Пределы видеоурок для студентов самый понятный способ для начинающих

Пределы видео уроки для студентов

Видео-лекции по высшей математике

читает д.ф.м.н. профессор СЗГЗТУ Потапенко Александр Алексеевич

Для просмотра видеороликов на компьютере должен быть установлен flash pleyer

• системы двух линейных уравнений (продолжение);
• миноры и алгебраические дополнения;
• вычисление определителя 3-го порядка.

• миноры и алгебраические дополнения;
• транспонированная матрица;
• свойства определителя n-го порядка;
• решение систем трех линейных уравнений;
• формулы Крамера;
• прямоугольные матрицы;
• однострочные и одностолбцовые матрицы;
• нулевая, единичная и диагональная матрицы;
• сложение и умножение матриц.

• обратная матрица и матричный метод решения систем линейных уравнений (окончание);
• определение вектора, длина вектора, свободные вектора;
• коллинеарные и компланарные вектора;
• правая и левая тройка векторов;
• проекция вектора и сложение векторов;
• базис на плоскости и в пространстве;
• координаты векторов в данном базисе.

• координаты суммы и разности векторов;
• произведение вектора на число;
• скалярное произведение векторов и его свойства;
• векторное произведение и его свойства.

• вычисление векторного произведения через координаты векторов;
• вычисление площади треугольника;
• определение и свойства смешанного произведения векторов;
• объем параллелепипеда и треугольной пирамиды.

• общее уравнение прямой на плоскости;
• общее уравнение плоскости в пространстве;
• нормальный вектор плоскости;
• общее уравнение прямой в пространстве;
• уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом;
• уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении;
• каноническое уравнение прямой на плоскости;
• параметрическое уравнение прямой;
• уравнение прямой проходящей через две данные точки;
• уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору;
• уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам;
• уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

• векторно-параметрическое уравнение;
• каноническое уравнение;
• уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Линии второго порядка на плоскости

• уравнение эллипса и его свойства;
• полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса;
• уравнение гиперболы и ее свойства;
• вершины, асимптоты, эксцентриситет и фокусы гиперболы.

• уравнение параболы и ее свойства;
• фокус, директриса, эксцентриситет параболы.

Поверхности второго порядка

• определение и уравнение эллипсоида;
• полуоси и вершины эллипсоида;
• чертеж эллипсоида;
• сфера — частный случай эллипсоида;
• уравнение однополостного гиперболоида;
• чертеж однополостного гиперболоида;
• уравнение двухполостного гиперболоида;
• чертеж двухполостного гиперболоида;
• уравнение конуса второго порядка;
• чертеж конуса второго порядка;
• уравнение эллиптического параболоида;
• чертеж эллиптического параболоида;
• уравнение гиперболического параболоида;
• чертеж гиперболического параболоида.

• эпсилон окрестность точки;
• левая и правая зпсилон окрестность точки;
• понятие функции;
• область определения функции;
• сложная функция;
• числовая последовательность;
• предел числовой последовательности;
• предел функции;
• левосторонний и правосторонний пределы функции;
• бесконечно малая и бесконечно большая функция;
• свойства пределов функции;
• непрерывность функции;
• свойства непрерывных функций;
• примеры вычисления пределов.

• эквивалентные бесконечно малые величины;
• примеры вычисления пределов с помощью бесконечно малых величин;
• точки разрыва функции;
• устранимые и неустранимые точки разрыва;
• точки разрыва I и II рода;
• пример исследования функции на наличие точек разрыва;
• определение производной.

• геометрический смысл производной;
• уравнение касательной к плоской кривой;
• правила дифференцирования;
• таблица производных;
• примеры вычисления производных;
• дифференциал функции;
• производные высшего порядка;
• производная функций, заданных параметрически.

• определение первообразной;
• определение неопределенного интеграла;
• равенство с точностью до произвольной постоянной;
• теорема существования неопределенного интеграла;
• свойства неопределенного интеграла.

• непосредственное интегрирование;
• примеры вычисления интегралов:
• интегрирование тригонометрических выражений.

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Доверь свою работу кандидату наук!

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Пределы видео уроки для студентов

• Урок 1. Определители
• Урок 2. Операции над матрицами
• Урок 3. Ранг матрицы
• Урок 4. Обратная матрица. Матричные уравнения
• Урок 5. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера
• Урок 6. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы
• Урок 7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса
• Урок 8. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальные решения
• Контрольная работа

• Урок 1. Комплексные числа. Определения. Геометрические изображения комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел
• Урок 2. Действия над комплексными числами. Теория
• Урок 3. Действия над комплексными числами. Практика
• Урок 4. Уравнения в комплексных числах
• Контрольная работа

• Урок 1. Последовательность
• Урок 2. Предел последовательности
• Урок 3. Функции и их свойства
• Урок 4. Предел функции
• Урок 5. Первый замечательный предел
• Урок 6. Второй замечательный предел
• Урок 7. Непрерывность и точки разрыва функции
• Контрольная работа

• Урок 1. Производная. Определение. Правила вычисления производных. Таблица производных элементарных функций
• Урок 2. Производная сложной функции
• Урок 3. Производная функции, заданной параметрически
• Урок 4. Производная неявной функции
• Урок 5. Производные высших порядков
• Урок 6. Дифференциал
• Урок 7. Касательная и нормаль
• Урок 8. Правило Лопиталя
• Урок 9. Формула Тейлора
• Контрольная работа

• Урок 1. Общая схема исследования функции. Возрастание/убывание. Экстремумы. Выпуклость/вогнутость/точки перегиба. Асимптоты
• Урок 2. Степенные функции и многочлены
• Урок 3. Дробно-рациональные функции
• Урок 4. Иррациональные функции
• Урок 5. Тригонометрические функции
• Урок 6. Показательные функции
• Урок 7. Логарифмические функци
• Контрольная работа

• Урок 1. Табличное интегрирование
• Урок 2. Интегрирование заменой переменной
• Урок 3. Интегрирование по частям
• Урок 4. Интегралы содержащие квадратный трехчлен
• Урок 5. Интегрирование рациональных функций
• Урок 6. Интегрирование иррациональных функций
• Урок 7. Интегрирование тригонометрических функций
• Урок 8. Смешанные примеры на интегрирование
• Контрольная работа

• Координаты на прямой и на плоскости
• Расстояние
• Уравнение прямой
• Окружность
• Эллипс
• Гипербола
• Парабола

• Координаты в пространстве
• Расстояние
• Уравнение прямой
• Уравнение плоскости
• Поверхности второго порядка

• Векторы
• Действия над векторами
• Линейная независимость
• Разложение векторов
• Скалярное произведение
• Векторное произведение
• Смешанное произведение

Высшая математика состоит из большого количества разделов, и пробелы в любом из них несут проблемы в остальных. Поэтому времени «на раскачку» нет, надо сразу включаться в работу и закрывать возникающие вопросы. В первую очередь высшая математика — это умение решать задачи. По своему опыту могу сказать, что любому студенту, владеющему базовыми школьными знаниями математики на должном уровне, по силам освоить и высшую.

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

а) $$ lim limits_ frac = infty $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Внимание «чайникам» 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется 🙂

Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac bigg ] $

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела.

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её 🙂

Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac bigg ] $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем.

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем.

Алгоритм вычисления лимитов

1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
2. Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
3. Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Пределы видео уроки для студентов

• Урок 1. Определители
• Урок 2. Операции над матрицами
• Урок 3. Ранг матрицы
• Урок 4. Обратная матрица. Матричные уравнения
• Урок 5. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера
• Урок 6. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы
• Урок 7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса
• Урок 8. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальные решения
• Контрольная работа

• Урок 1. Комплексные числа. Определения. Геометрические изображения комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел
• Урок 2. Действия над комплексными числами. Теория
• Урок 3. Действия над комплексными числами. Практика
• Урок 4. Уравнения в комплексных числах
• Контрольная работа

• Урок 1. Последовательность
• Урок 2. Предел последовательности
• Урок 3. Функции и их свойства
• Урок 4. Предел функции
• Урок 5. Первый замечательный предел
• Урок 6. Второй замечательный предел
• Урок 7. Непрерывность и точки разрыва функции
• Контрольная работа

• Урок 1. Производная. Определение. Правила вычисления производных. Таблица производных элементарных функций
• Урок 2. Производная сложной функции
• Урок 3. Производная функции, заданной параметрически
• Урок 4. Производная неявной функции
• Урок 5. Производные высших порядков
• Урок 6. Дифференциал
• Урок 7. Касательная и нормаль
• Урок 8. Правило Лопиталя
• Урок 9. Формула Тейлора
• Контрольная работа

• Урок 1. Общая схема исследования функции. Возрастание/убывание. Экстремумы. Выпуклость/вогнутость/точки перегиба. Асимптоты
• Урок 2. Степенные функции и многочлены
• Урок 3. Дробно-рациональные функции
• Урок 4. Иррациональные функции
• Урок 5. Тригонометрические функции
• Урок 6. Показательные функции
• Урок 7. Логарифмические функци
• Контрольная работа

• Урок 1. Табличное интегрирование
• Урок 2. Интегрирование заменой переменной
• Урок 3. Интегрирование по частям
• Урок 4. Интегралы содержащие квадратный трехчлен
• Урок 5. Интегрирование рациональных функций
• Урок 6. Интегрирование иррациональных функций
• Урок 7. Интегрирование тригонометрических функций
• Урок 8. Смешанные примеры на интегрирование
• Контрольная работа

• Координаты на прямой и на плоскости
• Расстояние
• Уравнение прямой
• Окружность
• Эллипс
• Гипербола
• Парабола

• Координаты в пространстве
• Расстояние
• Уравнение прямой
• Уравнение плоскости
• Поверхности второго порядка

• Векторы
• Действия над векторами
• Линейная независимость
• Разложение векторов
• Скалярное произведение
• Векторное произведение
• Смешанное произведение

Высшая математика состоит из большого количества разделов, и пробелы в любом из них несут проблемы в остальных. Поэтому времени «на раскачку» нет, надо сразу включаться в работу и закрывать возникающие вопросы. В первую очередь высшая математика — это умение решать задачи. По своему опыту могу сказать, что любому студенту, владеющему базовыми школьными знаниями математики на должном уровне, по силам освоить и высшую.

Источник