Презентация основные способы преобразования графиков 11 класс никольский презентация

Преобразования графиков.
презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс)

Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Скачать:

Вложение	Размер
90_preobrazovaniya_grafikov.ppt	1.07 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

ЦЕЛИ: Повторить определение функции; основные понятия, связанные с ней; Повторить способы задания функции. Ввести понятие чётной и нечётной функции. Освоить основные способы преобразования графиков.

ПЛАН 1.Повторение Определение функции. Способы задания функции 2.Преобразование графиков функции Симметрия относительно оси у, f(x) → f( — x) Симметрия относительно оси х, f(x) → — f(x) Параллельный перенос вдоль оси х, f(x) →f(x -а ) Параллельный перенос вдоль оси у, f(x) → f(x) + b Сжатие и растяжение вдоль оси х, f(x) → f( α x), α >0 Сжатие и растяжение вдоль оси у, f(x) → kf(x),k>0 Построение графика функции у = | f (x) | Построение графика функции у = f( | x | ) Построение графика обратной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число у. Обозначение: у = f (х), где х –независимая переменная (аргумент функции), у –зависимая переменная (функция). Множество значений х называется областью определения функции.( D ) Множество значений у называется областью значения функции.(Е) D E y x y = f (x)

Пример№1 у = √х – 2 + 3 При х = 6, у(6) = √6 – 2 + 3 = 5 Найдём область определения. х — 2 ≥ 0, х ≥2 ⇒ D (у) = [ 2; +∞); Так как по определению арифметического корня 0 ≤ √х – 2 ≤ +∞, 0 + 3≤ √х – 2 + 3 ≤ +∞+ 3, или 3 ≤ у ≤ +∞, Е(х) = [ 3; +∞)

Пример № 2. Найти область определения и область значения функции f (x) = 3 + 1 . х-2 Функция определена при х — 2 ≠ 0, то есть х ≠ 2 ⇒ D (у) = (-∞;2) U (2; +∞); Так как при всех допустимых значениях х дробь 1/(х-2) не обращается в нуль, то функция f (x) принимает все значения, кроме 3. Поэтому Е( f ) = (-∞;3) U (3; +∞);

Пример №3 . Найти область определения дробно-рациональной функции f (x) = 1 + 3 х + 4 . х-2 (х — 1)(х + 3) Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1, х = -3. Поэтому область определения D ( f ) = (-∞; -3 ) U ( -3; 1 ) U ( 1 ; 2 ) U (2; +∞);

Пример №4 . Зависимость 2 х – 3 х 2 + 1 Уже не является функцией. При х = 1, пользуясь верхней формулой, найдём у = 2*1 – 3 = -1, а пользуясь нижней формулой, получим у = 1 2 + 1 = 2. Таким образом, одному значению х =1 соответствуют два значения у (у=-1 и у=2). Поэтому эта зависимость (по определению) не является функцией у(х) =

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ Аналитический способ : функция задаётся с помощью формулы. Примеры: у = х 2 , у = ax + b Табличный способ : функция задаётся с помощью таблицы. Описательный способ : функция задаётся словесным описанием. Графический способ : функция задаётся с помощью графика.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (х; f (х)) у х 1 f (х 1 ) х 2 f (х 2 ) х

Пример №5 . Дана функция у = 2 х – 3 | х | + 4. Принадлежит ли графику этой функции точка с координатами а) (-2; -6); б) (-3; — 10) Решение. а) при х = -2, у = 2· (-2) -3· |-2| + 4 = — 4 — 3 · 3 + 4 =-6 Так как у(-2) = -6, то точка А(-2; -6) принадлежит графику функции. б) при х = -3, у = 2· (-3) -3· |- 3 | + 4 = — 6 — 3 · 3 + 4 =- 11 Так как у(-3) = -11, то точка В(-3; -10) не принадлежит графику функции

Пример №6 . Дана функция f (х) = — х 2 + 6х – 8. Найдём точки пересечения графика функции с осями координат. Решение. 1) Точка пересечения с осью ординат, при х=0, у(0) = — 0 2 + 6·0 – 8 = — 8. Получаем координаты этой точки А(0; -8) 2) Точка пересечения с осью абсцисс, при у =0, 0 = — х 2 + 6х – 8, х 2 — 6х + 8=0 , D = 36 – 32 =4, x 1 = (6-2)/2=2, x 1 = (6+2)/2=4. Поэтому график функции пересекает ось абсцисс в двух точках: В(2; 0) и С(4;0)

Симметрия относительно оси у f(x) → f( — x) Графиком ф-и у = f ( — х ) получается преобразованием симметрии графика ф-и у = f ( х ) относительно оси у. у = х 2 = (-х) 2 у=√х у = f ( -х ) у у у х х х у= f (х) у=√-х

Симметрия относительно оси х f(x) → — f(x) График ф-и у = — f ( х ) получается преобразованием симметрии графика ф-и у = f ( х ) относительно оси х. у = х 2 у= — sinx у= f (х) у = — х2 у = — f ( х ) у= sinx у у у х х х

Чётность и нечётность Функция наз-ся чётной, если: область определения функции симметрична относительно нуля, для любого х из области определения f (- х) = f (х) График чётной функции симметричен относительно оси у Функция наз-ся нечётной , если: область определения функции симметрична относительно нуля, для любого х из области определения f (- х) = — f (х) График нечётной функции симметричен относительно начала координат х у х у

Параллельный перенос вдоль оси х, f(x) →f(x -а ) Графиком ф-и у = f ( х- a) получается парал – лельным переносом графика ф-и вдоль оси х на |a| вправо при а > 0 и влево при а 0 и вниз при b 0 График функции у = f ( α x) получается сжатием графика функции у = f (x) вдоль оси х в α раз при α > 1 График функции у = f ( α x) получается растяже- нием графика функции у = f (x) вдоль оси х в 1/ α раз при 0 0 График функции у = kf (x) получается сжатием графика функции у = f (x) вдоль оси y в 1/k раз при 0 1 у=1/2х 2 у=2 sinx у=1/2 sinx у у у= sinx х х х у= kf(x) у= kf(x) у= f(x) у

Построение графика функции у= | f(x)| Части графика функции у = (х), лежащие выше оси х и на оси х остаются без изменения, лежащие ниже оси х – симметрично отражаются относительно этой оси (вверх) 1 3 0 1 у у у х х х y=|log 2 x| y=|x 2 -4x+3| y=|sinx| y=log 2 x y=sinx y=x 2 -4x+3

Построение графика функции у= f(|x|) Часть графика функции у = (х), лежащая левее оси х и на оси у удаляется, а часть, лежащая правее оси у — остаётся без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево). Точка графика, лежащая на оси у, остаётся неизменной. у у y=x 2 -4|x|+3 х х y=x 2 -4x+3 y=sinx y=sin|x|

Построение графика обратной функции График ф-и у = g( х ), обратной данной для функции у = f ( х ) , можно получить преобразованием симметрии графика ф-и у = f ( х ) относительно прямой у= х. 1 1 0 1 0 1 y=cosx -1 0 1 y=sinx у у у х х х у = 2 х y= log2x y=arcsinx y =arccosx

Практическая часть: Построить графики функций: 1) y= sin(x-  ); 2) y= sin(x-  /4); 3) y= 2sin(x)-1; 4) y= -cos(x) 5) y= cos(x-  /2); 6) y= cos(x)-1; 7) y= 2cos(x+  /4)+1; 8) y = 2 arccos x

Контрольные вопросы Дайте определение чётной, нечётной функций. Расскажите о способах задания функции. Что такое область определения? Что такое область значения? Как найти точки пересечения с осями координат? Какие свойства симметрии вы рассмотрели? Как проявляются свойства симметрии на графиках?

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Преобразование графиков функций

Интерактивная презентация рассчитанная на три урока в 8 классе. Созданная в операционной системе LINUX.

Разработка урока по алгебре «Преобразования графиков функций», 11 класс

Разработка урока-презентации с применением интерактивной доски. Предмет: алгебра и начала анализа, урок изучения нового материала.Тема: Преобразования графиков функций.Продолжительность: 1 .

Преобразование графиков с использованием элементарных преобразований

Цель электронного пособия – структурировать и систематизировать методы построения графиков функций, используя элементарные преобразования графиков.Преимущества использования электронного п.

«График функций y=|x|. Элементарные преобразования графика функции»

Урок по алгебре в 9 классе. Повторение перед ГИА.

Учебно-методическое пособие «Математика и Excel. Построение графиков функций одной переменной. Элементарные преобразования графиков»

Учебное пособие позволит студентам получить новые и закрепить уже имеющиеся знания и умения по математике и освоению основных и дополнительных приёмов работы в программе Excel при построении гр.

Урок «Свойства и график у=sin(x). Преобразование графика».

Цели урока:Повторить свойства функции синус.Закрепить их знание при построении синусоиды.Уметь определять свойства функции по графику.Научиться выполнять преобразования синусоиды.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. РАБОТА С ГОТОВЫМИ ГРАФИКАМИ.

Конспект урока в 10 классе. А.Н. Колмогоров.

Источник

основные способы преобразования графиков функций
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

У рок изучения нового материала ,включающий элементы исследовательской деятельности учащихся

Форма проведения урока

Темы интегрируемых предметов

Построение графиков в программе Microsoft Office Excel

Общее количество часов

Содержание и компоненты интеграции:

Межпредметная интеграции: алгебра и информатика

1. овладение опытом исследовательской деятельности при нахождении нового для учащихся вида преобразования графиков, закрепление умений преобразовывать графики функций элементарными способами — симметрия, сдвиг, сжатие-растяжение;
2. Формирование ИКТ-грамотности: применение возможностей программы Microsoft Office Excel для построения и исследования графиков элементарных функций, а также для решения некоторых математических задач

1. Развитие мыслительной деятельности. Формирование умений оценивать и интегрировать информацию: анализировать и сравнивать графики функций, обобщать и применять полученные знания к преобразованию графиков различных элементарных функций
2. Развитие познавательной активности
3. Развитие памяти, внимания, самостоятельности при работе на компьютере

1. Формирование познавательного интереса путем описания математических объектов автоматическими средствами представления данных
2. Воспитание аккуратности, терпения, усидчивости
3. Воспитание понятия красоты и гармонии в науке

Проектирование образовательных результатов

Учащиеся должны знать основные способы преобразования графиков функций;

• строить графики элементарных функций
• применять способы преобразования графиков функций
• применять возможности компьютерной программы Microsoft Office Excel для построения графиков функций

Информационно-образовательная среда урока

1. Персональные компьютеры на каждого ученика (при нехватке компьютеров учащиеся могут выполнять практические задания в парах).
2. Мультимедийный проектор.
3. Презентация «Основные способы преобразования графиков функций».
4. Карточки –задания для практической работы для учащихся.

Целесообразность использования ИКТ на конкретном этапе урока

Одним из важнейших моментов математического образования является его практическая направленность. Ученики должны понимать, как они могут использовать полученные знания, умения и навыки,

Исследовательская деятельность учащихся

Скачать:

Вложение	Размер
основные способы преобразования графиков функций	714.5 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Основные способы преобразования графиков функций

— учиться иметь и высказывать собственное мнение; — развивать умение учиться самостоятельно — узнать что-то новое о графиках; мне это интересно; — узнать что-то новое, потому что мне это пригодится в дальнейшей учебе; — отрабатывать умение выполнять известные мне математические операции. цели для выбора :

Элементарные функции Основными элементарными функциями называются следующие функции : степенная функция показательная функция логарифмическая функция , тригонометрические функции 09.04.19

В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат).

функция представляет собой квадратичную параболу , сжатую втрое относительно оси ординат, симметрично отображенную относительно оси абсцисс, сдвинутую против направления этой оси на 2/3 единицы и сдвинутую по направлению оси ординат на 2 единицы.

Давайте разберемся в этих геометрических преобразованиях графика функции пошагово на конкретных примерах .

Практическая работа – сдвигом вдоль оси Oy на ______( a) единиц (вверх, если a >0, и вниз, если a 0 ,и влево, если b 0, и вниз, если a 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b 0, и вниз, если a 0 , И влево, если b 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b 0, и вниз, если a 0 , ивлево, если b Мне нравится

Источник

Урок алгебры по теме «Основные способы преобразования графиков функций». 11-й класс

Класс: 11

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (346 кБ)

По учебнику Никольского С.М., Потапова М.К. и др. «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс».

Тип урока: обобщающий интегрированный (математика + информатика) урок-практикум, включающий элементы исследовательской деятельности учащихся

Цели урока:

1. Обобщение и закрепление знаний, умений и навыков, полученных при изучении данной темы.
2. Формирование ИКТ-грамотности:
   • применение возможностей программы Microsoft Office Excel для построения и исследования графиков элементарных функций, а также для решения некоторых математических задач
   • формирование умений и навыков работы в электронных таблицах (автозаполнение, построение формул, построение графиков функций)

1. Развитие мыслительной деятельности. Формирование умений оценивать и интегрировать информацию: анализировать и сравнивать графики функций, обобщать и применять полученные знания к преобразованию графиков различных элементарных функций
2. Развитие познавательной активности
3. Развитие памяти, внимания, самостоятельности при работе на компьютере

1. Формирование познавательного интереса путем описания математических объектов автоматическими средствами представления данных
2. Воспитание аккуратности, терпения, усидчивости
3. Воспитание понятия красоты и гармонии в науке

Ожидаемый результат:

Учащиеся должны знать основные способы преобразования графиков функций;

• строить графики элементарных функций
• применять способы преобразования графиков функций
• применять возможности компьютерной программы Microsoft Office Excel для построения графиков функций и решения задач, связанных с построением графиков функций

Оборудование:

1. Персональные компьютеры на каждого ученика (при нехватке компьютеров учащиеся могут выполнять практические задания в парах).
2. Мультимедийный проектор.
3. Презентация «Основные способы преобразования графиков функций».

Ход урока

I. Организационный момент, проверка готовности к уроку

II. Актуализация знаний

Учитель сообщает учащимся тему и цель урока. Основная задача урока — закрепление навыков использования теоретических знаний, приобретённых учащимися по данной теме, при решении практических задач с помощью электронных таблиц.

Для актуализации знаний демонстрируется презентация «Основные способы преобразования графиков функций». Учащиеся с места комментируют слайды презентации.

III. Практическая часть (самостоятельная работа)

Учащиеся получают карточки-задания для практической работы (слайд 13 презентации).

Работа выполняется на компьютере с помощью программы Microsoft Office Excel. Каждому ученику необходимо построить не менее трёх графиков (на выбор или в соответствии с заданием на карточке, выданной учителем) так, чтобы на рисунке отражались все этапы построения графика (аналогично примерам, рассмотренным в презентации). На слайдах 14-20 презентации показаны графики, которые должны получиться у учащихся (конечный график выделен бирюзовым цветом).

Пример. Построить график функции у = 1/2 sin (3x) – 2.

Чтобы все этапы построения графика отображались на рисунке (для наглядности происходящих с функцией преобразований), ученик должен заполнить таблицу по следующему образцу:

А	B	C	D	E
1	х	у1	у2	у3	у4
2	-8	=SIN(A2)	=SIN(3*A2)	=0,5*C2	=D2-2

Интервал для значений х можно выбрать, например, от -8 до 8 с шагом 0,2.

Выполнив автозаполнение и выделив всю получившуюся таблицу, ученик создаёт диаграмму (тип диаграммы – точечная, со значениями соединенными сглаживающими линиями):

Рис. 1

На этом рисунке график исходной функции у = sin x изображён линией синего цвета, график функции у = 1/2 sin (3x) – 2 изображён линией бирюзового цвета.

Если кто-то из учеников быстрее других справится с заданием, он может построить ещё один график из предложенного списка или помочь кому-то из одноклассников.

IV. Демонстрация практических приложений полученных знаний, умений и навыков

Одним из важнейших моментов математического образования является его практическая направленность. Ученики должны понимать, как они могут использовать полученные знания, умения и навыки, какие практические задачи они смогут решить с их помощью.

На этом этапе урока ученики рассматривают некоторые возможности применения полученных знаний и умений по данной теме.

• Математическое моделирование

В качестве домашнего задания к уроку несколько учащихся класса должны были разработать электронные шаблоны построения графиков элементарных функций:

Рис. 2

При составлении электронной таблицы для выполнения данного задания необходимо воспользоваться абсолютной адресацией с указанием адресов тех ячеек, в которые будут вводиться значения входящих в формулу функции параметров. Таким образом, с помощью одного шаблона можно будет построить целое семейство графиков функций, а также проследить за преобразованиями, происходящими с функцией при изменении значения того или иного параметра.

Пример. Создать шаблон для построения графика функции y = а(х-m) 2 + b

Составляем таблицу, используя абсолютную адресацию:

А	B	C	D	E	F
1	x	y	y1	Значения параметров
2	-5	=A2^2	=$F$2*(A2-$F$3)^2+$F$4	a =
3	-4,8	=A3^2	=$F$2*(A3-$F$3)^2+$F$4	m =
4	-4,6	=A4^2	=$F$2*(A4-$F$3)^2+$F$4	b =

При значениях а = 3, m = 2, b = -3 получается диаграмма:

Рис. 3

где линией синего цвета показан график основной функции у = х 2 , а линией розового цвета график функции у = 3(х – 2) 2 – 3.

Ученики, выполнившие это задание дома, представляют с помощью мультимедийного проектора результаты своей работы. Набор электронных шаблонов, созданных учащимися, может быть оформлен в одну электронную книгу в качестве пособия по построению графиков функций, которое может пополнить школьную методическую копилку. (См. Приложение 1, листы 1-6)

• Использование графиков функций при решении некоторых задач

Ученики другой части класса в качестве домашнего задания к уроку готовили примеры, показывающие использование графиков функций при решении следующих задач:

• решение уравнений;
• решение систем уравнений;
• решение задач с параметром.

Задача 1. Решить уравнение 2х 2 — 23х + 65 = 0

Задача 2. Найти наименьший положительный корень уравнения

Рис. 4

Задача 3. Решить систему уравнений

Рис. 5

Задача 4. Сколько корней может иметь уравнение 2х 3 -3х 2 -12х = а при различных значениях параметра а?

Учащиеся, выполнявшие это задание, также демонстрируют классу результаты своей работы. (См. Приложение 2, листы1-4)

Источник