Представление натурального числа различными способами

Натуральные числа

Содержание

Определение натуральных чисел [ править ]

Неформальное определение [ править ]

Определение:

Натура́льные чи́сла (англ. natural numbers, естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком [math]\mathbb[/math] . Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Формальное определение [ править ]

Определить множество натуральных чисел позволяют аксиомы Пеано (англ. Peano axioms):

Определение:

Множество [math]\mathbb N[/math] будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент [math] 1\in\mathbb N[/math] (единица) и функция [math]S\colon\mathbb N\to\mathbb N[/math] (функция следования) так, что выполнены следующие условия [math]1\in\mathbb[/math] ( [math]1[/math] является натуральным числом); Если [math]x\in\mathbb[/math] , то [math]S(x)\in\mathbb[/math] (Число, следующее за натуральным, также является натуральным); [math]\nexists x\in\mathbb\ (S(x) = 1)[/math] ( [math]1[/math] не следует ни за каким натуральным числом); Если [math]S(b)=a[/math] и [math]S(c)=a[/math] , тогда [math]b=c[/math] (если натуральное число [math]a[/math] непосредственно следует как за числом [math]b[/math] , так и за числом [math]c[/math] , то [math]b=c[/math] ); Аксиома индукции. Пусть [math]P(n)[/math] — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа [math]n[/math] . Тогда: если [math]P(1)[/math] и [math]\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))[/math] , то [math]\forall n\;P(n)[/math] (Если некоторое высказывание [math]P[/math] верно для [math]n=1[/math] (база индукции) и для любого [math]n[/math] при допущении, что верно [math]P(n)[/math] , верно и [math]P(n+1)[/math] (индукционное предположение), то [math]P(n)[/math] верно для любых натуральных [math]n[/math] ).

Теоретико-множественное определение [ править ]

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают [math]0, 1, 2, \dots.[/math]

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

Операции над натуральными числами [ править ]

Сложение [ править ]

Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел [math]a\ и\ b[/math] . Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:

Пусть [math]N(S)\ — [/math] мощность множества [math]S[/math] . Возьмём два не пересекающихся множества [math]A\[/math] и [math]B,\[/math] причём [math]N(A) = a[/math] и [math]N(B) = b[/math] . Тогда [math]a + b[/math] можно определить как: [math]N ( A ∪ B )[/math] .

Здесь, [math]A ∪ B\ — [/math] это объединение множеств [math]A\ и B\[/math] . В альтернативной версии этого определения множества [math]A\ и\ B[/math] перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.

Другое известное определение рекурсивно: Пусть [math]n+\ — [/math] следующее за [math]n[/math] натуральное число, например [math]0+ = 1, 1+ = 2.[/math] Пусть [math]a + 0 = a[/math] . Тогда общая сумма определяется рекурсивно: [math]a + (b+) = (a + b)+[/math] . Отсюда [math]1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2[/math] .

Умножение [ править ]

Воспользуемся определением натуральных чисел [math]\mathbb[/math] как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств [math]C,\A,\B\[/math] порождённых биекциями, с помощью скобок: [math][C], [A], [B].[/math] Тогда арифметическая операция умножение определяется следующим образом: [math][C] = [A] \cdot [B] = [A \times B];\[/math] где: [math]A \times B=<(a,\ b) \mid a \in A,\ b \in B>\[/math] прямое произведение множеств — множество [math]C,[/math] элементами которого являются упорядоченные пары [math](a,\ b)[/math] для всевозможных [math]a \in A,\ b \in B[/math] . Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Вычитание [ править ]

Воспользуемся определением натуральных чисел [math]\mathbb[/math] как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств [math]C , A , B[/math] порождённых биекциями, с помощью скобок: [math][C],\ [A],\ [B].[/math] Тогда арифметическая операция вычитание определяется следующим образом: [math][C] = [A] − [B] = [A \backslash B];\[/math] где [math]A \backslash B = \ < C \in A \mid C \notin B \mid B \subset A \>—\ [/math] разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Деление чисел с остатком [ править ]

Определение:

Если натуральное число [math]n\,[/math] не делится на натуральное число [math]m[/math] , т.е. не существует такого натурального числа [math]k[/math] , что [math]n = m \cdot k[/math] , то деление называется делением с остатком (англ. modulo operation).

Формула деления с остатком: [math]n = m \cdot k + r,[/math] где [math]n\,[/math] — делимое, [math]m\,[/math] — делитель, [math]k\,[/math] — частное, [math]r\,[/math] — остаток, причем [math]0\leqslant r \lt b [/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = 2 \cdot k + r[/math] , где остаток [math]r\, = 0\,[/math] или [math]r\, = 1\,[/math] Любое число можно представить в виде: [math]n = 4 \cdot k + r[/math] , где остаток [math]r\ = 0\,[/math] или [math]r\, = 1\,[/math] или [math]r\, = 2\,[/math] или [math]r\, = 3\,[/math] Любое число можно представить в виде: [math]n = m \cdot k + r[/math] , где остаток [math]r\,[/math] принимает значения от [math]0\,[/math] до [math](m-1)\,[/math]

Основная теорема арифметики [ править ]

Лемма Евклида [ править ]

Доказательство: [math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x\cdot y[/math] делится на [math]p[/math] , но [math]x[/math] не делится на [math]p[/math] . Тогда [math]x[/math] и [math]p[/math] — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа [math]u[/math] и [math]v[/math] , что

Умножая обе части на [math]y[/math] , получаем

[math](x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.[/math] Оба слагаемых левой части делятся на [math]p[/math] , значит, и правая часть делится на [math]p[/math] . [math]\triangleleft[/math]

Основная теорема арифметики [ править ]

Доказательство: [math]\triangleright[/math]

Существование. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если [math]n[/math] составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, [math]n[/math] тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть [math]p[/math] — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если [math]p[/math] входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на [math]p[/math] и получить два разных разложения числа [math]\dfrac

[/math] , что невозможно. А если [math]p[/math] не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на [math]p[/math] , а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству. [math]\triangleleft[/math]

Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел [ править ]

Индукция [ править ]

Формулировка принципа математической индукции:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math] И пусть первое утверждение [math]A_1[/math] верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_k[/math] следует верность [math]A_[/math] . Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой аксиомы индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.

Также существует принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math] . И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_1, A_2, A_3, \ldots, A_k[/math] следует верность [math]A_[/math] . Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Существование наименьшего элемента [ править ]

Аксиому индукции можно заменить на аксиому существования минимума, и доказать аксиому индукции как теорему.

Из этой теоремы вытекает следующее утверждение, эквивалентное аксиоме математической индукции, но иногда более удобное при проведении доказательств.

Источник

§1. Что такое натуральные числа?

1.1.Определение

Числа, применяемые людьми при счете, называются натуральными (например, один, два, три,…, сто, сто один,…, три тысячи двести двадцать один,…) Для записи натуральных чисел используют специальные знаки (символы), называемые цифрами.

В наше время принята десятичная система записи чисел. В десятичной системе (или способе) записи чисел используются арабские цифры. Это десять различных символов-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Наименьшее натуральное число – это число один, оно записывается при помощи десятичной цифры – 1. Следующее натуральное число получается из предыдущего (кроме единицы) добавлением 1 (единицы). Такое добавление можно делать много раз (бесконечное число раз). Это означает, что нет наибольшего натурального числа. Поэтому говорят, что ряд натуральных чисел неограничен или бесконечен, так как он не имеет конца. Натуральные числа записывают при помощи десятичных цифр.

1.2. Число «ноль»

Для обозначения отсутствия чего-либо используют число «ноль» или «нуль«. Его записывают при помощи цифры 0 (ноль). Например, в коробке все шары красные. Сколько среди них зеленых? – Ответ: ноль. Значит, зеленых шаров в коробке нет! Число 0 может означать, что что-то закончилось. Например, у Маши было 3 яблока. Двумя она поделилась с друзьями, одно съела сама. Значит, у неё осталось 0 (ноль) яблок, т.е. ни одного не осталось. Число 0 может означать, что что-то не случилось. Например, хоккейный матч Сборная России — Сборная Канады закончился со счетом 3:0 (читаем «три — ноль») в пользу сборной России. Значит, сборная России забила 3 гола, а сборная Канады 0 голов, не смогла забить ни одного гола. Надо помнить, что число ноль не является натуральным.

1.3. Запись натуральных чисел

В десятичном способе записи натурального числа каждая цифра может означать различные числа. Это зависит от места этой цифры в записи числа. Определённое место в записи натурального числа называется позицией. Поэтому десятичная система записи чисел называется позиционной. Рассмотрим десятичную запись 7777 числа семь тысяч семьсот семьдесят семь. В этой записи семь тысяч, семь сотен, семь десятков и семь единиц.

Каждое из мест (позиций) в десятичной записи числа называется разрядом. Каждые три разряда объединены в класс. Это объединение производится справа налево (с конца записи числа). Различные разряды и классы имеют собственные названия. Ряд натуральных чисел неограничен. Поэтому количество разрядов и классов также не ограничено (бесконечно). Рассмотрим названия разрядов и классов на примере числа с десятичной записью

38 001 102 987 000 128 425:

Классы и разряды

Итак, классы, начиная с младшего, имеют названия: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы.

1.4. Разрядные единицы

Каждый из классов в записи натуральных чисел состоит из трёх разрядов. Каждый разряд имеет разрядные единицы. Следующие числа называются разрядными единицами:

1 — разрядная единица разряда единиц,

10 — разрядная единица разряда десятков,

100 — разрядная единица разряда сотен,

1 000 — разрядная единица разряда тысяч,

10 000 — разрядная единица разряда десятков тысяч,

100 000 — разрядная единица разряда сотен тысяч,

1 000 000 — разрядная единица разряда миллионов, и т. д.

Цифра в каком-либо из разрядов показывает количество единиц данного разряда. Так, цифра 9, в разряде сотен миллиардов, означает, что в состав числа 38 001 102 987 000 128 425 входит девять миллиардов (т.е. 9 раз по 1 000 000 000 или 9 разрядных единиц разряда миллиардов). Пустой разряд сотен квинтиллионов означает, что в данном числе отсутствуют сотни квинтиллионов или их количество равно нулю. При этом число 38 001 102 987 000 128 425 можно записать так: 038 001 102 987 000 128 425.

Можно записать иначе: 000 038 001 102 987 000 128 425. Нули в начале числа указывают на пустые старшие разряды. Обычно их не пишут в отличие от нулей внутри десятичной записи, которыми обязательно отмечают пустые разряды. Так, три нуля в классе миллионов означает, что пусты разряды сотен миллионов, десятков миллионов и единиц миллионов.

1.5. Сокращения в записи чисел

При записи натуральных чисел используются сокращения. Приведём примеры:

1 000 = 1 тыс. (одна тысяча)

23 000 000 = 23 млн. (двадцать три миллиона)

5 000 000 000 = 5 млрд. (пять миллиардов)

203 000 000 000 000 = 203 трлн. (двести три триллиона)

107 000 000 000 000 000 = 107 квдр. (сто семь квадриллионов)

1 000 000 000 000 000 000 = 1 квнт. (один квинтиллион)

Блок 1.1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из §1. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите для каждого определения номер термина из списка.

Блок 1.2. Самоподготовка

В мире больших чисел

1. Бюджет России на следующий год составит: 6328251684128 рублей.
2. На этот год запланировано расходов: 5124983252134 рублей.
3. Доходы страны превысили расходы на 1203268431094 рублей.

Вопросы и задания

1. Прочитайте все три указанных числа
2. Запишите цифры в классе миллионов каждого из трех чисел

1. К какому разделу в каждом из чисел относится цифра, стоящая на седьмой позиции от конца записи чисел?
2. Число каких разрядных единиц показывает цифра 2 в записи первого числа. в записях второго и третьего числа?
3. Назовите разрядную единицу для восьмой позиции от конца в записи трех чисел.

География (длина)

1. Экваториальный радиус Земли: 6378245 м
2. Длина окружности экватора: 40075696 м
3. Наибольшая глубина мирового океана (Марианская впадина в Тихом океане) 11500 м

Вопросы и задания

1. Переведите все три величины в сантиметры и прочитайте полученные числа.
2. Для первого числа (в см) запишите цифры, стоящие разделах:

сотни тысяч _______

десятки миллионов _______

сотни миллионов _______

1. Для второго числа ( в см) запишите разрядные единицы, соответствующие цифрам 4, 7, 5, 9 в записи числа

1. Переведите третью величину в миллиметры, прочитайте полученное число.
2. Для всех позиций в записи третьего числа (в мм) укажите в таблице разряды и разрядные единицы:

География (площадь)

1. Площадь всей поверхности Земли составляет 510083 тысяч квадратных километров.
2. Площадь поверхности сумм на Земле составляет 148628 тысяч квадратных километров.
3. Площадь водной поверхности Земли составляет 361455 тысяч квадратных километров.

Вопросы и задания

1. Переведите все три величины в квадратные метры и прочитайте полученные числа.
2. Назовите классы и разряды, соответствующие отличным от нуля цифрам в записи этих чисел (в кв. м).
3. В записи третьего числа (в кв. м) назовите разрядные единицы, соответствующие цифрам 1, 3, 4, 6.
4. В двух записях второй величины (в кв. км. и кв. м) укажите, к каким разрядам относится цифра 2.
5. Запишите разрядные единицы для цифры 2 в записях второй величины.

Блок 1.3. Диалог с компьютером.

Известно, что большие числа часто используются в астрономии. Приведем примеры. Среднее расстояние Луны от Земли равно 384 тыс. км. Расстояние Земли от Солнца (среднее) составляет 149504 тыс. км, Земли от Марса 55 млн. км. На компьютере с помощью текстового редактора Word создайте таблицы так, чтобы каждая цифра в записи указанных чисел была в отдельной клеточке (ячейке). Для этого выполните команды на панели инструментов: таблица → добавить таблицу → число строк (с помощью курсора ставим «1») → число столбцов (посчитайте сами). Создайте таблицы и для других чисел (блока «Самоподготовка»).

Блок 1.4. Эстафета больших чисел

В первой строке таблицы записано большое число. Прочитайте его. Затем выполните задания: передвигая цифры в записи числа вправо или влево, получайте следующие числа и читайте их. (Нули в конце числа не передвигайте!). В классе эстафету можно проводить, передавая её друг другу.

Строка 2. Все цифры числа в первой строке переместите влево через две клетки. Цифры 5 замените следующей за ней цифрой. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.

Строка 3. Все цифры числа во второй строке переместите вправо через три клетки. Цифры 3 и 4 в записи числа замените следующими цифрами. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.

Строка 4. Все цифры числа в строке 3 переместите на одну клетку влево. Цифру 6 в классе триллионов замените на предыдущую, а в классе миллиардов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.

Строка 5. Все цифры числа в строке 4 переместите через одну клетку вправо. Цифру 7 в разряде «десятки тысяч» замените на предыдущую, а в разряде «десятки миллионов» на последующую. Прочитайте полученное число.

Строка 6. Все цифры числа в строке 5 переместите влево через 3 клетки. Цифру 8 в разряде сотен миллиардов замените на предыдущую, а цифру 6 в разряде сотен миллионов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Просчитайте полученное число.

Строка 7. Все цифры числа в строке 6 переместите вправо на одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах десятков квадриллионов и десятков миллиардов. Прочитайте полученное число.

Строка 8. Все цифры числа в строке 7 переместите влево через одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах квинтиллионов и квадриллионов. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.

Строка 9. Все цифры числа в строке 8 переместите вправо через три клетки. Поменяйте местами две стоящие рядом в числовом ряду цифры из классов миллионов и триллионов. Прочитайте полученное число.

Строка 10. Все цифры числа в строке 9 переместите на одну клетку вправо. Прочитайте полученное число. Выделите цифры, обозначающие год Московской олимпиады.

Блок 1.5. Давайте поиграем

Зажги огонек

Игровое поле — это рисунок новогодней ёлки. На ней 24 лампочки. Но подключены к электросети только 12 из них. Чтобы выбрать подключённые лампы, надо верно ответить на вопросы словами «Да» или «Нет». Эту же игру можно выполнить на компьютере верный ответ «зажигает» лампочку.

1. Верно ли, что цифры – это специальные знаки для записи натуральных чисел? (1 – да, 2 – нет)
2. Верно ли, что число 0 –это наименьшее натуральное число? (3 – да, 4 – нет)
3. Верно ли, что в позиционной системе счисления одна и та же цифра может обозначать различные числа? (5 – да, 6 – нет)
4. Верно ли, что определенное место в десятичной записи чисел называется разрядом? (7 – да, 8 – нет)
5. Дано число 543 384. Верно ли, что в нем число самых старших разрядных единиц равно 543, а самых младших 384? (9 – да, 10 – нет)
6. Верно ли, что в классе миллиардов самая старшая из разрядных единиц – это сто миллиардов, а самая младшая – один миллиард? (11 – да, 12 – нет)
7. Дано число 458 121. Верно ли, что сумма числа самых старших разрядных единиц и числа самых младших равна 5? (13 – да, 14 – нет)
8. Верно ли, что самая старшая из разрядных единиц класса триллионов в миллион раз больше самой старшей из разрядных единиц класса миллионов? (15 – да, 16 – нет)
9. Даны два числа 637 508 и 831. Верно ли, что самая старшая разрядная единица первого числа в 1000 раз больше самой старшей разрядной единицы второго числа? (17 – да, 18 – нет)
10. Дано число 432. Верно ли, что самая старшая разрядная единица этого числа в 2 раза больше самой младшей? (19 – да, 20 – нет)
11. Дано число 100 000 000. Верно ли, что в нем число разрядных единиц, составляющих 10 000, равно 1000? (21 – да, 22 – нет)
12. Верно ли, что перед классом триллионов находится класс квадриллионов, а перед этим классом – класс квинтиллионов? (23 – да, 24 – нет)

1.6. Из истории чисел

С древних времен человек сталкивался с необходимостью подсчитывать количество вещей, сравнивать количества объектов (например, пять яблок, семь стрел…; в племени 20 мужчин и тридцать женщин, …). Была также необходимость устанавливать порядок внутри некоторого количества объектов. Например, на охоте первым идет вождь племени, вторым самый сильный воин племени и т.д. Для этих целей использовались числа. Для них были придуманы специальные названия. В речи они называются числительными: один, два, три и т. д. – это количественные числительные, а первый, второй, третий — порядковые числительные. Записывались числа при помощи специальных знаков — цифр.

Со временем появились системы счисления. Это системы, включающие способы записи чисел и различных действий над ними. Самые древние из известных систем счисления – это египетская, вавилонская, римская системы счисления. На Руси в старину для написания цифр использовались буквы алфавита со специальным знаком

(титло). В настоящее время наибольшее распространение получила десятичная система счисления. Широко используются, особенно в компьютерном мире, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Итак, для записи одного и того же числа можно использовать различные знаки – цифры. Так, число четыреста двадцать пять можно записать египетскими цифрами – иероглифами:

Это египетский способ записи чисел. Это же число римскими цифрами: CDXXV (римский способ записи чисел) или десятичными цифрами 425 (десятичная система записи чисел). В двоичной системе записи оно выглядит так: 110101001 (двоичная или бинарная система записи чисел), а в восьмеричной — 651 (восьмеричная система записи чисел). В шестнадцатеричной системе счисления оно запишется: 1А9 (шестнадцатеричная система записи чисел). Можно поступить совсем просто: сделать, подобно Робинзону Крузо, четыреста двадцать пять зарубок (или штрихов) на деревянном столбе — IIIIIIIII…. IIII. Это самые первые изображения натуральных чисел.

Итак, в десятичной системе записи чисел (в десятичном способе записи чисел) используются арабские цифры. Это десять различных символов — цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В двоичной — две двоичные цифры: 0, 1; в восьмеричной — восемь восьмеричных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; в шестнадцатеричной — шестнадцать различных шестнадцатеричных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; в шестидесятеричной (вавилонской) — шестьдесят различных символов — цифр и т.д.)

Десятичные цифры пришли в страны Европы из стран Ближнего Востока, Арабских стран. Отсюда название — арабские цифры. Но к арабам они попали из Индии, где были изобретены примерно в середине первого тысячелетия.

1.7. Римская система счисления

Одна из древних систем счисления, которая используется в наши дни, — это римская система. Приведем в таблице основные цифры римской системы счисления и соответствующие числа десятичной системы.

Источник

Теорема (О существовании минимума):