- Решение систем линейных уравнений матричными методами Выполнила : Донец Елизавета, ученица 10 В класса. Научный руководитель : Симакова М. Н., учитель. — презентация
- Похожие презентации
- Презентация 10 класса по предмету «Математика» на тему: «Решение систем линейных уравнений матричными методами Выполнила : Донец Елизавета, ученица 10 В класса. Научный руководитель : Симакова М. Н., учитель.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:
- Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы» — урок 13-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Оставьте свой комментарий
- Подарочные сертификаты
- Презентация по алгебре на тему «Решение систем линейных уравнений методом Крамера и обратной матрицы
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Оставьте свой комментарий
- Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
- Подарочные сертификаты
Решение систем линейных уравнений матричными методами Выполнила : Донец Елизавета, ученица 10 В класса. Научный руководитель : Симакова М. Н., учитель. — презентация
Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемИнна Шульц
Похожие презентации
Презентация 10 класса по предмету «Математика» на тему: «Решение систем линейных уравнений матричными методами Выполнила : Донец Елизавета, ученица 10 В класса. Научный руководитель : Симакова М. Н., учитель.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:
1 Решение систем линейных уравнений матричными методами Выполнила : Донец Елизавета, ученица 10 В класса. Научный руководитель : Симакова М. Н., учитель математики Симаков Е. Е., преподаватель спецкурса по информатике
2 Задачи: Рассмотреть понятие матрицы, области применения, основные действия над матрицами. Изучить способы решения систем линейных уравнений матричными методами. Применить изученные методы на практике для решения систем линейных алгебраических уравнений в программе MathCAD. Цель: Сравнение матричных методов решения с классическими методами, изучаемыми в школьном курсе и реализация решений в программе MathCAD.
3 Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая n строк одинаковой длины или n столбцов одинаковой длины. A m×n = (а ij ) i= — номер строки,j= — номер столбца Квадратная матрица Единичная матрица Нулевая матрица Треугольная матрица Матрица — вектор
4 Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью матричных вычислений a ij, i = — коэффициенты системы b i – свободные члены А · Х = В Х – вектор-столбец из неизвестных x j, В – вектор-столбец из свободных членов b i.
5 x 1 = с 1, x 2 = с 2 …, x n = с n Решение системы
6 Метод Гаусса k n, a ii 0, i = a ii — главные элементы системы
7 общее решение системы: х 2 = 5 х х 3 – 3; х 1 = 5 х х 3 – 1. Если предположить, например, х 3 = 0, х 4 = 0, то х 1 = -1, х 2 =-3, х 3 = 0, х 4 = 0. Метод Гаусса
Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера» title=»А · Х = В | А -1 A -1 · А · Х = В · А -1 А -1 · А = Е и Е · Х = Х => Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера» > 8 А · Х = В | А -1 A -1 · А · Х = В · А -1 А -1 · А = Е и Е · Х = Х => Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера»> Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера»> Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера» title=»А · Х = В | А -1 A -1 · А · Х = В · А -1 А -1 · А = Е и Е · Х = Х => Х = А -1 · В матричный способ решения системы. Формула Крамера»>
9 A 11 b 1 + A 21 b 2 + … + A n1 b n — разложение определителя Формула Крамера
10 Вывод Плюсы решения в MathCAD: от пользователя не требуется самому проводить преобразования ; программный код является универсальным, требующими только смены условия ; возможность экспортирования результатов в другие программы.
Источник
Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы» — урок 13-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.
Описание презентации по отдельным слайдам:
Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы ГБОУ СПО МО «ЛПТ» Преподаватель математики Осипова Людмила Евгеньевна Mila139139 @ yandex.ru Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 11 УРОК ТРИННАДЦАТЫЙ
Система линейных уравнений а11×1 + а12×2 + . + а1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ……………………………….. am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Числа а11 , а12 , . , а mn — это коэффициенты системы Числа b1, b2 ,…, bm – свободные члены системы Переменные х1, х2 ,…, хm — неизвестные, значения которых надо найти ( 1 )
Систему линейных уравнений очень удобно записывать в матричном виде АХ = В А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. 1 А = а11 а12 . a1n a21 a22 … a2n . am1 am2 … amn X = X1 X2 …. Xn B = b1 b2 …. bm ( 2 )
Вывод основной формулы 1) Предположим, что rang(A) = rang(A|B) = n, т.е. система имеет решение, причем единственное. основная матрица системы А – невырожденная, т.е. главный определитель Δ ≠ 0 . Для невырожденной матрицы А есть обратная А -1 2) Умножив уравнение на А и помня, что А А = Е определитель, которой Δ = 1: -1 -1 А Х = В Α -1 A ⋅ A⋅ X = A ⋅ B -1 -1 Е = 1 Χ = Α Β -1 ( 3 ) 2
Способ решения А Х = В ( 2 ) Х = А В ( 3 ) -1 Пусть дана система линейных алгебраических уравнений в матричном виде (2) с невырожденной квадратной матрицей А. Отсюда получаем решение системы (3), где А — обратная матрица -1 ( 4 ) А = -1 1 detА A11 A21 A31 ….A n1 A12 A22 A32…. An2 ………………….. An1 An2 An3 …. Ann
Рассмотрим пример 1 Задание. Найти решение системы с помощью обратной матрицы. Х1 + Х2 = 3 Х1 – Х2 = 1 Решение. 1) Запишем систему в матричном виде А = 1 1 1 -1 Х = Х1 Х2 В = 3 1 1 1 1 -1 = 3 1 Х1 Х2 — матричный вид системы А Х = В
А = -1 1 Δ A11 A21 A12 A22 2) Получаем решение системы где А — обратная матрица -1 Х = А В -1 где Δ — главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения 3) Вычислим обратную матрицу Δ = 1 1 1 -1 = -1-1 = -2 ≠ 0 А – невырожденная матрица А = -1 1 -2 -1 -1 -1 1 = 1 2 1 1 1 -1
Х = А В -1 3) Найдём решение системы Х = А В -1 = 1 2 1 1 1 -1 3 1 = 1 2 4 2 = 2 1 Ответ: Х1 = 2 ; Х2 = 1
Рассмотрим пример 2 Задание. Найти решение системы с помощью обратной матрицы. Решение. 1) Запишем систему в матричном виде А Х = В А = 1 2 -1 2 -1 1 1 1 2 Х = Х1 Х2 Х3 В = 4 1 5 1 2 -1 2 -1 1 1 1 2 Х = 4 1 5 2) Составим матричное уравнение
А = -1 1 Δ A11 A21 А31 A12 A22 А23 А13 А23 А33 3) Решим матричное уравнение где А — обратная матрица -1 Х = А В где Δ — главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения -1 4) Найдём главный определитель основной матрицы А Δ = 1 2 -1 2 -1 1 1 1 2 = -2 -2+2-1-1-8 = -12 ≠ 0 А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует
5) Найдём алгебраические дополнения для основной матрицы А 6) Вычислим обратную матрицу А -1 А = -1 1 -12 -3 -5 1 -3 3 -3 3 1 -5 = 1 12 3 5 -1 3 -3 3 -3 -1 5
7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является решением данной системы Х = А В -1 = 1 12 3 5 -1 3 -3 3 -3 -1 5 4 1 5 = 1 12 12+5-5 12-3+15 -12-1+25 12 24 12 = = 1 12 = 1 2 1 Х1 Х2 Х3 = Ответ: Х1 = 1 ; Х2 = 2 ; Х3 = 1
Рассмотрим пример 3 Задание. Найти решение системы с помощью обратной матрицы. Решение. 1) Запишем систему в матричном виде А Х = В А = 1 -3 4 1 -1 7 1 -2 1 Х = Х1 Х2 Х3 В = 6 7 2 Х = 2) Составим матричное уравнение 1 -3 4 1 -1 7 1 -2 1 6 7 2
А = -1 1 Δ A11 A21 А31 A12 A22 А23 А13 А23 А33 3) Решим матричное уравнение где А — обратная матрица -1 Х = А В где Δ — главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения 4) Найдём главный определитель основной матрицы А Δ = = 1∙13 + 1∙(-5) + 1∙(-17) = -9 ≠ 0 А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует 1 -3 4 1 -1 7 1 -2 1
5) Найдём алгебраические дополнения для основной матрицы А 6) Вычислим обратную матрицу А -1 А = -1 1 — 9 13 -5 -17 6 -3 -3 -1 -1 2 = 1 9 -13 5 17 -6 3 3 1 1 -2
7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является решением данной системы Х = А В -1 = 1 9 = 1 9 -78+35+34 -36+21+6 6+7-4 -9 -9 9 = = 1 9 = -1 -1 1 Х1 Х2 Х3 = Ответ: Х1 = -1 ; Х2 = -1 ; Х3 = 1 -13 5 17 -6 3 3 1 1 -2 6 7 2 ∙
Итак, для этого метода нужно: Найти и посчитать матрицу, обратную для основной матрицы системы (если она существует); умножить полученную матрицу на матрицу-столбец свободных членов полученная в результате умножения тоже матрица-столбец и есть решение системы.
Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. — 576с.: ил. – ( Высшее образование ) Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил. Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 821 человек из 76 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 290 человек из 69 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов
Номер материала: ДВ-524942
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
Правительство предложило потратить до 1 млрд рублей на установку флагов РФ у школ
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России
Время чтения: 1 минута
Шойгу предложил включить географию в число вступительных экзаменов в вузы
Время чтения: 1 минута
Спортивные и творческие кружки должны появиться в каждой школе до 2024 года
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Источник
Презентация по алгебре на тему «Решение систем линейных уравнений методом Крамера и обратной матрицы
Описание презентации по отдельным слайдам:
Реферат по алгебре и началам анализа Решение систем линейных уравнений методом Крамера и обратной матрицы.
Содержание: Определение матрицы Определители матрицы Способы нахождения определителя Свойства определителя Теорема Крамера Решение систем линейных уравнений методом Крамера Обратная матрица Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
Матрицы и определители. Определение 1. Матрицей размера (типа) тхп называется таблица чисел Величины aij, стоящие в строках и столбцах матрицы, называются элементами матрицы; это могут быть числа, переменные, функции и пр. При двух-индексном обозначении элементов aij первый индекс i указывает номер строки,а второй индекс j указывает номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Определение 2. Квадратной матрицей п-ого порядка называется матрица размера пхп: Например, квадратная матрица второго порядка имеет следующий вид
Определители матриц (Детерминанты) Способ нахождения № 1: Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле Определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Данная формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя матрицы по первому столбцу:
Пример 1. Определение 4. Число называется определителем третьего порядка, соответствующим матрице Пример 2. Решение:
Способ нахождения № 2 Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.
Свойства определителей. 1. Величина определителя не изменится, если его строки заменить столбцами с теми же номерами. Пример 3. 2. Если поменять местами в определителе какие-либо две строки (два столбца), то определитель изменит свой знак на противоположный Пример 4.
3. Если какая-либо строка (столбец) содержит общий множитель для всех ее (его) элементов, то этот множитель можно вынести за знак определителя. Пример 5. 4. Если какая-либо строка (столбец) определителя целиком состоит из нулей, то такой определитель равен нулю. Пример 6.
5. Определитель, содержащий две одинаковых строки (два одинаковых столбца), равен нулю. Пример 7. 6. Если элементы одной строки (одного столбца определителя) соответственно пропорциональны элементам другой строки (другого столбца) этого определителя, то такой определитель равен нулю Пример 8. (В этом определителе элементы третьей строки могут быть получены из элементов второй строки умножением на два.)
Решение систем двух и трёх линейных уравнений методом Крамера.
Решение: Ответ: (1;2).
Пусть дана система трех линейных уравнений: Обозначим (3)
Обратная матрица Решение систем двух и трёх линейных уравнений методом обратной матрицы. Обратная матрица для матрицы обозначается Таким образом, если существует, то . Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и где — алгебраические дополнения к элементам .
Пример 1. Найдите обратную матрицу для матрицы Решение. Находим определитель Так как то матрица — невырожденная, и обратная для нее существует Находим алгебраические дополнения:
Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй строке:
Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
А11= (-1)1+1 = 3 А12= (-1)1+2 = -6 А13= (-1)1+3 = 3 А21= (-1)2+1 = -4 А22= (-1)2+2 = 2 А23= (-1)2+3 = -1 А31= (-1)3+1 = 2 А32= (-1)3+2 = -1 А33= (-1)3+3 = -4 Найдём алгебраические дополнения Ответ: Х1=4, Х2=3, Х3=5.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 821 человек из 76 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 290 человек из 69 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-350787
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Пензенские родители смогут попасть в школы и детсады только по QR-коду
Время чтения: 1 минута
Попова предложила изменить школьную программу по биологии
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
Правительство предложило потратить до 1 млрд рублей на установку флагов РФ у школ
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Источник