Правило интегрирования способом подстановки

Лекция 2. Замена переменной и и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Сайт:	Навчальний сайт ХНАДУ
Курс:	Вища Математика (2 семестр) Вишневецький А.Л.
Книга:	Лекция 2. Замена переменной и и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Надруковано:	Гість
Дата:	п’ятниця 19 листопад 2021 13:32

Зміст

Тема 1. Неопределенный интеграл, его свойства

1. Первообразная

Пусть f ( x ) – данная функция.

Определение . Функция F ( x ) называется первообразной для f ( x ) , если

Примеры . x 2 – первообразная для 2 x , т.к. ( x 2 )’ = 2 x . Впрочем, x 2 + 1 и x 2 — 5 – тоже первообразные для 2 x , т.к. ( x 2 + 1)’ = 2 x и ( x 2 — 5)’ = 2 x .

Теорема 1. Если F ( x ) – первообразная для f ( x ) , то

1) F ( x ) + С – тоже первообразная для f ( x ) .

2) Любая первообразная для f ( x ) имеет вид F ( x ) + С для некоторого С.

2. Неопределенный интеграл

Определение . Множество всех первообразных функции f ( x ) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается так:

Здесь f ( x) dx – подынтегральное выражение, f ( x ) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.

Если функция непрерывна на некотором отрезке, то на этом отрезке существует её неопределенный интеграл.

Операции нахождения дифференциала и неопределенного интеграла – взаимно обратные:

3. Свойства неопределенного интеграла

Формул «интеграл от произведения» и «интеграл от частного» функций нет.

4. Таблица первообразных

Таблица проверяется с помощью (1). Формулы № 10, 12, 14 есть обобщение формул № 9, 11, 13. В формулах № 10, 12, 14, 15 a ≠ 0 .

Полная запись формулы №1:

Тема 2. Основные методы интегрирования

5. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)

Суть метода: путем введения новой переменной интегрирования (т.е. подста­новки) свести данный интеграл к более простому (желательно – к табличному).

Начнем с формулы замены. Надо найти интеграл

Сделаем подстановку φ(t) = x , где φ(t) — функция, имеющая непрерывную производную. По определению дифференциала, dx = φ'(t)dt . Подставляем в (1):

– формула замены переменной в неопределенном интеграле. После ее примене­ния и вычисления полученного интеграла нужно вернуться к исходной перемен­ной. Формулу (2) применяют как «слева направо», так и «справа налево». Общих методов подбора подстановок не существует.

6. Интегрирование по частям

Теорема . Если функции u = u(x) , ν = ν (x) имеют непрерывные производные, то

Док-во . Интегрируя равенство d(uv) = udv + vdu , получим uv = ∫ udv — ∫ vdu , т.е. (5)

Формула (5) сводит нахождение ∫ udv к нахождению ∫ vdu , поэтому ее приме­няют тогда, когда последний интеграл не сложнее первого. Для применения этой формулы подынтегральное выражение представляют как произведение двух сомножителей, один из которых обозначают u , другой dv . Затем u дифференцируют (находят du ), а dv интегрируют (находят v ).

Укажем способ выбора u и dv в двух типичных случаях. Пусть P(x) – многочлен.

Формулу (5) можно применять повторно. Например, в случае а) это делают n раз, где n – степень многочлена P(x) .

7. Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшие рациональные дроби – это дроби:

1 рода: ( k N ) и 2 рода: (дискриминант знаменателя D n = 1 так:

• Заменить

• Разложить интеграл в сумму вида

К первому интегралу применить формулу (4), а второй – табличный (арктангенс).

Источник

Методы решения неопределенных интегралов

1. Метод непосредственного интегрирования

Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования. С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

Задание. Найти интеграл $\int 2^ <3 x-1>d x$

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.

$\int 2^ <3 x-1>d x=\int 2^ <3 x>\cdot 2^ <-1>d x=\frac<1> <2>\int\left(2^<3>\right)^ d x=$

Ответ. $\int 2^ <3 x-1>d x=\frac<8^><2 \ln 8>+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

2. Внесение под знак дифференциала

В формуле неопределенного интеграла величина $d x$ означает, что берется дифференциал от переменной $x$. Можно использовать некоторые свойства дифференциала, чтобы, усложнив выражение под знаком дифференциала, тем самым упростить нахождение самого интеграла. Для этого используется формула

Если нужная функция $y(x)$ отсутствует, иногда ее можно образовать путем алгебраических преобразований.

Методы решения неопределенных интегралов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Внесением под дифференциал найти неопределенный интеграл $\int \cos (2 x) d x$

Решение. Внесем 2$x$ под знак дифференциала, тем самым приведя исходный интеграл к табличному.

$\int \cos (2 x) d x=\int \cos (2 x) \cdot \frac<1> <2>\cdot 2 \cdot d x=\int \cos (2 x) \cdot \frac<1> <2>\cdot d(2 x)=$

$=\frac<1> <2>\int \cos (2 x) d(2 x)=\frac<1> <2>\int d(\sin 2 x)=\frac<1> <2>\sin 2 x+C$

Ответ. $\int \cos (2 x) d x=\frac<1> <2>\sin 2 x+C$

В общем виде справедливо равенство:

$\int f(y(x)) \cdot y^<\prime>(x) d x=\int f(y(x)) d(y(x))$

Задание. Найти интеграл $\int \frac<3-5 x>$

Решение. Внесем $3-5 x$ под знак дифференциала, тем самым приведя исходный интеграл к табличному.

Ответ. $\int \frac<3-5 x>=-\frac<1> <5>\ln |3-5 x|+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

3. Интегрирование заменой переменной

Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть $x=\phi(t)$, где функция $\phi(t)$ имеет непрерывную производную $\phi^<\prime>(t)$, а между переменными $x$ и $t$ существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство

$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^<\prime>(t) \cdot d t$

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

Задание. Найти интеграл $\int \frac<3-5 x>$

Решение. Заменим знаменатель на переменную $t$ и приведем исходный интеграл к табличному.

Ответ. $\int \frac<3-5 x>=-\frac<1> <5>\ln |3-5 x|+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

4. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

$\int u d v=u v-\int v d u$

При нахождении функции $v$ по ее дифференциалу $d v$ можно брать любое значение постоянной интегрирования $C$, так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать $C=0$ .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Задание. Найти интеграл $\int x \cos x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$$\int x \cos x d x\left\|\begin u=x & v=\sin x \\ d u=d x & d v=\cos x d x \end\right\|=x \sin x-\int \sin x d x=$$

Ответ. $\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

Источник

MT1205: Математический анализ для экономистов

Метод замены переменной

В предыдущих примерах при нахождении неопределенного интеграла использовалась подстановка вида %%u(x) = t%%. Рассмотрим теперь метод интегрирования заменой переменной, т.е. метод, основанный на замене вида %%x = \varphi(t)%%.

Пусть функция %%x = \varphi(t)%% непрерывна и дифференцируема в промежутке %%T%%, тогда метод замены переменной описывается следующей формулой: $$ \int f(x) \mathrmx = \int f\big(\varphi(t)\big)\varphi'(t) \mathrmt. $$

Данная формула показывает, что, переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену в подынтегральном выражении.

Примеры

Примем %%t = 1 — 2x%%, тогда %%x = \frac<1-t><2>%%, $$ \mathrmx = \mathrm\left(\frac<1 - t><2>\right) = -\frac<\mathrmt><2>, $$ тогда $$ \int \frac<\mathrmx> <1 - 2x>= \int \frac<-\mathrmt/2> = -\frac<1> <2>\int\frac<\mathrmt> = -\frac<1> <2>\ln |t| + C = -\frac<1> <2>\ln|1 — 2x| + C. $$

Найти %%\displaystyle\int \frac \mathrmx%%.

Примем %%t = x + 2%%. Тогда %%\mathrmt = \mathrm(x+2) = \mathrmx%%. Ток как %%x = t — 2%%, то $$ \begin \int\frac = \int\frac<(t-2)^2 + 1>\mathrmt = \\ = \int\frac = \int\left(t — 4 + \frac<5>\right)\mathrmt = \\ = \int t

\mathrmt — 4\int \mathrmt + 5\int \frac<\mathrmt> = \\ = \frac <2>— 4t + 5 \ln|t| + C = \\ = \frac<(x +2)^2> <2>— 4(x+2) + 5 \ln|x+2| + C. \end $$

Метод интегрирования подстановкой

При интегрировании подведением под знак дифференциала используют инвариатность неопределенного интеграла и предполагают, что первообразная %%F(t)%% сложной функции функции %%f(t), t = u(x)%% известна. Однако часто подведение под знак дифференциала является лишь первым, подготовительным этапом перехода от исходной подынтегральной функции %%g(x) = f\big(u(x)\big)%% к более простой подынтегральной функции %%f(t)%%. В этом случае $$ \int g(x) \mathrmx = \int f\big(u(x)\big) \mathrmu(x) = \int f(t) \mathrmt. $$

Таким образом, чтобы найти неопределенный интеграл в левой части, %%g(x)%% представляют в виде произведения %%f\big(u(x)\big) u'(x)%%, и подводят %%u'(x)%% под знак дифференциала, обозначают %%u(x)%% через %%t%% и, подставляя в подынтегральное выражение %%t%%вместо %%u(x)%%, находят неопределенный интеграл от более простой функции %%f(t)%%. Затем, полагая, что %%t = u(x)%%, возвращаются к первоначальному аргументу %%x%%. Такую процедуру называют интегрированием подстановкой.

Источник

Интегрирование: метод замены переменного, метод подстановки, интегрирование по частям

Вы будете перенаправлены на Автор24

Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.

Определение 2 можно записать следующим образом:

Интегрирование функции $y=f(x)$ — это операция нахождения первообразной от заданной функции $y=f(x)$ (неопределенного интеграла заданной функции $y=f(x)$).

Операция интегрирования функции является обратной для операции дифференцирования.

Существуют различные методы вычисления неопределенного интеграла, например:

• подстановка (замена переменной);
• интегрирование по частям;
• и т.д.

Замена переменной (подстановка) — это один из способов вычисления неопределенного интеграла.

Суть метода подстановки заключается в том, что в интеграл вводится новая переменная интегрирования или делается подстановка. В результате чего исходный интеграл сводится либо к некоторому табличному интегралу, либо к интегралу, который к нему сводится.

После вычисления интеграла по новой переменной $t$ нужно обязательно возвратиться к первоначальной переменной $x$.

Пусть дан интеграл $\int f(x)dx $.

Сделаем следующую подстановку $x=\phi (t)$, при этом функция $\phi (t)$ дифференцируема.

\[dx=d\left(\phi (t)\right)=\phi ‘(t)dt.\]

Исходный интеграл будет иметь вид:

\[\int f(x)dx =\int f\left(\phi (t)\right)\cdot \phi ‘(t)dt .\]

Полученную формулу называют формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Готовые работы на аналогичную тему

Иногда целесообразнее делать замену не в виде $x=\phi (t)$, а в виде $t=\psi (x)$.

Проиллюстрировать замечание 2 при нахождении интеграла $\int \frac<\psi '(x)dx> <\psi (x)>$.

Сделаем замену $\psi (x)=t$.

Дифференцируя, получим $\psi ‘(x)dx=dt$.

Вычислим исходный интеграл:

Вычислить следующий интеграл: $\int \sqrt <\sin x>\cdot \cos xdx $

Сделаем подстановку: $t=\sin x$.

Тогда: $dt=\cos xdx$.

Подставим в исходный интеграл:

Интегрирование по частям — это один из способов вычисления неопределенного интеграла.

Суть метода заключается в том, что если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения двух непрерывных функций в месте со своей производной (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией элементарных), то справедлива следующая формула:

\[\int udv =uv-\int vdu .\]

Полученную формулу называют формулой интегрирования по частям.

При нахождении функции $v$ путем интегрирования выражения $dv$, константу $C$ можно считать равной нулю.

Рассмотрим функции $u=u(x),\, \, v=v(x)$, имеющие непрерывные производные. По свойствам дифференциалов, справедливо следующее равенство:

Проинтегрировав левую часть и правую часть последнего равенства, получим:

\[\int d(uv) =\int udv+vdu \Rightarrow uv=\int udv +\int vdu \]

Полученное равенство можно переписать в виде:

\[\int udv =uv-\int vdu \]

Вычислить следующий интеграл: $\int x\cdot e^ dx $.

Полагая $u=x,dv=e^ dx$, получим $du=dx,v=\int e^ dx =e^ $.

По соответствующей формуле получим:

\[\int x\cdot e^ dx =x\cdot e^ -\int e^ dx =x\cdot e^ -e^ +C\]

\[\int x\cdot e^ dx =x\cdot e^ -e^ +C.\]

Иногда для вычисления сложных интегралов формула интегрирования по частям используется несколько раз.

Формулу интегрирования по частям имеет смысл применять при вычислении интегралов следующего вида:

• $\int P_ (x)\cdot e^ dx ;\int P_ (x)\cdot \sin (kx)dx ;\int P_ (x)\cdot \cos (kx)dx $, где $P_ (x)$ — это многочлен степени $n$, $k=const$;
• $\int P_ (x)\cdot \ln xdx ;\int P_ (x)\cdot \arcsin (kx)dx ;\int P_ (x)\cdot \arccos (kx)dx $;
• $\int e^ \cdot \sin (cx+f)dx ;\int e^ \cdot \cos (cx+f)dx $

В первом случае в качестве функции $u$ выбирается многочлен $P_ (x)$, в качестве $dv$ — оставшиеся под знаком интеграла множители. Для интеграла подобного вида формула интегрирования по частям применяется $n$ раз.

Во втором случае в качестве $dv$ выбирается $dv=P_ (x)dx$, а в качестве функции $u$ — оставшиеся сомножители.

В третьем случае в качестве функции $u$ выбирается либо экспонента, либо тригонометрическая функция. При повторном применении формулы интегрирования по частям в качестве функции $u$ выбирается та же функция (экспонента либо тригонометрическая функция соответственно).

Вычислить следующий интеграл: $\int x\cdot \sin (2x)dx $

Полагая $u=x,dv=\sin 2xdx$, получим $du=dx,v=\int \sin 2xdx =\frac<1> <2>\int \sin 2xd(2x) =-\frac<1> <2>\cos 2x$.

По соответствующей формуле получим:

\[\int x\cdot \sin (2x)dx =-\frac<1> <2>x\cdot \cos 2x+\frac<1> <4>\sin 2x+C.\]

Вычислить следующий интеграл: $\int x\cdot \ln xdx $

Полагая $u=\ln x,dv=xdx$, получим $du=\frac ,v=\int xdx =\frac > <2>$.

По соответствующей формуле получим:

\[\int x\cdot \ln xdx =\ln x\cdot \frac > <2>-\int \frac > <2>\cdot \frac =\ln x\cdot \frac > <2>-\frac<1> <2>\int xdx =\ln x\cdot \frac > <2>-\frac > <4>+C.\]

\[\int x\cdot \ln xdx =\ln x\cdot \frac > <2>-\frac > <4>+C.\]

Вычислить следующий интеграл: $\int e^ \cdot \sin xdx $

Полагая $u=\sin x,dv=e^ dx$, получим $du=\cos xdx,v=\int e^ dx =e^ $.

Используя формулу, получим:

\[\int \sin x\cdot e^ dx =\sin x\cdot e^ -\int e^ \cdot \cos xdx .\]

Пусть $u_ <1>=\cos x,dv_ <1>=e^ dx$, тогда $du_ <1>=-\sin xdx,v_ <1>=\int e^ dx =e^ $.

По соответствующей формуле получим:

\[\begin <\int \sin x\cdot e^dx =\sin x\cdot e^ -\int e^ \cdot \cos xdx =\sin x\cdot e^ -\left(\cos x\cdot e^ +\int e^ \cdot \sin xdx \right)=\sin x\cdot e^ -> \\ <-\cos x\cdot e^-\int e^ \cdot \sin xdx > \end.\]

Выразим исходный интеграл:

\[\int \sin x\cdot e^ dx =\sin x\cdot e^ -\cos x\cdot e^ -\int e^ \cdot \sin xdx ;\] \[2\int \sin x\cdot e^ dx =\sin x\cdot e^ -\cos x\cdot e^ ;\] \[\int \sin x\cdot e^ dx =\frac<1> <2>\cdot \left(\sin x\cdot e^ -\cos x\cdot e^ \right)+C.\]

\[\int \sin x\cdot e^ dx =\frac<1> <2>\cdot \left(\sin x\cdot e^ -\cos x\cdot e^ \right)+C.\]

Источник