Презентация различные способы доказательства теоремы пифагора

Презентация по математике на тему «Различные способы доказательства теоремы Пифагора»

С данной работой Алёна участвовала на международной конференции в г. Саратове. Заняла призовое место в муниципальном конкурсе «Первые шаги в науку».

Скачать:

Вложение	Размер
dok-va_t-my_pifagora.ppt	1.27 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Различные способы доказательства теоремы Пифагора. Выполнила: ученица 8 «А»класса МБОУ «ООШ №26» г. Энгельса Люсина Алёна. Учитель : Еремеева Елена Борисовна

История теоремы. Чу-пей 500—200 лет до нашей эры. Слева надпись: сумма квадратов длин высоты и основания есть квадрат длины гипотенузы. В древнекитайской книге Чу-пей ( англ. ) (кит. 周髀算經 ) говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

История теоремы. Мориц Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

История теоремы. Согласно комментарию Прокла к Евклиду, Пифагор (годами жизни которого принято считать 570—490 гг. до н. э.) использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки. Однако Прокл считал,что не существует явного упоминания,что Пифагор был автором теоремы. Однако, когда авторы, такие как Плутарх и Цицерон, пишут о теореме Пифагора, они пишут так, как будто авторство Пифагора было широко известным и несомненным.«Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики». По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков. Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

Формулировки теоремы. Теорема Пифагора : Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты ( a и b ), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе ( c ). Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Формулировки теоремы. Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательства. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Доказательство через равнодополняемость Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b так, как показано на рисунке справа. Площадь S этого квадрата равна (a+b) 2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ab, и квадрата со стороной c , поэтому S=4 · ab+c 2 =2ab+c 2 . Таким образом, (a+b) 2 =2ab+c 2 , откуда a 2 +b 2 =c 2 . Теорема доказана.

Доказательство Леонардо да Винчи Главные элементы доказательства — симметрия и движение. Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки A , мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и DABG . Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Здесь изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику. Доказательства методом достроения

«Колесо с лопастями» Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе. Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом.

Доказательство ан-Найризия В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C.

Доказательство Бхаскари Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ!

Доказательство Гарфилда Здесь три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна во втором . Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. «Колесо с лопастями» Доказательство ан-Найризия Доказательство Гарфилда

Источник

Презентация по геометрии на тему «Различные способы доказательства теоремы Пифагора»

Описание презентации по отдельным слайдам:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Найти неизвестную сторону треугольника

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на верёвке делали метки, делящие её на 12 равных частей, связывали её концы и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5.Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4 оказывался прямым.

Какой треугольник является прямоугольным ? 1) 15 м; 9 м; 12 м; 2) 10 м; 6 м; 8 м; 3)5 м; 3 м; 4 м; 4)9 м; 5 м; 7 м.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Пифагор — с гр. «тот, кого предсказала Пифия» . Пифия сообщила Мнесарху, отцу Пифагора, что Пифагор принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой. Пифагор родился в Сидоне примерно в 570 до н. э.

Пифагор рос и воспитывался на острове Самосе, потом долго путешествовал, изучил мировые достижения математики, но вернулся на родину. Там подвергся преследованиям со стороны властей и бежал в Кротон.

В Кротоне он основал тайный религиозно-этический научный орден Пифагорейцев. Очень скоро слава об этом учреждении разлетелась по всей Элладе. В этот орден спьяну захотел вступить богатый Килон, но получил отказ и в злости пожёг дом Пифагора.

На пожаре, спасая учителя, погибли его ученики. Пифагор расстроился и уморил себя голодом в священном храме. Пифагор внёс свой вклад в геометрию, музыку и философию, но потомки помнят его, за доказательство теоремы, позже названой его именем.

Она была известна в Египте, Индии, Персии и Двуречье и во времена Пифагора звучала так: в данном треугольнике АВС угол А является прямым только тогда, когда площадь квадрата при стороне против угла А равна сумме квадратов при двух других сторонах. Современная формулировка : в прямоугольном треугольнике квадрат при гипотенузе равен сумме квадратов при катетах.

На рисунке дан простейший равнобедренный прямоугольный треугольник АВС. Если квадраты отложить в общую часть полуплоскостей с границами АВ и ВС, то сумма числовых значений площадей квадратов, построенных на катетах, равна 4SABC (квадраты совпали). Но и площадь квадрата, построенного на гипотенузе, тоже равна 4SABC Если же квадраты отложить на сторонах во внешнюю область, то и в этом случае 2 + 2 = 4. Теорема доказана.

Поворотом плоскости с центром в т. А на «-90 градусов» четырёхугольник ACKJ совместим с четырёхугольником ADGВ. Площадь каждого из них соответственно половина площади шестиугольников ACBHKJ и ADEFGB.

От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части (пары равных прямоугольных треугольников 1;2 и 1;3) так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. А если от равных чисел отнять равные числа, то и разности будут равны.

Этот индийский математик в пояснении к рисунку написал только одну строчку: «Смотри!». Учёные считают, что он выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь внутреннего квадрата (a — b)²: c² = 4ab/2 + (a — b)²; c² = 2ab + a² -2ab + b²; c² = a² + b². Теорема доказана.

Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания идеи доказательства достаточно одного взгляда на чертёж.

Нильсен предложил такое разбиение. Многоугольники равных площадей (равновеликие фигуры) одинаково пронумерованы.

Перигаль через центр квадрата, построенного на большем катете, проводит прямые: одну — параллельную и одну — перпендикулярную гипотенузе. В книгах фрагмент этого рисунка называют «колесо с лопастями». Соответственно равные многоугольники одинаково пронумерованы.

Гутхейль предлагает такое наглядное расположение отдельных частей. Надо попробовать закрасить соответственно равные части, и станет понятна идея математика. Если треугольник будет равнобедренным прямоугольным, то исчезнут части 5; 6 и 7

Точки E, C и F лежат на одной прямой; это следует из несложных расчётов градусной меры угла ECF (он развёрнутый) . CD проводим перпендикулярно EF. Продолжены вверх левая и правая стороны квадрата, построенного на гипотенузе, до пересечения с EF; продолжена сторона ЕА до пересечения с CD . Соответственно равные треугольники одинаково пронумерованы.

Бетхер показывает, как из треугольников, входящих в состав квадратов, построенных на катетах, составить квадрат, построенный на гипотенузе. Нижние треугольники 8 и 4 отодвигаем от фигуры 5-1, перераспределяем 7;6;2;3 так, как показано на втором рисунке.

Теорема Пифагора- важнейшее утверждение геометрии. Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим- И таким простым путём К результату мы придём!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 812 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 286 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 599 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-079124

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Спортивные и творческие кружки должны появиться в каждой школе до 2024 года

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения работает над единым подходом к профилактике девиантного поведения детей

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Российские адвокаты бесплатно проконсультируют детей 19 ноября

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник