Правило способ группировки 7 класс

Способ группировки

Кроме вынесения общего множителя за скобки существует еще один способ разложения многочлена на множители — способ группировки.

Этот способ разложения на множители считается более сложным, поэтому перед его изучением, убедитесь, что вы уверенно выносите общий множитель за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее.

1. Подчеркнуть повторяющиеся буквы и записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.
2. Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
3. Вынести полученный общий многочлен за скобки.

Рассмотрим пример разложения многочлена на множители способом группировки.

Подчеркнем повторяющиеся буквенные множители в одночленах.

Примеры способа группировки

Группировать одночлены можно по-разному. При правильной группировке должен появиться общий многочлен .

Рассмотрим пример. Требуется разложить многочлен на множители, используя способ группировки.

Первый способ

Обратим внимание, что в двух одночленах повторяется « y 2 » и « z 2 ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены и запишем их друг за другом. Затем вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48x z 2 + 32x y 2 − 15 z 2 − 10 y 2 = 48x z 2 − 15 z 2 + 32x y 2 − 10 y 2 = 3z 2 (16x − 5) + 2y 2 (16x − 5) =
= (16x − 5)(3z 2 + 2y 2 )

Второй способ

Запишем пример еще раз. Теперь обратим внимание, что в первых двух одночленах повторяется « x ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены. Вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48 x z 2 + 32 x y 2 − 15z 2 − 10y 2 = 16x(3z 2 + 2y 2 ) − 5(3z 2 + 2y 2 ) = (3z 2 + 2y 2 )(16x − 5)

В итоге получился такой же ответ, как и при первом способе.

Рассмотрим еще один пример разложения многочлена способом группировки.

4q(p − 1) + p − 1 = 4q(p − 1) + (p − 1) = 4q(p − 1) + 1 · (p − 1) = (p − 1)(4q + 1)
В этом примере следует отметить, что для вынесения общего многочлена мы добавили умножение на 1 к многочлену (p − 1) , что не изменяет результат умножения.
Это помогает понять, что останется во второй скобке после вынесения общего многочлена.

Смена знаков в скобках

Иногда для вынесения общего многочлена требуется сменить все знаки одночленов в скобках на противоположные.

Для этого за скобки выносится знак « − », а в скобках у всех одночленов меняются знаки на противоположные.

2ab 2 − 3x + 1 = −( − 2ab 2 + 3x − 1)

Рассмотрим пример способа группировки, где для вынесения общего многочлена, нам потрубуется выполнить смену знаков в скобках.

• 2m(m − n) + n − m = − 2m( − m + n) + (n − m) = −2m(n − m) + 1 · (n − m) =
  = (n − m)(−2m + 1)

Источник

Разложение многочлена способом группировки

О чем эта статья:

Основные понятия

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей.

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые подчеркнуты на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Формулы сокращенного умножения.
3. Метод группировки.
4. Выделение полного квадрата.
5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

1. Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
2. Вынести общий множитель за скобки.
3. Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И ее всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd)

Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.

Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.

Получим: p(u — b) + d(u — b).

Заметим, что общий множитель (u — b).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd)

Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.

Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.

Получим: u(p + d) — b(p + d).

Заметим, что общий множитель (p + d).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

1. Найдем общий множитель: (m — n)
2. Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d).

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b.

1. Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (ax 2 — bx 2 ) + (bx — ax) + (a — b) = x 2 (a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

1. Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x 2 (a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x 2 + x + 1)

Ответ: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (a — b)(x 2 + x + 1)

Источник

Конспект урока «Способ группировки» 7 класс

Учитель: Самигуллина З. Р.

Тема: Разложение многочлена на множители. Метод группировки.

1) выработать у учащихся умения выполнять разложение многочленов на множители способом группировки,

2) выработать у учащихся умения применять полученные знания для рационализации вычислений, решения уравнений, доказательства тождеств.

1) формирование алгоритмического мышления;

2) формирование у учащихся навыков умственного труда — планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическую оценку результатов;

1) эстетическое воспитание учащихся;

2) формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры.

Тип урока: изучение нового материала, проблемный.

Методы обучения: проблемный, частично-поисковый.

Форма организации учебной деятельности : групповая, фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: персональный компьютер, мультимедийный проектор, экран, Презентация Power Point (Приложение 1) .

Актуализация знаний. Проверка домашнего задания.

Мотивация. Постановка учебной задачи.

Изучение нового материала.

Закрепление изученного материала.

Организация класса. Здравствуйте! Присаживайтесь. Как ваши дела? Как настроение? Рада видеть вас на уроке. Надеюсь, вы готовы к получению новых знаний? Итак, давайте начнем.

Актуализация знаний. Проверка домашнего задания.

Чтобы проверить, как вы усвоили прошлую тему и выполнили домашнее задание, я предлагаю вам ответить на несколько вопросов.. (слайд__)

Что значит разложить многочлен на множители ? (Представить в виде произведения)

Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?(вынесение общего множителя за скобки)

Сформулируйте алгоритм разложения многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки . Что необходимо сделать, чтобы многочлен представить в виде произвдения?

Молодцы! А теперь посмотрим на экран и устно решим примеры. (слайд__)

Вынесите за скобки общий множитель:

Молодцы! Вспомнили алгоритм, и правильно его применили.

Я вам раздам небольшие листочки. Подпишите их, и сделаем небольшой письменный тест. Можете сразу, не записывая пример, писать ответы. Первый вариант выполняет задания в левом столбце. Второй вариант выполняет задания в правом столбце.

15х + 10 y ; 9 n + 6 m ;

a 2 – ab ; b ² — ab ;

n (7- m ) + k (7– m ); b ( a +5) – c ( a +5);

8 m 2 n – 4 mn 3 ; 20 x ³ y ² + 4 x ² y ³;

a ( b — c )+3( c — b ). 6( m — n )+ s ( n — m ).

Делаем проверку. За 5 правильных примеров ставим оценку «5», за 4 – «4», и за 3 – «3». Все ли довольны своими оценками? Поняли ли вы свои ошибки, необходимо ли разобрать примеры еще раз?

Мотивация. Постановка учебной задачи. (слайд__)

А теперь, я предлагаю вам решить несколько уравнений. Кто объяснит, как нужно решить первое уравнение? Умеем ли мы решать такие?

3) x 2 + 3x + 6 + 2x = 0.

(В первом уравнении приравниваем каждый множитель к нулю, и решаем два линейных уравнения).

(Для решения второго уравнения необходимо разложить на множители многочлен. Для этого общий множитель выносим на скобки. И решаем по аналогии с первым уравнением).

С решением третьего уравнения у нас появились трудности. Задача знакома на первый взгляд, но не решается. Мы знаем, что удобно решать уравнение, в правой части которого 0, раскладывая его левую часть на множители.

— Есть ли общий множитель у всех слагаемых? (Нет)

— Значит, этот способ разложения на множители нам не подходит? (Да)

— Как вы думаете чему мы должны сегодня научиться?

Постановка учебной задачи: Мы должны научиться раскладывать многочлен на множители другим способом.

Изучение нового материала. (слайд__)

Давайте пристально посмотрим на левую часть уравнения. Что-нибудь вы видите?

Я предлагаю объединить в группы по 2 слагаемых. Иначе говоря — сгруппировать:

(x 2 + 3x) + (6 + 2x) = 0; (применяем сочетательный закон сложения)

Теперь у одночленов в скобках появились общие множители. В первой скобке это Х. его мы можем вынести за скобки, т.е. разложить на множители первую сумму. То же самое делаем со второй скобкой. Тут уже выносим за скобки 2. в итоге, мы получаем сумму одночленов, которые имеют общий множитель (х+3).

Т.к. в скобках стоит знак +, то мы можем поменять местами х и 3. данный множитель, мы также выносим за скобки.

Что мы получили? (Произведение).

Значит, каким способом мы многочлен представили в виде произведения? (Объединяя слагаемые в группы)

Поэтому этот способ называется способом группировки.

Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Сформулируем алгоритм: Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

1) выполнить группировку слагаемых, имеющих общий множитель;

2) отдельно в каждой группе найти общий множитель и вынести его за скобки;

3) в получившемся выражении найти общий множитель и вынести его за скобки.

Закрепление изученного материала .

Рассмотрим пример (слайд__), в котром н еобходимо разложить на множители многочлен:

Первый способ группировки:

xy -6+3х-2 y =( xy -6)+(3 x -2 y ). Объединяем в группу первые два члена и третий и четвертый члены многочлена. Есть ли в каждой скобке общий множитель? нет. значит наша группировка неудачна.

Второй способ группировки:

Объединяем первый и третий член, второй и четвертый. Есть ли у них общие множители? Выносим за скобки. Продолжаем раскладывать.

Третий способ группировки:

Объединяем первый и четвертый члены, второй и третий. Выносим за скобки общие множители. Раскладываем на множители.

= y ( x -2)+3( x -2)=( x -2)( y +3). Группировка также выбрана удачно, мы получаем ответ. Давайте сравним ответ второго и третьего способов.

Ответ: xy -6+3х-2 y =( x -2)( y +3).

Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной.

Если группировка оказалась неудачной, откажитесь от нее и ищите иной способ .

Рассмотрим еще несколько примеров на разложение множители, применяя метод группировки (слайд__) Для этого я предлагаю в парах разложить на множители примеры несколькими способами. Первый ряд выполняет первый пример. Второй ряд – второй, и третий ряд – третий пример.

а b — 8а – b х + 8х;

x 2 m — x 2 n + y 2 m — y 2 n.

А теперь, на тех же листочках, каждому предлагаю выбрать один из трех групп заданий.

А. Задания легкого уровня.

1) 7а — 7в + аn – bn

2) xy + 2 y + 2 x + 4

3) y 2 a — y 2 b + x 2 a — x 2 b

Б. Задания среднего уровня

1) xy + 2y — 2x — 4

2) 2сх – су – 6х + 3у

3) х 2 + xy + xy 2 + y 3

С. Задания сложного уровня

1) x 4 + x 3 y — xy 3 — y 4

2) ху 2 – ву 2 – ах + ав + у 2 — а

Выполняете задания и сдаете мне. Я их проверю, и на следующем уроке, по вашему желанию, выставлю оценки. Также разберем все ошибки и недочеты.

Домашнее задание (слайд__): №______________ Посмотрите, все ли понятно по домашнему заданию. У кого есть вопросы?

Итог урока (слайд__). Подведем итоги урока.

а) С каким новым способом разложения многочлена на множители вы познакомились сегодня?

б) В чем он заключается?

в) К каким многочленам обычно применяют способ группировки?

8. Рефлексия (слайд__)

Я предлагаю вам ответить на вопросы:

Комфортно ли вам было на уроке?

Поняли ли вы материал урока?

С какими трудностями столкнулись?

Требовалась ли вам помощь:

в) соседа по парте?

Что необходимо повторить для успешной работы на следующем уроке?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 807 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 284 человека из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 603 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-899071

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В России выбрали топ-10 вузов по работе со СМИ и контентом

Время чтения: 3 минуты

Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам

Время чтения: 2 минуты

В проекте КоАП отказались от штрафов для школ

Время чтения: 2 минуты

В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник