1 9 = 1 9 -78+35+34 -36+21+6 6+7-4 -9 -9 9 = = 1 9 = -1 -1 1 Х1 Х2 Х3 = Ответ: Х1 = -1 ; Х2 = -1 ; Х3 = 1 -13 5 17 -6 3 3 1 1 -2 6 7 2 ∙

Итак, для этого метода нужно: Найти и посчитать матрицу, обратную для основной матрицы системы (если она существует); умножить полученную матрицу на матрицу-столбец свободных членов полученная в результате умножения тоже матрица-столбец и есть решение системы.

Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. — 576с.: ил. – ( Высшее образование ) Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил. Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 813 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 287 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 599 человек из 75 регионов

Номер материала: ДВ-524942

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

В Тюменской области продлили на неделю дистанционный режим для школьников

Время чтения: 1 минута

В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

В российских школах оборудуют кабинеты для сообщества «Большой перемены»

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Презентация по теме Матричный метод решения систем

Описание презентации по отдельным слайдам:

Открытый урок по теме: Матричный метод

Изучив эту тему, вы : Узнаете как решать системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы; Узнаете как решать матричные уравнения; Познакомитесь с историей возникновения алгебры матриц; Узнаете как использовать матричный метод при решении экономических задач.

Понятие матрицы впервые ввели английские математики Гамильтон Уильям и Артур Кэли в середине XIX века.

Основы теории матриц создали немецкие математики Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (вторая половина X1Xв. и начало XXв.)

Книга «Искусство счета в девяти разделах» Первые фактические решения кубических уравнений — в Китае были произведены Ван Сяотуном в 7 в -в Европе Леонардо Фибоначчи в 13в., который , как полагают, находился под влиянием китайских источников

Матричный метод Рассмотрим систему уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, т.е. m=n. Система уравнений имеет вид:

В матричном виде: AX=B Решим его, если detA≠0

Алгоритм решения 1. Найти обратную матрицу 2. Найти произведение обратной матрицы на столбец свободных членов В, т.е. 3. Пользуясь определением равных матриц записать ответ.

Домашнее задание: Конспект [1] стр. 39 § 6, № 51(1) Подготовиться к практической работе

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 813 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 287 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 599 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДA-045292

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Руководители управлений образования ДФО пройдут переобучение в Москве

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения работает над единым подходом к профилактике девиантного поведения детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник